《线性代数》行列式的性质与计算课件

1、 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT (Transpose)或D .即如果2.1 行列式的性质a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D =，a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann DT =则.第2节 行列式的性质与计算显然，( DT )T=D .行列式的转置行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D =DT.性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.3 2 1 0 1 5 6 2 0 1 7 3 3 2 1 0 例1 = _. 3 2 1 0 1 5 6 2 0 1 7 3 3 2 1 0 3 2 1 0

2、1 5 6 2 0 1 7 3 3 2 1 0 = 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 推论. 若行列式D中有两行(列)完全相同, 则D = 0. 行列式的性质0 a11 a12 a1n ka21 ka22 ka2n an1 an2 anna11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 性质3 行列式某一行的公因子可以提取出来.行列式的性质=kka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kan1 kan2 kanna11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann= _. kn 思考： 性质3 行列式某一行

3、或列的公因子可以提取出来.a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann =k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 推论1 如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D0. 推论2 如果D中有两行(列)成比例，则D=0.行列式的性质性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.即a11ai1+bi1an1a12ai2+bi2an2a1nain+binanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann =+a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann .行列式的性质a + u b +v c

4、+ x d + y = . + a b c d (A) u v x y 例2. + u b x d (B) u v x y + a b c d a v c y + a b + vc d + yu b + v x d + y B行列式的性质性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即a11ai1aj1an1 a12ai2aj2an2 a1nainajnann a11ai1+kaj1aj1an1a12ai2+kaj2aj2an2a1nain+kajnajnann=.要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算。为表述方便，引入下列记号(

5、行用r，列用c)：2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示；3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.1)交换行列式的第 i 行与第 j 行，用 rirj表示 ；行列式的计算row (行)column（列）a bc da+c b+d c da+c b+d a br1+r2a bc d a bca db c dca dbr1+r2r2r1r2r1为了不引起混淆, 每步最好只进行一个操作. 例如:例3. 计算行列式解：= -85.例4. 计算行列式解：例5. 计算行列式解： 将各行都加到第一行，从第一行提取x+(n-1)a, 得解：例6. 计算行列式Oh! I love it!

6、一、余子式与代数余子式 定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a ij 所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 例如，求4阶行列式中a32的代数余子式a11a21a41 a13a23a43 a14a24a44 M32 A32(-1)3+2M32=-M32令Aij(1)ijMij，Aij称为元素aij的代数余子式.2.2 行列式按行(列)展开 一、余子式与代数余子式 定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a ij 所在的第i行和第j列

7、后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.令Aij(1)ijMij，Aij称为元素aij的代数余子式.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 再如，求4阶行列式中a13的代数余子式a21a31a41 a22a32a42 a24a34a44 M13 A13(-1)1+3M13=M13 定理1 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即 定理2 n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即Dai1Ai1ai2Ai

8、2 ainAin (i=1, 2, , n)，Da1jA1ja2jA2j anj Anj (j=1, 2, , n).ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 (i j)，a1iA1ja2iA2j ani Anj 0 (i j).二、展开定理 例1分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D =解：按第一行展开13311-2311-213a11A11a12A12a13A13D=1(-1)1+1+0(-1)1+2(-1)1+3+(-2)=1(-8)+0+(-2)5=-18.三、利用展开定理计算行列式按第二列展开1-2311-2-2111-23 =0+1(-3)+3(-1)5=-3-

9、15=-18 . 例1分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D =解：按第一行展开a11A11a12A12a1nA1n D=1(-8)+0+(-2)5=-18.(-1)3+2+3(-1)2+2+1(-1)1+2=0a12A12a22A22a32A32 D解： 将某行(列)化为仅有一个非零元素后展开例2计算行列式 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D =(-1)(-1)3+2 7 1 4 7 -2 -5 1 1 2 6 0 2 9 0 -1 1 1 2=1(-1)2+2 692-1=-6-18=-24. 7 0 1 4 7 0 -2 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D =例3. 计算行列式解： ( D2=5 )解：例4. 计算行列式例5. 证明范得蒙（Vandermonde）行列式例如, n = 4 时D4 =证明：从最后一行起每一