复旦大学Matlab课件—— (1)

1、Matlab MathCleve Morler著陈文斌（)零点和根1Bisection 我们知道 在1和2之间，先试x=3/2，因为x的平方大于2，那么 在1,3/2 M=2;a=1;b=3;k=0; while b-aeps x=(a+b) /2; if x2 M b=x else a = x end k=k+1;end2Interval bisection观察一下a,b变化的情况： 程序结束需要多少次？ 最后a,b是多少？ 用format hex表示呢？为什么是这样的？3Interval bisectionf(x) Find a very small interval, perhaps t

2、wo successive floating point numbers, on which the function change sign.k=0; while abs(b-a)eps*abs(b) x=(a+b) /2; if sign(f(x)=sign(f(b) b=x; else a = x; end k = k+1; end f = inline(x2-2); a=1; b=2;计算sqrt(2)4Interval bisection 二分法是慢的，用上面的代码，对任何函数她都需要运行52步，但是她是完全可靠的。这与我们后面介绍的方法不同。5Newtons Method 对于求f

3、(x) = 0的根，Newton法要求过y=f(x)上任一点的切线，并求切线与x-轴的交。迭代过程是k=0; while abs(x-xprev)eps*abs(x) xprev = x; x = x-f(x)/fprime(x)end6Newtons Method对于平方根问题，Newton法是优雅而有效的Newton法k=0; while abs(x-xprev)eps*abs(x) xprev = x; x = 0.5*(x+M/x)end 1.500 1.41666666666667 1.41421568627451 1.41421356237469 1.41421356237309

4、1.414213562373096步7Newtons Method缺点： 函数f(x)必须是光滑的，要容易计算导数;初始猜想要靠近零点。优点：收敛速度快，二次收敛。如果函数的一阶和二阶导数连续，且初始值靠近零点，我们可以证明8Newtons Method下面构造一个让Newton方法无限进行而不收敛的例子Newton方法不收敛，原因？910Secant Method用有限差分来代替导数的计算k=0; while abs(b-a)eps*abs(b) c=a;a=b; b=b+(b-c)/(f(c)/f(b)-1); k=k+1;end 1.33333333333333 1.400 1.4146

5、3414634146 1.41421143847487 1.41421356205732 1.41421356237310 1.414213562373107步11Secant Method如果f(x)的一阶导数和二阶导数连续Superline convergence即每作一次迭代有效位将增加1.6位再考虑一下 12Inverse Quadratic InterpolationSecant方法用前两个点来确定第三个点，能不能用三个点呢？IQIk=0; while abs(c-b)eps*abs(c) x=polyinterp(f(a),f(b),f(c),a,b,c,0); a=b;b=c;c

6、=x; k=k+1;end1.666666666666671.451.4061.414213788335491.414213562373331.414213562373101.41421356237309a,b,c=0,1,213Inverse Quadratic Interpolation a,b,c = -2,0,2 a,b,c = -2.00001,0,1.99999看一下下面两组数据，IQI方法会发生什么情况？14Zeroin Start with a and b so that f(a) and f(b) have opposite signs Use a secant step t

7、o give c between a and bRepeat the following steps until |b-a|eps|b| or f(b)=0 Arrange a,b and c so that f(a) and f(b) have opposite signs |f(b)|=|f(a)| c is the previous value of b If c=a, consider an IQI stepIf c=a, consider a secant stopIf the IQI or secant step is in the interval a,b,take it If

8、the step is not in the interval, use bisection.15fzerotxMatlab中zeroin的算法实现是fzero. x = fzero(FUN,x0) %x0可以是数，或区间 x = fzero(besselj(0,x),0) %? x = fzero(besselj(0,x),0,pi) x = fzerotx(besselj(0,x),0,pi)16 ezplot(besselj(0,x),-30,30)17函数调用 字符串表达式 cos(pi*t) besselj(0,x) Inline函数Function handle bessj0 z = fzerotx(bessj0,0,pi) function y=bessj0(x) y=besselj(0,x)符号表示 syms x F=besselj(0,x) z=f