线性代数各章课件第三章3

1、引例 线性方程组 ,记作又 可逆， ，则有思考 矩阵的初等变换与矩阵乘法有何关系？3.5 初等矩阵 1.定义 由单位矩阵E经过一次初等行(列)变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.一、初等矩阵的概念及性质对调E的第 i, j 两行或第 i , j两列,得到初等矩阵E(i,j)以数k0乘单位矩阵E的第i行(列), 得到初等矩阵E(i(k)得到初等矩阵E(i, j(k)例1 判断如下矩阵是否为初等矩阵是不是2. 初等矩阵的性质 (1) 初等矩阵转置仍为初等矩阵(2) 初等矩阵都可逆 ，且其逆矩阵仍为初等矩阵.初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵初等变换的逆变换仍为初等变换,

2、且变换类型相同逆变换逆变换逆变换例2 计算定理1 设A为mn阶矩阵，则 (1) 对A施以一次初等行变换，相当于用同种m阶初等矩阵左乘矩阵A;(2) 对A施以一次初等列变换，相当于用同种n阶初等矩阵右乘矩阵A.证明 为 的第i行的行向量. 则有二、初等变换与初等矩阵的关系一般记法E(i, j)A 表示 A 的第 i 行与第 j 行对换； AE(i, j) 表示 A 的第 i 列与第 j 列对换.2. E(i(k)A 表示 A 的第 i 行乘以数 k； AE(i(k)表示A的第 i 列乘以数 k .3. E(i, j(k)A 表示 A 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上； AE(i, j(k)

3、 表示 A 的第 i 列的 k 倍加到第 j 列上.例3 设则（ ）成立.A. B. C. D.C例4 (1) 设初等矩阵解解定理2 设矩阵 的秩为r，则存在m阶初等矩阵 和n阶初等矩阵 , 使得 A的等价标准型定理3 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以表示成一系列初等矩阵的乘积.推论 若n阶矩阵A可逆, 则其等价标准型为同阶单位矩阵E, 即可逆矩阵A可经过若干次初等变换化为单位矩阵.【注】如果B可由A经过一系列初等变换得到，则称矩阵 A与B等价. 则任意矩阵与其等价标准型等价. 特别地, 可逆矩阵A与E等价.1求逆矩阵 初等行变换求逆矩阵保证A，E作相同的初等行变换即三、利用初等变换求逆矩

4、阵、解矩阵方程行变换求逆矩阵的方法： 构造 n2n 矩阵 ( A E )； 对 ( A E ) 连续施以初等行变换, 使 A 化为单位矩阵 E , 此时 E 对应部分就化为了 A-1. 例5 求 的逆矩阵.求逆时,若用初等行变换必须坚持始终,不能夹杂任何 列变换.【注】如果不知矩阵A是否可逆，也可按上述方法，只要n2n矩阵的左边子块有一行(列)的元素全为0, 则A的行列式等于0, 故A不可逆.初等列变换求逆矩阵即保证A，E作相同的初等列变换例5 求 的逆矩阵.2解矩阵方程若矩阵A可逆,则即初等行变换例6解方法1 先求出 ，再计算 .方法2 利用初等行变换直接求 . 若矩阵A可逆,则即初等列变换1. 单位矩阵 初等矩阵.一次初等变换2. 利用初等变换求逆阵的步骤:【小结】作业：P135 45(3)(4), 46(2)(4), 48, 50解法1可以看成是由3阶单位矩阵 经4次初等变换,而得.而这4