高考数学开放题的类型及解题策略

1、高考数学开放题的类型及解题策略数学开放题是相对于条件完备、结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完 备、结论不确定的数学问题。条件完备、答案固定的数学题在发展学生思维、 提高学生素质方面带有一定的局限性，而开放性试题以其复杂多变、综合性 强、知识覆盖面宽，注重考察探索精神和创新意识等特征而逐渐成为高考热 点。纵观近几年高考试题，开放性试题的趋势有增无减。本文对近几年高考数 学开放性试题进行归类，并分别探讨它们的解题策略。一、条件开放型：此类试题，命题中已给出结论，但题设的条件不充分，需探求结论成立的条件 或部分条件。求解此类问题时，应运用“执果索因法”寻求结论成立的充分条 件。例如：（1998

2、年全国理）在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD 满足条件时，有A1C_LB1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考 虑所有可能的情形。）解析：由已知,BD/B1D1,要使A1C_LB1D1,只需A1CLBD.由三垂线定理知, ACLBD即可。当然，答案也可以是ABCD是正方形，或菱形等。二、条件、结论均开放型：此类试题，条件、结论均是开放的，要求考生自己去探索，没有现成 的公式可套。求解此类问题时，应先组成命题，再通过代数运算或逻辑推理去 验证真假。例如（1999年全国高考理科试题）B是两个不同的平面，m、n是平面 Q及B之外的两条不同的直线，给出四个论断（1）

3、 mn , （2）Q B （3）n B （4）m a .以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结 论，写出你认为正确的一个命题。”解析：由题意，可组成四个命题，逐一判断，得到答案是“m一 a , n P , a P =m_nn 或,m一n, m- Q , n B = Q，B ”。三、结论探索型此类题型的结论不明确，或结论不唯一。求解此类问题时，可以“执 因索果”直推结论，也可以综合运用观察，分析、类比、划归、特殊化等方法 猜想结论，再“执果索因”，论证猜想。例如（2003年全国高考理）设an是集合2t+2s OWsVt,且s, tZ中所 有的数从小到大排列成的数列,即al = 3, a2=

4、6, a4=9, a5 = 10, a6= 12,将数列an各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12(i)写出这个三角形数列表的笫四行、第五行各数；(ii)求 alOO.解析：(i)第四行17 18 20 24第五行 33 34 36 40 48(ii)设al00= + ,只须确定正数t0, sOo数列an中小于的项构成的子集为2t+2s|0st0,向量c= (0, a) , i= (b 0).经过原 点。以c+入i为方向向量的直线与经过定点A (0, a)以i2、c为方向向量 的直线相交于点P,其中X GRO试问：是否存在两个定点E、F,使得PE + |P

5、F|为定值。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。解析：由已知 c+、i= ( X, a) , i-2Xc= (b -2Xa) o 因此，直线 OP 和AP的方程分别为A y=ax 和 ya=2 A ax.消去参数人，得点P (x, y)的坐标满足方程y (y-a) =-2a2x2,整理得因为a0,所以得：(i)当&二时，方程是圆的方程，故不存在合乎题意的定点E和F；(ii)当OVaV时，方程表示椭圆，焦点E ()和F (一)为合乎题意 的两个定点；(iii)当d时，方程也表示椭圆，焦点E (0,)和F (0,)为 合乎题意的两个定点。五、分类讨论型解决此类试题，必须确定好分类标准，并

6、按此标准对问题进行正确分类，使复 杂问题简单、清晰起来。例如：(2002年全国)，设a为实数，函数f (x) =x2+|x-a|+l, xR。(1)讨论f(X)的奇偶性；(2)求f (x)的最小值。解析：(1)当a = 0时，f (-x) =f (x)为偶函数；当dWO时，f (a) Wf (-a),即f (x)既不是奇函数，也不是偶函数。(2) (i)当 x时， fmin =f ()；(ii)当 时，f (x) = (x+ ) 2 a+ ,仿(i)得：若 a W 时，fmin=f ()；若 a时、fmin=f (a)。综上，当 a W一时，fmin = f (一 ) = a；当一VaW 时，

7、fmin = f (a) = a2 + l；当时，fmin = f ( ) = +a。六、策略开放型此类题型具有答案多元型和解法的多样性，解题时必须全方位、多层次、多角 度地分析条件和结论，尝试使用不同的方法，采用多种途径去探索与论证，力 求保证解答过程的严谨性和完备性。例如(1999年上海)若四面体各棱长是1或2,但该四面体不是正四面体，则 其体积的值是(只须写一个可能的值)解析：先考虑四面体的存在性，由题可知符合条件的四面体有三种，分类如 下：(1)四面体中有三条棱长是1,三条棱长是2,即底面边长分别是1, 1, b则棱长分别是2, 2, 2； (2)两条棱长是1,四条棱长是2； (3) 一条棱 长是1,五条棱长是2。对于每个四面体，先求其高后求其体积，或利用分割 法(作垂直于棱的截面)求其体积，可求得体积为 乂如(2002年北京理)关于直角AOB在定平面a内的射影有如下判断：(1)可能是0。的角；(2