第十讲-数阵图教案

1、第十讲数阵图数阵图问题千变万化,需要综合运用各种数学知国来解决问题，而往往小孩 子喜欢毫无顺序的W瞎试二本讲襄介绍一些通用的方法.所以，一般是先用公 式法分析出关键数字.再用尝试法进拧试填.本讲包括犒射型数伸图I封闭型.数阵图，复合型数阵图.我他类中!数阵图.一辐射也数阵图方法一:祟区法：在给的是一个等步数列.并且是每条线上是缶数个数时. 中间数只能填最大数，最小数或中间数,闲此可以依据这个规律进行尝试.【这个规律需瞿用数论的知识证明，低年级牢H会用即可。也可以这样理解:去 抻中间数时剩下的数脚该两两一对，捋对和相等，因此最中间数只能填最大数， 最小数或中间麴）方法二:公式法二线和x缓效=效字

2、和+重叠数x聿叠次效重登次数线数希望传子们从现在起尽量练习公式法 H-：为位子顺利接受方程做铺空工 其二土有些复杂题尝试的方法头绪繁多.行灯能会走很多弯路.更多的时候是两 大方法灵活的结合使用。一般是先用公式法分析出关键数字，在用尝试法进行试 填卜面通近一个简单的例题来说明一下。例5： 1200s年第八届*春雷杯“小学数学邀请赛） 将厂11填入下图的各个圆圈内.使每条线段上的 三个圆圈内的数的和都等F 18,分析与答；方法一：学试法）根据规律，最中间数只能填最大数1L最小数1或中间 数6.（因为去抻中间数时剩卜的数应该两两一时.分成5对、每对和相等.【因 此最中间数只能填最大数1L最小数1或中

3、间数6）因此本题有三种填法，再结合”使每条线段上的三个圆圈内的数的和都等于 18”这介条件，只有中间数为6时满足题意这是孩子们通常最尊欢用的方法.）方法二：公式法）栽和X线数,数字和+重叠数X重售次数重叠次数三线数-1）对于本题，线和（已知）=18,线数=5,数字和 =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66,重座数为中间数,近度 次数（即多算次数）为5-1=4 （因为中间数在数字和里算过一次.这样就可以计算出中间数的值1等号左边：5X18=90数字和 t 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=6690-66=24中间数为24小（5-1 =6*即“真.相只有一个”二，封闭

4、型数阵图通用公式；线和X线数=数字和+重桎数之和例题二：把19这9个数，分别填在下图 9个园中,使得三角形每条边的四个圆圈之和为23.分析与答，线和X线数分数字和十重橙数之和线和（已打）立3,线数为数字和 = l+2 + 3+4+5+G+78+9=4S . E 求 得重拄 数之和 A4-B+=69-45=24. 24=7+8+9,本题三个顶点处的填法唯一. a+b=23-7-8=8Jc+d=23-8-9=6,e+f=2i-7-9=76,7,8 存在以卜两种分法,闲此本题有两种情况.如下图16=1+5,7=3+48=2+66=2+47=1+6,8=3+5A例3：将厂6填入左下图的6个圆中，使三角

5、形每条边上的三个数 之和都等于K.请指出K的取值范用.分析。答：这道题和刚才题目的不同之处在于，这道题没有给 出线和（即K）,让同学们自己判断k值线和X线数=数字和+重叠数之和线和为K,线数为3条，数字和为1+2+3+4+5+6=21,重叠数之和为A+B+C,列式如下：3K=21+A+B+C数阵图的好多题都要结合数论中余数（或整除）的知识进行分析。3K为3的倍数，21为3的倍数，那么A+B+C只能也是3的倍数，而6=l+2+3WA+B+CW4+5+6=15,因此 A+B+S6、9、12. 15。因此这道题需要分四种情况讨论：3K=21+A+B+CI 当 A+B+C=6 时，K=9:II 当 A

6、+B+J9 时,K=10:DI当 A+B+C=12 时,K=ll；N 当 A+B+C=15 I 汇 K=12附，本题至此已经做完，如果增加一间，各给出一种填法.继续解答如下, I当A+B+C=6, K=9时.由于6=1十2+3因此只有一种填法工H 当 A+B+C=9, K=10 时，9=l+2+6=l+3+5=2+3M.只有 1+3+5 存在满足题意 的填法。II 当 A+B+C=9, K=10 时.9=1+2+6=1+3+5=2+3+4,只有 1+345 存在满足题意 的填法。III与 A+B+812. K=ll 时,12=1+5+6=2+4+6=3+4+5,只有 2+4+6 存在满足题IV

7、当A+B+O15. K=12时,12U+5+6因此只有一种填法:综上，本题存在4种填法.例2：把1、2、？、4、5、6、7、8八个数字堞入下 图中的圆内，使正方形斑条边上的三个数之和都等于1，分析与售：线和X线数=数字和+重卷数之和13X4= （1+2+3+4+5+6+7+8） +A+B+C+DA+B+C+D=16从1-8中选四个数和为16,将16分拆.有如下7种方法:16=l+2+5+8=l+2+6+7=l+3+4+8=l+3+5+7=lM+5+6=2+3M+7=2+3+5+6这四数之中如果有任意3数之和与线和13相等的话，就必 然会产生重复数字：例如1+3+4+8中1+4+8N13这7种中

8、首先可以排除掠4种：1+3+4+8=143+5+7=2+3+4+7=2+3+5+6（只要有16-13=3的就都排除就可以了）16=1+2+5+8=1+2+6+7=1+4+5+6,经试验，1+246+7 找不到合适的填法小结；对于稍复杂的数阵图，不要拿到题目就开始试填，一定要先用数学知 识分析题目，找到突破口，（本题是4个顶点的数字和为16）,这样还有一个好 处就是可以按一定顺序把所有情况都想到.例7, 19分别填入小三角形内（留个小三角形内只填 TOC o 1-5 h z 一个数），要求宛近大三角形的三条边的每五个数相加和A相等，想一想，怎样蟆这些数才能使五个数的和尽可能大/ 一分析与答：拿到

9、本题孩子们可能有点亳无头绪仔细观/察就会发现这个图就是一个封闭型数阵图.A A /最上方两个、左下用两个、右下角两个三角形在算和 /的时候始终都作为一个整体那么就哲时先把他们当做一 个整体，记为A、B、CA. B、C在顶点处,各算两次：a,b,c在边上，各 算一次；最终的目标是使每条边上的五个数的和 尽叫陡大，那么应该让A. B、C较大：a,b,C取最 小的数l,2,3o 用公式理解：设线和为K 线和乂线数=数字和+重叠数之和 3K= （1+2+3+4+5+6+7+8+9） +A+B+C想让K大,A+B+C尽量大.a,b,c尽量小，即取最 小的数 1,2,3。此时 A+B+C=4+5+6+7+

10、8+9=45-6=39.即 3K= （1+2+3+4+5+6+7+8+9） +39=84K=28 （这一步很关键，是后面凑数的方向）此时数感较好的孩子经过几次尝试调配之后已经可以凑出结果了（可用大配小原则）还可以用以下方法解答： TOC o 1-5 h z A+B=28-2=26A+C=28-3=25B+C=28l=27里是三元一次方程州.可是轮换式的方程如可转化 成和差问题，得B-C=l B+C=27B=14, C=13. A=1212=4+8, 13=6+7 , 14=5+912=5+7 , 13=4+9 , 14=6+8得到本题的两个解，当然，每组两个数位置可交换，旋转或翻转得到的就算一

11、种。【附：轮换式方程的通用解法: TOC o 1-5 h z A+B=28-2=26A+C=28-3=25B+C=23-l=27+十, 2（A+B+C）=25+26+27=78 ,则 A+B+C=39，C=13-，B=14- A=12三、复合型数阵图综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，耍具体情况具体分析例4：下图中有三个正三角形，将1-9 填入它们顶点处9个圆中，要求：(1)每个正三角形顶点的三数之和 都相等：(2)通过四个圆的每条直线的四数 之和也相等。分析与答：本题有2点要求对于第1点要求，可求出每个正三角形 顶点的三数之和都为(1+2+3+4+5+6+7+8+9) 3=15,即 A+B+C

12、=15,再结合第二点要求.设通过四个圆的每 条直线的四数之和为K,再结合第二点要求,线和X线数=数字和重叠数之和重叠数之和为A+B+C=153K= (1+2+3+4+5+6+7+8+9) +15可求出K=20本题转化为：将广9填入它们顶点处9个圆中，要求：(1)每个正三角形顶点的三数之和都为15:(2)通过四个园的每条直线的四数之和也相等20。第一个条件相当于将，f9这九个数分为三个一组，且每组三个数的和为1S. 只有如下两种分法：15 =145+9=2+6+7=3+4+815 =1+6+8=2+4+9=3+5+7结合通过四个圆的每条直线的四数之和也相等20”这个条件对于第一种情况，只有A、B

13、、C分别取1、5、9时可以找到满足题意的填法： 对于第二种情况，只有A、B、C分别取3、5、7时可以找到满足题意的填法.II当中间数为3时,K=14例&能否将0.123,4,5,6,7,8,9分别填入下图的各个圆圈内,使得各阴影三角形的3个顶点的数之和相 等？分析与答：复杂问题，千万不能上来就试.这样 可能会绕很多弯路，仔细观察就会发现： 全部散字之和:中间数+3个阴影三角形数字和（如下图所示因此，设每个阴影三用形的3个顶点 的数字和为K,得+1+2+3+4+5 +6+7+8+9=|间数+3K即45=中间数+3K中间数为3的倍数，只能是。、3、G、9, 45=中间数+3KI当中间数为。时，K=

14、15H当中间数为3时，K=14川当中间数为6时，K=13IV当中间数为9时，K=12I当中间数为。时,K=15A+B=C+D=E+F=15,而 lS=6+9=7+8必然会出现重复数字,因此没有合适填法:A+B=C+D=E+F=14.而14=2+9=4+7=5+63已经为中间数） 经试验，即可得到川中间数为6时，K=13IV当中间数为9时，K=12A+B=C+D=E+F=12-9=3 T5 3=3+0= 1+2A+B=C+D=E+F=12.9=3,而 3=3+01+2必然会出现重复数字,因此没有合适填法:四、其他类型数阵图例6： 20以内共有10个奇数，去掠9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入卜.图的 八个圈中（其中3已填好），使得图中用箭头 连接起来的四数之和相等.分析与答：由图可看出，三组数都包括左 右两端的数，所以本题相当于要求每纲中间两 数之和相等。现在相当于把剩下的数字两两分 组，每组和相等，最后剩下的数字填到最右边.所以本题有两种填法（右边数字相同算作一种）超常123班学案4(北京四中小升初真题): 在下图的7个圆内填入7个连续自然数，使得 每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已 知数.那么标有的圆内填的数是多少？分析与答：方法一