三反证法与放缩法 (2)

1、三反证法与放缩法学习目标1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功4分层训练 解疑纠偏，训练检测知识链接1在阅读教材的基础上，想一想哪些命题或不等式适合用反证法证明？答案存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词的命题或不等式2用放缩法证明不等式常用的放缩方法有哪些？答案添加或舍去一些项；将分子或分母放大(或缩小)；利用基本不等式；利用函数的单调性；绝对值不等式：|a|b|ab|a|b|.预习导

2、引1反证法先假设要证的命题 ，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质，明显成立的事实等) 的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法不成立矛盾2放缩法将所需证明的不等式的值适当 (或 )使它由繁化简，达到证明目的如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值 ，反之，把分母缩小，则分式的值 .放大缩小缩小放大要点一反证法证明不等式例1已知：abc0，abbcca0，abc0.求证：a0，b0，c0.证明假设a、b、c不全是正数，即至少有一个小于或等于0.又abc0，不妨假设a0，则bc0.

3、bca0，a(bc)0.a(bc)0，又bc0，bca(bc)0.即abbcca0.这与已知abbcca0矛盾假设不成立故a0，b0，c0成立规律方法用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立x0，y0，1y2x1x2y得2(xy)2(xy)，即xy2，与xy2矛盾要点二放缩法证明不等式跟踪演练2设f(x)x2x14，且|xa|1.求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)证明由|f(x)f(a)|x2a2ax|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)2a1|xa|2a|1|2a|22(|a|1). 例3已知数列an满

4、足a11，an12an1(nN)(1)求数列an的通项；解an12an1(nN)，an112(an1)，数列an1是以a112为首项，2为公比的等比数列an12n，即an2n1(nN)要点三放缩法在数列中的综合应用规律方法解数列不等式综合题要注意数列不等式综合题难度大，内容丰富，是考查数学能力的良好载体；数列问题重点在数列通项上，解决问题的方法也蕴含在其中，注意考察的方式；注意放缩的尺度，过大过小都不能解决问题12341实数a，b，c不全为0等价于()Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为0解析a，b，c不全为0，等价于“a，b

5、，c中至少有一个不为0”D12341234答案B12343否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为()Aa、b、c都是奇数Ba、b、c都是偶数Ca、b、c中至少有两个偶数Da、b、c中至少有两个偶数或都是奇数1234解析三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数只包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合答案D1234课堂小结(1)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式与已知相矛盾，与假设矛盾，与显然成立

6、的事实相矛盾1234一、基础达标56789101112131应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()结论相反的判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论A BC D12345678910111213解析由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等答案C12345678910111213p224，而q(a2)24，根据a2，可得q4，pq.A1234567891011121312345678910111213解析充分性易证下面用反证法说明必要性a，b只能异号，即a0b.答案B1234567891011

7、121312345678910111213PRQ.答案B12345678910111213mn123456789101112136若|a|1，|b|1，则|ab|ab|与2的大小关系是_解析当(ab)(ab)0时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|2；当(ab)(ab)0时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|2.综上，|ab|ab|2.|ab|ab|2123456789101112137设a1，a2，an都是正数， 且a1a2an1, 求证：(1a1)(1a2)(1an)2n.因为a1a2an1，所以(1a1)(1a2)(1an)2n.12345678910111213二、能力提升

8、12345678910111213解析a，b为正数，答案A12345678910111213解析a0，b0，MN123456789101112131234567891011121311已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；解当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，12345678910111213(2)求证数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN)，又因为pqr，所以rq，rpN.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设

9、不成立，原命题得证1234567891011121312已知0 x2,0y2,0z2，求证：x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于1.证明方法一假设x(2y)1且y(2z)1且z(2x)1均成立，则三式相乘有：xyz(2x)(2y)(2z)1由于0 x2，0 x(2x)x22x(x1)211.同理：0y(2y)1，且0z(2z)1，三式相乘得：0 xyz(2x)(2y)(2z)112345678910111213与矛盾，故假设不成立x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于1.方法二假设x(2y)1且y(2z)1且z(2x)1.12345678910111213与矛盾，故假设不成立，原题设结论成立12345678910111213三、探究与创新13设数列an的