多元复合函数与隐函数微分法课件

1、 7.4 多元复合函数与隐函数微分法一、多元复合函数微分法定理7.3 设 z =f (u,v)在(u,v)处可微, u=u(x, y), v=v(x, y)在(x, y)处的偏导数存在, 则复合函数 z=f u(x, y), v(x, y)在(x, y)处的偏导数也存在, 且具有以下的链式法则:1情形1 z=f (u), u=u(x, y), 则对z =f u (x, y) 有链式法则情形2 z=f (u,v), u=u(t), v=v(t),对z=f u(t), v(t)有链式法则2例1 设z = f (u, v)可微,求z=f (x-y, xy)的偏导数.解: 令u =x-y,v=xy,则

2、 z = f (u, v),且由链式法则可得3例2 设z = f (x+x2y2),且f (u)可微, 求解: 令u=x+x2y2 ,则z = f (u) , 且由链式法则可得4证明:令u=tx,v=ty,则z = f (u, v),其中x, y相对于t是常数,则由链式法则可得又z=tk f (x,y),则例3 若f(x,y)满足 f(tx,ty)=tk f(x,y)(k为正整数),则称f(x,y)是k次齐函数. 证明: k次齐函数f (x,y)是满足5因此对任何 t, 有取 t =1, 有6二、一阶全微分的形式不变性设函数z=f(u,v), u=u(x,y), v=v(x,y)都可微, 则复

3、合函数z=f u(x,y),v(x,y)的全微分为7结论: 无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达形式都一样, 这性质叫做 全微分形式不变性.8例4 求下列函数的偏导数和全微分:解:910三、隐函数微分法定理7.4 11例5 求由方程解:确定的隐函数y=f (x)求的导数.12定理7.513例6 设方程 sinz=xyz 确定的隐函数为z=f (x,y), 求zx,zy.解:方程 sinz=xyz 两边分别关于 x, y 求偏导数, 有14例6 设方程 sinz=xyz 确定的隐函数为z=f(x,y), 求zx,zy.另解因此所以157.5.1 高阶偏导数称z=f (x,y)的

4、偏导数f x(x, y),fy(x, y)的偏导数为f (x,y)的二阶偏导数，共有四个:16例1 求 z =x3y2-2xy3-xy-3 的二阶偏导数.解:一阶偏导数为因此17例2 设z =f (xy, x2-y2), 且f (u,v)有二阶连续偏导数, 求z xx,zxy .解: 令 u=xy, v =x2-y2,则ux=y, vx =2x, uy=x, vy = -2y, 1819例3 设由方程 x+2y+z=ex-y-z 确定的隐函数为z=z(x,y), 求zxy.解:方程 x+2y+z=ex-y-z 两边分别关于x,y求偏导数, 有从而207.5.2 高阶全微分函数z=f (x,y)的二阶全微分d2z可表示为 d2z = fxxdx2+2fxydxdy+fyydy2 (7.17) 函数u=f (x, y,z)的二阶全微分d2u可表示为 d2u = fxxdx2+fyydy2+ fzzdz2