几何学：第五公设——公理化方法课件

1、 几何学：第5公设公理化方法 欧几里得与原本 第五公设 从欧几里得到兰伯特 非欧几何学的创立 罗氏几何学与黎氏几何学 公理化方法的发展 欧几里得与原本一欧几里得二原本 欧几里得与原本 一欧几里得： Euclid （约 BC330 BC275） 生于雅典，曾为柏拉图的门徒，B.C.300年左右来到亚历山大里亚，后来成为当时“艺术宫”的主持。 两则传说：“国王在几何学的国度里无专道”； “给他三个钱币，他要的就是这！” 十部著作：原本，数据，二次曲线， 辩伪术，论剖分，衍论，曲面轨迹， 光学，镜面反射，现象。 二原本：（Elements ） 版本：888年希腊文抄本， 1294年拉丁文手抄本，13

2、50年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本，1570年英译本， 1607年、1857年、1990年中译本，1655年Barrow拉丁文译本， 1925年T.LHeath英译本。内容： 巴比伦 古埃及 泰勒斯 毕达哥拉斯 厄利亚学派 毕达哥拉斯学派 希波克拉底 欧多克索 西艾泰德斯 1 3 4 6 5 7 12 10 11 13 2 8 9 卷 内容 定义 公设 公理 命题 1 直线形 23 5 5 48 2 几何代数法 2 14 3 圆 11 37 4 多边形 7 16 5 比例论 18 25 6 相似形 4 33 7 数论 22 39 8 数论 0 27 9 数论 0 36 10 不

3、可公度比 4 47 6 37 6 31 11 立体图形 28 39 12 求积术 0 18 13 正多面体 0 18 特征：1大量引用古希腊古典时期数学家的数学成就； 2采用独特的编写方式：先给出定义，公设，公理，再由简到繁，由易到难地证明一系列命题；首次用公理化方法建立数学知识逻辑演绎体系，成为后世西方数学的典范。 公理：1等于同量（thing）的量彼此相等。 2等量加等量，其和相等。 3等量减等量，其差相等。 4彼此能重合的物体（thing）是全等的。 5整体大于部分。 公设：1由任意一点到任意一点可作直线。 2一条有限直线可以继续延长。 3以任意点为心任意距离可以画圆。 4凡直角都相等。

4、 5平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某侧的两个内角和小于二直角，则这二直线延长后在该侧相交。 第五公设从欧几里得到兰伯特 用现代数学公理化方法的标准来衡量，原本的公理体系存在严重缺陷。例如： 原本第1卷 命题16：在任意三角形中，若延长一边，则外角大于任何一个内对角。 鉴于此，有人把第 5 公设也作为一个缺陷，试图用其他公理，公设或定理证明它，以至将它取消。例1Proclus（4世纪）证明第5公设。 已知：直线 c 与直线 a、b相交，且直线 c右侧内角和小于两直角。 求证：直线 a、b在直线 c 的右侧必然相交。 证明：过 P 作 a使 = ，可以证明 a b ， 在直线 a 上任取一

5、点 M，当 M 无限远离 P， M 到直线 a 的距离 h 无限增大； 若两平行线间距离有限；则当 h 等于两平行线间距离时，a 与 b 必然相交。设 a，b 与 c相交 ，且 c 右侧有： 2+ 3 2d 1+ 4 2d 2+ 3 = 2d 1+ 4 = 2d 3+4 = 2d 1=3 2=4 假设 a 与 b 相交于 c 的右侧或左侧, 均与以上等式矛盾, a b， 由 Playfair 公理，过直线外一点，只能做一条直线与已知直线平行。 所以,a 与 b 相交； 假设 a，b 相交于 c 的左侧，则 3 1 与 31矛盾，故 a，b 相交于 c 的右侧。例2Playfair(1795)公

6、理第5公设例3Legendre (17521833)的工作： 定义：对于三角形ABC，内角和 () = A+B+C，偏差() = - ()； 证明： （ ）= Playfair公理 第 5 公设。 Pash公理： 设直线 a 不通过不在一条直线上的三点A，B，C ，当 a 与 AB 相交时；a 与 AC 或 BC 相交，二者必居其一。 引理： 1任意 ABC的两个内角和小于 2对于 ABC的B，DBC，能使(ABC )= (DBC)，且存在一个内角 (1/2)B. 3 ( ) ，( ) 0 4若 ABC=ABD+BDC,则( ABC)=( ABD)+( BDC). 5若 ABC = ABC+B

7、CCB，则( ABC)( ABC) 6若 Rt ABC , Rt ABC , 满足AB AB, AC AC,且 (RtABC)= ，则 (RtABC )= 思路：1若 Rt*， (Rt*) = ，则 Rt， (Rt) = 2若 Rt， (Rt ) = ，则 *， (*) = 3若 *， (*) = ， 则 ， () = 4若 ， () = ， 则 第 5 公设成立。 任取锐角AOB，在OA上任取一点A1，作A1B1 OA，交OB 于B1；再取A1A2=OA1，作A2B2OA，交OB于B2； 最后取An-1An = OAn-1，作AnBn OA，交 OB 于 Bn； 由引理3 (RtA1OB1)

8、0， 假设(RtA1OB1)= 0，则(A2A1B1) = 0 ，由引理4 (A2OB2) 2 ，(A3OB3)2 (AnOBn)2n-1 ，当n充分大， (AnOBn) ，而 (AnOBn) = - (AnOBn) ，矛盾。 故 = 0，即(RtA1OB1)= = 0， (RtA1OB1) = 。Playfair公理： 过直线外一点，只能做一条直线与已知直线平行。 设 A 是直线 a 外任一点，作 AB a，过 A 作 a AB，则 aa，过 A 作 ba，不妨设 ()。以下欲证 b 与 a不平行： 作AB=BB1， AB1=B1B2 ，AB2=B2B3，ABn-1=Bn-1Bn ， ( )

9、 = ， BB1A= /4,， B1B2A=(1/2) /2， B2B3A=(1/2) /2 Bn-1BnA=(1/2)n /2 故 BABn= /2-(1/2)n /2 由于/2，0， 使=/2- ，而 n 充分大时 (1/2)n /2 。 BABn，即 b 夹在BABn的两边AB，Abn之间。 假设在AABn中，DAB=BABn+BnAD BABn 。 在 BABn中，b过AB上的A，但不会过ABn上的点。否则，b交ABn于D点，=BAD=BABn+BnADBABn ，与BABn矛盾。 由Pasch公理，b不过ABn，必过BBn，即b与a交于AB右侧。例4Saccheri（16671733

10、） Lambert（17281777）结论：1）Sa /2 La /2 2）Sa = /2 第5公设 La = /2 第5公设 3）Sa /2 () La /2 () 4）若 Sa使Sa /2 若 La使 La /2 则 Sa有Sa /2 则 Sa有 La /2 非欧几里得几何的创立一、先兆二、创立 非欧几里得几何的创立 一先兆： 受 Saccheri，Lambert 的影响； Schawikart，Ferdinad Karl (1780 1859)1818年给Gauss征求意见备忘录提出：星空几何( () )，非欧几何； Taurinus，Franz Adolf (1794 1874)研究星

11、空几何学,著有平行线论（1825），几何学原理初阶（1826）； 承认第5公设不可以被证明，只能建立起逻辑上相容的几何学，但是不敢否定“空间几何学唯有欧几里得几何学”的观点，只是为了完善欧几里得几何学。二创立： Gauss，Carl Friedrich（1777 1855） 德国哥廷根大学 1799年12月17日给Bolyai，Wolfgang（1775 1856）写信 认为第5公设不能被证明； 1813年称自己研究的几何学为非欧几里德几何学； 1817年给Olbers，HWM 写信： 我越来越深信，我们不能证明当前的几何学具有必然性，至少不能用人类理智，也不能给予人类理智以这种证明。或许在另

12、一个世界中我们可以洞察空间的性质，而现在这是不能达到的。直到那时我们决不能把几何与算术相提并论，因为算术是纯粹先验的。但可以把几何与力学相提并论，几何公理、公设与力学定律一样，是经验的总结。 1824年给 Taurinus 的信： 三角形内角和小于 ，这个假定引向一种特殊的与我们的几何学是完全不同的几何学。但是这种几何学是完全相容的，当我发展它的时候，结果完全令人满意。除了某个常数的值不能先验地定义而外，在这种几何学中我能解决任何问题。这个常数值越大，则越接近欧几里得几何学，而它的无穷大值会使双方系统合而为一。 Bolyai，Johann（18021860） 匈牙利人，维也纳工学院学习。 18

13、23年11月23日给父亲的信：“我发现了一个乌有的世界” 1825年关于一个与欧几里得第5公设无关的空间和绝对真实的学说（26页）； 1832年作为其父亲著作的附录发表。 Lobaceviskii，Nikolai Ivanovic(1792 1856) 俄国 喀山大学 1816 1817 年证明第 5 公设不成，致力于新几何学创立； 1826年2月12日宣读论文平行线理论和几何学原理概论及证明的概要，但未公开发表； 1829年第一次公开发表几何学原理载喀山通报； 1835年发表平行线理论的几何学探讨虚几何学； 1855年发表泛几何学。 Beltrami，Eugenio(1835 1900) 意

14、大利 罗马大学 1868(一说1863)年非欧几里得几何学解释尝试： 0 球面 黎氏几何学 常曲率曲面 0 伪球面 罗氏几何学 = 0 平面 欧氏几何学 高斯，1777年4月30日出生在德国布伦斯威克的一个贫穷的自来水工人家庭。高斯的舅舅很有才能，经常尽其所能地教高斯各种知识，对幼年的高斯影响很大。高斯的父亲原本不打算让高斯上学，由于童年的高斯表现出非凡的数学才华，在高斯7岁时还是上了小学。1787年高斯上四年级，有一次数学老师要求全班学生计算从1到100的正整数的和。当老师刚刚解释完题目，年仅10岁，班上年龄最小的高斯就把写有答案5050的石板交给老师。其他学生虽然陆续交了卷，但是全都错了。

15、这个故事被广泛流传着。 1791年经校长推荐，14岁的高斯得到一位公爵的赏识和资助，被送到布鲁林学院学习。这个学院的教师巴尔特斯发现了高斯的数学天才，就与高斯一起研读牛顿、拉格朗日、欧拉等著名数学家的著作。高斯的发展势头很好，那位公爵又资助高斯于1795年进入哥廷根大学学习，1798年转入赫尔姆什塔特大学，在那里受到老师帕夫的器重，后来他们成了好朋友。1807年起，高斯成为哥廷根大学常任教授和天文台台长，直到1855年2月23日去世。 高斯是一位科学天才，他勤奋努力，刻苦钻研，治学严谨，所以他的成果涉及几乎所有的数学领域，并且他还是许多数学分支学科的开创者和奠基人。比如，他证明的代数基本定理，

16、奠定了方程论的理论基础；1801年出版的算术研究，开启了数论研究的新时代；1827年著述的曲面的一般研究，是近代微分几何学的开端；他建立的正态分布曲线和最小二乘法，统计学广为应用；他是非欧几何学的创立者之一。在天文学、测地学、电磁学领域也作出不朽贡献。 高斯对人类科学事业的贡献，不仅在于他的论著数量之多，更重要的是他的工作为19世纪数学发展奠定了基础。他既是一位卓越的古典数学家，又是一位杰出的现代数学家。 1796 年3月30日，19岁的高斯发现用直尺和圆规作正17 边形的可能性，非常得意，从此坚定了他研究数学的信心。 1799年高斯给出代数学基本定理的第一个证明，因此而获得博士学位。但他并不

17、满足，又于1815、1816和1850年相继给出更漂亮的证明。可见高斯的科学态度和执着精神。 罗氏几何学与黎氏几何学一、罗氏几何学举例二、黎氏几何学模型 罗氏几何学与黎氏几何学 一罗氏几何学举例： 公理：过直线外一点至少可以引两条直线与已知直线不相交。1AE 与 a 没有公共点。 否则，假设交于 P，可在a 上 P 的右边再取一点M*，连AM*： * = DAP DAM* = ，矛盾。2 * /2 。 否则，假设 * = /2 ，AEAD，AE是AD上过A唯一垂线，除 AE 之外过 A 的任意一条射线与 AD 构成的角 *都不是 极限值，AE成为过A唯一与a不相交直线，矛盾。 单调递增有界，/

18、2，当DM时， * AE 为割线AM的极限位置。 二黎氏几何学模型： 1854年 Riemann，Geog Friedrich(1826 1866)在高斯的安排下，向哥廷根大学全体教授作了题为 关于作为几何学基础的假设的讲演，1868年正式出版成书。 假设球半径无限大，则球面成平面，球面上的大圆为直线： 1同一平面内两条直线必相交； 2直线无限但长度有界； 3 () 。 公理化方法的发展一、公理化方法二、历史发展三、欧几里得几何学的希尔伯特公理体系 公理化方法的发展 一公理化方法： 选取少数不加定义的原始概念和无条件承认的相互制约的规定，再以严格的逻辑演绎，使某一个数学分支成为一个逻辑整体。 基本概念 本质内涵和相互关系； 公理体系 相容，独立，完备。 二历史发展： 1实体公理体系的产生：公元前3世纪，以亚里士多德逻辑为基