材料力学课件：第13章 能量法

1、1 13.1 变形能的计算 13.2 互等定理 13.3 卡氏第二定理 13.4 莫尔定理(单位力法) 13.5计算莫尔积分的图形互乘法 13.6能量法求解超静定问题2刚架内力图由若干杆件（如梁、柱等）互相刚接组成的整体承重结构悬臂刚架 简支刚架 三铰刚架静定平面刚架的类型3例 试作图示刚架的内力图。ABCllqABCllql/2ql/2qlq1. 试作图示刚架的内力图。4ql/2C2. BC段的分离体。3. AB段的分离体。Aqlql/25内力图FNql/2+FSql/2ql+Mql2/2ABC6例 试作图示刚架的弯矩图。ABCl/2lql/2FP=qlDql2/2ql2/83ql2/8Bq

2、l2/2ql2/83ql2/8平衡7 13.1 变形能的计算能量原理： 弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。 大前提：1、小变形； 2、服从胡克定律 小前提：缓慢加载 变力做功，功只转成变形位能（不转成动能、热能） 线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线性函数813.1.1 杆件变形能的计算：1.轴向拉压杆的变形能计算： 对于等截面杆，且内力FN=FP=常数的情况，线弹性范围内拉压杆的变形能可表为92.扭转杆的变形能计算：对于受扭转矩T为常数的等截面圆杆，则103.弯曲杆的变形能计算：考虑剪力时，

3、有剪切修正系数当M为常量时：11例13-1 两根圆截面直杆的材料相同，尺寸如图所示，其中一根为等截面杆，另一根为变截面杆。试比较两根杆件的变形能。 解 （1）对1杆，由拉杆内能公式 （2）对2杆，由拉杆内能公式1213.1.2 克拉比隆定理 线弹性体的应变能等于各广义力与其相应的广义位移乘积之半的总和对于拉压杆、扭转杆、弯曲杆的变形能可统一写成F称为广义力，而与之相应的位移，称为广义位移， 1313.1.3 组合变形杆件变形能的一般表达式： 变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。14变形能可否按叠加法进行计算？15ALFEIxO

4、例15-2 悬臂梁AB如图15-6，自由端A上有一集中力FP和一力偶M所用，EI是常数，求梁的应变能。解: (1)内力功法 (2)外力法16解：用能量法（外力功等于应变能）求内力17克拉比隆定理-外力功等于应变能变形能：18例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？CaaAFPBf19例13-3 试求图15-7所示正方形所示结构的变形能，并求A、C两点的相对位移。已知各杆的拉压刚度EA相同，正方形长度为l解：（1）平衡条件确定各杆内力（2）整个结构的应变能（3） A、C两点的相对位移20 1FP1 211 2113

5、.2 互等定理 2FP2 22 12 1功的互等定理13.2.1 功的互等定理2122先加FP1、 FP2 ，先加FQ1 、 FQ2 ，再加FQ1 、 FQ2 。再加FP1、 FP2 。2313.2.2 位移互等定理当两个力的大小相等时，有当两个力的大小都等于1时，有当考虑两个力时，有24例13-4 图13-9所示简支梁，力FP作用在梁中点C处时，B截面的转角B= FPl2/（16EI），试求在B截面作用力偶M时，C点的位移解：根据功的互等定理25当杆件受到一组引起同一种基本变形的外力作用时，应变能的计算可以使用叠加法。（ ）计算组合变形弹性杆的变形能时，各种变形互相独立，弹性能可以独立计算，

6、再叠加（ ）26图示三种梁的载荷情况，均在线弹性范围内工作，试指出下列关系中哪个是正确的？( )2728拉压刚度为EA的直杆受轴向拉伸如图示。该杆的应变能为 ，下列式中哪一个是正确的？( )2913.3 卡氏定理给Fi 以增量 dFi ，则：一、定理证明i1. 先给物体加F1、 F2、 Fn 个力，则：30再给物体加F1、 F2、Fn 个力，则： 第二卡氏定理 意大利工程师阿尔伯托卡斯提安诺(Alberto Castigliano， 18471884)2.先给物体加力 dFi ，31二、使用卡氏定理的注意事项：V整体结构在外载作用下的线 弹性变形能 Fi 视为独立变量，结构约束力和变形能 等都

7、必须表示为 Fi的函数 i为 Fi 作用点的沿 Fi方向的变形。i32三、组合变形结构系统（杆系）的卡氏定理：33例13-5 用卡氏定理求阶梯悬臂梁截面B的挠度解：求截面B的挠度wB没有与wB 相对应的力，虚加之。求内力将内力对F求偏导后，令F=0 xO 34变形（ 注意：F=0）35例13-7 图示简支梁在B端作用有一集中力偶M，求此梁的B端的转角解：（1）求约束力（2）求内力（3）求变形能（4）求转角，由卡氏第二定理36例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。变形求内力解：(1)求挠度，建坐标系将内力对FA求偏导ALFEIxO 37(2)求转角 A求内力没有与A向相对应的力（广义力

8、），加之。“负号”说明 A与所加广义力MA反向。将内力对MA求偏导后，令M A=0求变形（ 注意：M A=0）LxO AFFx 38例6 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线任意点的挠度 w（x）求内力将内力对Fx 求偏导后，令Fx=0没有与w（x）相对应的力，虚加之。FALxBCwxOx139变形（ 注意：Fx=0）40A. 截面A水平位移和铅垂位移的代数和B. 截面A水平位移和铅垂位移的矢量和C. 截面A沿合力方向（45）的位移D. 截面A的总位移4113.4 莫尔定理(单位力法)求任意点A的位移w A 。一、定理的证明：aA图wAq(x)图c A0F=1q(x)图b A=1F0

9、wA42莫尔定理(单位力法)二、普遍形式的莫尔定理43三、使用莫尔定理的注意事项： M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。莫尔积分必须遍及整个结构。 M0去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。 M(x)：结构在原载荷下的内力。 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。44例3 用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解：画单位载荷图求内力BAaaCqBAaaC0F=1x45变形BAaaC0F=1BAaaCqx46求转角，重建坐标系（如图） qBAaaCx2x1BAaaCMC0=147求出各梁段的弯矩

10、方程由单位载荷法48例13-8 位于水平面内的圆截面弯杆 ABC(AB垂直BC)，如图所示。已知杆横截面的极惯性矩和对中性轴的惯性矩分别为IP和Iz，材料的弹性模量和剪切弹性模量分别为E和G，用单位荷载法求截面C的铅垂位移解：在C虚加单位力FP ，求内力方程：代入莫尔积分方程49例13-10 试求图13-16a所示刚架C点的水平位移和转角，EI为常数解（1）求水平位移，则在C处加单位水平力代入莫尔积分方程50（2）求水平位移，则在C处加单位水平力代入莫尔积分方程51例13-12 试求图13-18所示正方形所示结构的变形能，并求B、D两点的相对位移。已知各杆的拉压刚度EA相同，正方形长度为l解：

11、（1）为求两点间的相对位移，在BD两点沿BD连线加一对方向相反的单位力（2）将杆编号，分别求出各杆在外载和单位力作用下的轴力，将所得的轴力和各杆的长度列于表中52杆号12345表13-1 例13-12中各杆轴力及长度53（3） B、D两点的相对位移54变形解：画单位载荷图求内力例8 结构如图，求A、B两面的拉开距离。FFAB115513.5 计算莫尔积分的图乘法为了简化Mohr积分计算A - M的面积56例13-13 简支梁受力如图15-19a所示，若FP、a、EI等均已知，使用图乘法确定C点的挠度解：（1）求反力并画弯矩图（2）在中点加单位力（3）把弯矩图分为4段57（4）根据单位荷载法58

12、例13-14 如图所示结构，AB梁中点E受力FP作用，已知FP，a，EI，求AB梁中点E的垂直位移（仅考虑弯矩的影响）59解：（1）求反力并画弯矩图(BCD是二力杆)（2）在E点加单位力，并画单位荷载弯矩图（3）把弯矩图分为4部分，求出各段的面积和形心对应的单位荷载弯矩（4）根据单位荷载法60例13-15 已知图13-21a所示刚架AC和CD两部分的I=3103cm4，E=200GPa，FP=10kN，l=1m。试求截面D的转角，解：（1）画出荷载弯矩图（2）在D点加单位弯矩，并画单位荷载弯矩图61（3）把弯矩图分为4部分，求出各段的面积和形心对应的单位荷载弯矩（4）根据单位荷载法6213.6

13、 能量法求解超静定问题（1）确定超静定次数（多余约束数）（2）以多余约束力代替多余约束，将原结构变为静定结构（3）能量法求多余约束处的位移（4）根据多余约束出的位移协调条件，建立补充方程（5）解补充方程，求出多余约束力（6）利用平衡方程求解其它未知量（7）进行强度、刚度、稳定性计算63例7 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。求内力解：1.依 求多余反力，将内力对FC求偏导取静定基如图FCAL0.5 LBfxOFCAL0.5 LBFC64变形652.求将内力对F求偏导求内力66变形67例13-16 悬臂梁BC受均布荷载q=12kN/m作用，两只成如图15-22a所示。已知CD杆的截面面积A=100mm2，E1=70GPa，a=7.5m。BC梁的截面惯性矩I=20 106mm4，E2=200GPa，l=3m。求CD杆的轴力（1）解除D处约束，得静定基如图（2）变形协调条件（3）静定基的内力68（4）利用卡氏第二定理， 求静定基D处的位移（5）由变形协调条件， 静定基D处的位移为零，所以69例13-17 试求图13-24所示正方形结构各杆的内力。已知各杆的拉压刚度EA相同，正方形长度为l解：（1）从BD中面截断BD杆，得静定基如图 -也可以解除6杆，但变形协调条件不同