斜拉桥受力状态优化及理论计算分析

1、斜拉桥受力状态优化及理论计算分析1 概 述2 斜拉桥恒载受力状态的优化3 斜拉桥的有限位移理论分析4 斜拉桥的稳定计算5 考虑二阶效应的近似计算6 小 结本章主要内容斜拉桥：塔、梁、拉索三种基本构件组成的缆索承重结构体系结构表现为柔性的受力特性设计计算：根据结构形式、设计阶段和计算要求来选用相应的力学模式和计算理论1. 概述1. 概述(续)计算模式是设计计算的关键概念设计阶段:主要研究结构的设计参数，以求获得理想的结构布置，对结构内力精度要求不高，可以采用平面杆系模式技术设计阶段:若仅仅计算恒、活载作用下结构的内力，仍可选用平面杆系模式，此时活载的空间效应用横向分布系数或偏载系数来表达1. 概

2、述(续) 计算模式是设计计算的关键计算空间荷载(风载、地震荷载、局部温差等)作用下的静力响应:空间杆系模式，注意实际结构与计算模式间的刚度等效性计算全桥构件的应力分布特性:空间板壳、块体和梁单元的组合模式，注意不同单元结合部的节点位移协调性。 a) 空间杆系模式 b) 块、壳、梁组合模式 图13-1 斜拉桥计算模式 1. 概述(续)计算模式是设计计算的关键局部应力有限元分析:特殊部件的应力集中现象:斜拉索锚索区、塔梁固结区等根据圣维南原理，将特殊构件从整体结构中取出，细分结构网格，将整体结构在分离断面处的内力、位移作为被分析子结构的边界条件进行二次分析1. 概述(续)计算理论的选用也十分重要大

3、跨径斜拉桥是柔性结构体系，非线性影响较为突出。概念设计阶段：主要研究成桥状态下宏观的力学响应特征，此时结构刚度较大，因此，计算可采用计入徐变、收缩的准非线性分析理论，对特大跨径柔性斜拉桥也可按线性二阶理论进行分析技术设计阶段：中等跨径的斜拉桥恒载分析仍以准非线性分析理论为主；超大跨径斜拉桥一般都要按有限位移理论进行验算1. 概述(续)斜拉桥要经历一个分阶段施工的过程结构在施工过程中刚度远小于成桥状态，几何非线性突出结构的荷载(自重、施工机具、预应力等)是在施工过程中逐级施加的每一施工阶段都可能伴随结构构形变化；构件材料的徐变、收缩；边界约束增减；预应力张拉和体系转换。后期结构的受力状态和力学性

4、能与前期结构有着密切联系施工阶段的结构分析一般采用有限位移理论1. 概述(续) 斜拉桥的设计自由度很大，可以通过斜拉索力的调整来改变结构的受力分配，优化结构的受力斜拉桥的静力计算流程如下图： 斜拉桥静力计算流程图 斜拉桥成桥恒载内力分布好坏是衡量设计优劣的重要标准之一由于受到设计施工中各种条件的限制，要求每座斜拉桥都满足零弯矩状态是不可能也是不现实的2. 斜拉桥恒载受力状态的优化需要找到一组索力，其对应的成桥态就是对应目标下最优的成桥内力状态。求解这组最优索力，并在斜拉桥中加以实施，也就实现了斜拉桥的恒载受力优化在不改变结构参数的前提下，斜拉桥恒载状态的优化，也就转化为斜拉索力的优化问题。2.

5、 斜拉桥恒载受力状态的优化索梁组成的一次超静定体系，赘余力用拉索的张力N表示2.1 索力优化的基本概念2. 斜拉桥恒载受力状态的优化(13-1) 图13-3 索梁组合一次超静定体系梁的弯矩为：如果按变形协调条件计算赘余力，易得 ：2.1 索力优化的基本概念(续)取， ， ，式(13-2)变成 ，这一状态对应于斜拉桥一次落架时的恒载内力状态。 为了优化梁的受力，可以根据需要拟定一个目标函数，现以梁上弯矩平方和为例，目标函数为： 将式(13-1)代入式(13-3)，使目标函数f最小的赘余力为：(13-3) (13-2) 2.1 索力优化的基本概念(续)这一状况相当于优化后的斜拉桥恒载状态。这时的内

6、力状态是通过索的张拉来实现的，正是这一张拉力，改善了梁的受力状况。(13-4) 图13-4 优化前后梁弯矩图 2.2 斜拉桥索力优化方法评述1) 指定受力状态的索力优化法这类方法的代表是刚性支承连续梁法和零位移法零位移法以结构在恒载作用下梁的节点位移为零作为优化目标对于支架上一次落架的斜拉桥，其结果与刚性支承连续梁法几乎一致(梁的EA)悬拼结构或悬浇的结构，零位移法是没有意义的2.2 斜拉桥索力优化方法评述(续)2) 斜拉索力的无约束优化法典型例子是弯曲能量最小法和弯矩最小法弯曲能量最小法：用结构的弯曲应变能作为目标函数弯矩最小法：以弯矩平方和作为目标函数2.2 斜拉桥索力优化方法评述(续)3

7、) 索力的有约束优化典型例子：用索量最小法和最大偏差最小法用索量最小法：用斜拉桥索的用量(张拉力乘索长)作为目标函数，用关心截面内力、位移期望值范围作为约束条件。最大偏差最小法：将可行域中参量与期望值的偏差作为目标函数，使最大偏差达到最小。2.2 斜拉桥索力优化方法评述(续) 斜拉桥受力性能的好坏要根据实际结构来评价，并不能用单一的目标函数来统一表示 工程界期望在斜拉桥索力优化过程中，既能计入各种因素的影响，又能分别得到不同目标函数的优化结果，供设计者进行比选 下面通过调值计算原理，介绍一种具备这种功能的索力优化方法2.3 索力优化的影响矩阵法1) 成桥态的索力优化为了方便讨论，先以弯曲能量最

8、小为目标函数推导索力优化的影响矩阵法，再通过讨论来认识这种方法对多种目标函数索力优化的统一性结构的弯曲应变能可写成： (13-5) 2.3 索力优化的影响矩阵法(续)对于离散的杆系结构可写成： 式中：m是结构单元总数，Li，Ei，Ii分别表示i号单元的杆件长度，材料弹性模量和截面惯矩， ， 分别表示单元左、右端弯矩。 将式（13-6）改写成： TB + TB 式中： ， 分别是左、右端弯矩向量，B为系数矩阵。(13-6) (13-7) 2.3 索力优化的影响矩阵法(续)令调索前左、右端弯矩向量分别为， ， 改变索力的施调向量为T，则调索后弯矩向量为：式中：CL，CR分别为索力对左、右端弯矩的影

9、响矩阵。将式(13-9)代入(13-7)得：（i=1，2，.m） B =(13-9) (13-8) 2.3 索力优化的影响矩阵法(续)U=C0+ TBCLT+TTCLTB + TTCLTBCLT+ TBCRT+ TTCRTB +TTCRTBCRT 式中：C0 是与T 无关的常数。要使索力调整后结构应变能最小，则： （i=1，2，.l） 式（13-10）代入（13-11）并写成矩阵形式： (CLTBCL+CRTBCR)T= CRTB CLTB (13-10) (13-11) (13-12) 式(13-12)给出了使整个结构弯曲能量最小时最优索力与弯矩影响矩阵的关系。通过讨论，容易得到如下结论：

10、(1) 如果取弯曲应变能与拉压应变能之和为目标函数，则只要在式(13-12)左、右端增加构件拉压力与索力影响矩阵的关系项，就可得出相应的最优索力方程 (2)如果需指定某些关心截面上的内力为定值， 索力优化问题变成了求条件极值问题2.3 索力优化的影响矩阵法(续)2)施工阶段的索力优化 根据施工逆过程，可以确定满足成桥优化内力状态下，各施工阶段的内力状态和位形，即施工阶段的理想状态但在实际施工时，由于构件自重、刚度、施工精度、索力张拉误差、温差等诸方面因素影响，可使施工阶段结构实际状态严重偏离理想状态,对索力的优化调整是施工阶段纠偏的重要手段2.3 索力优化的影响矩阵法(续)工程中纠偏常用的方法

11、是适当调整索力，使关心截面上控制变量的偏差最大限度地减小。施工过程中控制变量以位移为主，成桥状态下控制变量以内力和索力为主设关心截面上n个控制变量的误差向量为0，通过l根索的索力施调向量T作用，使误差向量变为，则： 2.3 索力优化的影响矩阵法(续) =0+CT (13-17)式中：C为索力对控制变量的影响矩阵。 控制变量可能是由关心截面上的内力、位移、支反力等混合控制变量组成的向量。这些变量的量纲各异，如果直接选用误差向量模的平方作为目标函数，可能导致优化失败，为此， 引入相应的权矩阵来体现各控制变量的量纲和其自身的重要性。设权矩阵为B=Diag(b11，b22，.bnn)，取目标函数为：

12、U=TB (13-18) 则问题变成了式(13-12)的一个特例，索力优化方程为 (CTBC)T= CTB02.3 索力优化的影响矩阵法(续)(13-19) 3)算例分析图13-5为塔墩固结、主梁漂浮的斜拉桥计算模型。全桥共7对索， 单元编号从43号开始自左向右递增。各构件的材料、几何特性见表13-1。梁受有竖向均布荷载 q=50kN/m 作用。按如下目标调索： 2.3 索力优化的影响矩阵法(续)2.3 索力优化的影响矩阵法(续)(1) 使塔根弯矩为零，并在索、梁交点处达到零位移。(2) 用弯矩平方和作为目标函数进行索力优化。(3) 用弯曲能量作为目标函数进行索力优化。(4) 对塔的弯曲能量权

13、数增大5倍进行优化。 四种情况的索力优化结果列于表13.2,相应的弯矩图见图13-6(ad)。 2.3 索力优化的影响矩阵法(续)计算结果表明:(1)指定受力状态的调索只能极端地强制个别截面上受力较好，而无法顾及整体结构的受力。要求塔根弯矩调零，出发点是希望塔内弯曲内力小些，而事实上得到的结果却相反：塔的最大弯矩上移，更不利于设计， 最大弯矩达3040kN.M, 是四种情况中最差的。(2)以弯矩向量模的平方为目标函数，与弯曲能量为目标函数优化的结果相比较，后者可以反映刚度对弯矩的权效应。本例塔的刚度较梁大， 塔应比梁分担的弯矩为大，计算结果也说明了这一点。但本例并不说明后者结果优于前者，因为塔

14、、梁是不同的受力构件。只有对同种受力状态的变截面构件， 才能体现出后者的优越性。 2.3 索力优化的影响矩阵法(续)(3)根据构件受力特点调整权量，可以充分发挥各种受力构件的特性。 同样以弯曲能量为目标函数，本例情况通过增大塔的权量，使最大弯矩从2040kN.M降低为 1210kN.M。(4)一个反映结构内力状况的目标函数的极值是由结构自身特性和荷载分布情况决定的。结构中一部分构件受力的优化，必然给另一部分构件带来受力的恶化。 2.3 索力优化的影响矩阵法(续)引起斜拉桥几何非线性的因素主要有三个方面： 1、索的垂度影响在分析斜拉桥结构时，常将斜拉索模拟成桁架单元，由此带来了计算模型与实际结构

15、间的误差。通常可用Ernst公式修正索弹性模量。由于Eeq是索端力的函数，导致了索端力与索端位移呈非线性。 3. 斜拉桥有限位移理论分析(13-20) 这是一种将几何非线性问题转化为材料非线性问题的近似方法，当索内应力水平较低时,这种方法精度较低，直接用柔索单元来模拟斜拉索才能得到精确的结果。2、梁柱效应斜拉桥主梁、主塔都工作在压弯状态，引起了梁柱效应。用梁单元分析时，可用稳定函数表示的几何非线性刚度矩阵或一般的几何刚度阵来计入这一效应。前者精度高，但计算工作量大；后者精度稍低，计算工作量小。3、大位移效应由于斜拉桥具有柔性结构特征，外荷载作用下结构变形较大，平衡方程必须建立在变形后的位置上。

16、可以用大位移刚度阵或基于U.L列式的有限位移理论计入这一效应。 3. 斜拉桥有限位移理论分析(续)施工仿真计算主要采用前进分析和倒退分析法前进分析法：以计算斜拉桥施工过程中内力、构形，以保证施工的合理与安全为目的的仿真施工过程的计算方法倒退分析法：将成桥状态作为目标，以计算斜拉桥拉索初张力和拼装节段标高等理想施工参数为目的的逆施工过程的计算方法3. 斜拉桥有限位移理论分析(续)一般描述一座桥的施工过程需要如下信息： 总体结构 施工方式 各个施工阶段的荷载3. 斜拉桥有限位移理论分析(续)3.1 前进分析 总体结构：桥梁从施工到成桥的过程中，出现的“最大”结构,包括结构离散状态的节点、单元、几何

17、材料、预应力索、构件的徐变、收缩、组合单元及刚臂信息等施工方式信息：各个施工阶段中，在已建结构上新增加或拆除构件的数量及单元；新增加或拆除的支座；新张拉或放张的预应力索数和索号；临时铰的封结或临时固结的释放等施工荷载信息：在已建结构上新增减的荷载、温变、支座变位、预应力张拉力荷载及调值信息 3.1 前进分析(续) 在前进分析中，由于结构刚度较小，砼构件龄期短、位移大、徐变收缩量大，结构非线性表现突出，所示非线性的求解策略显得尤为重要 3.1 前进分析(续) 前进分析系统的流程图倒退分析是以成桥态t=t0 时刻的内力状态为参考状态，以设计的成桥线形为参考构形，对结构进行虚拟倒拆并逐阶段进行分析，

18、计算每次卸除一个施工段对剩余结构的影响的计算方法对于线性结构，用倒退分析结果进行理想施工，保证每一阶段都不出现偏差，就可以在t=t0 时刻达到成桥状态,从理论上讲，倒退分析的结果可直接用于指导线性结构的设计施工，并作为施工控制的目标3.2 倒退分析 单一的倒退分析可由前进分析的逆过程来实现首先，激活虚拟结构中成桥态的所有单元、约束节点、预应力索，并将外荷载作用于结构，通过恒载优化确定成桥态结构的最优受力状态，并将位移赋零，其目的是使设计结构的应力、构形满足初始描述在此基础上，逐阶段对结构进行倒拆分析。得到的位移和内力状态表示：要使成桥态结构满足倒拆前的状态，本阶段已建结构所必须具备的状态当计入

19、徐变等的时效影响，用单一的倒退分析确定斜拉桥的施工状态，就会遇到前进分析与倒退分析的状态不闭合问题3.2 倒退分析(续) 斜拉索施工较多采用一次张拉法要求对新拼梁段设置事先确定的预拱度要求对新安装的斜拉索以事先确定的初始张拉力进行张拉如何来确定这组拉索初张力和梁段的预拱度？ 3.3 初始张拉力与施工预拱度的计算 3.3 初始张拉力与施工预拱度的计算(续) 对结构进行倒退分析，计算每卸除一个施工段对剩余结构的影响，就能得到各索的初始张拉力和梁的安装预拱度但这样的倒退分析与实际施工存在着诸多不闭合因素，归结起来主要有以下几点：1)计算状态的不闭合 成桥状态在合龙截面处一般都有一定的弯矩，而自由合龙

20、时该截面弯矩为零,说明一次张拉法施工与倒退分析状态往往是不闭合的 如果索力和支反力值的不一致导致结构受力状态偏离优化受力状态较小，采用这一施工方案又能简化施工，则可用后者代替成桥内力状态 否则必须在结构合龙后实施索力调整，这一步工作必须作为一个施工步骤反映在确定初始张拉力与施工预拱度的分析过程中3.3 初始张拉力与施工预拱度的计算(续) 3.3 初始张拉力与施工预拱度的计算(续) 2) 结构预应力、徐变、收缩引起结构倒拆分析内力与实际施工内力的不闭合 3) 斜拉索垂度效应和结构大位移效应等几何非线性引起的倒拆分析内力与实际施工内力的不闭合 单用倒退分析法确定的斜拉桥初始张拉力与施工预拱度往往是

21、失真的，无法直接用于设计、施工 采用前进、倒退分析交互迭代法可以消除这些不闭合因素影响，其主要内容有： 3.4 斜拉桥实时跟踪控制简介 目的：确保结构在施工过程中的安全，将施工理想状态作为控制目标，力图减小由于各种扰动产生的输出量与参考量之间的偏差，从受力与线型上逼近设计状态。 一般包括以下内容： 1) 解析系统。包括斜张桥施工仿真分析、反馈控制和误差分析三大部分。 施工仿真分析部分应具备倒退分析和实时跟踪仿真分析功能。通过跟踪仿真分析可掌握实际结构信息，为误差分析提供依据； 反馈控制和误差分析部分，可根据现场实测数据和误差信息进行施工误差原因分析，并定出控制向量（如索力调整向量），指导现场作

22、业。 3.4 斜拉桥实时跟踪控制简介(续) 2) 计测系统。包括设计参数计测与施工管理参数计测两方面。设计参数包括材料、容重、弹性模量、预制或现浇构件尺寸、施工荷载及状态等内容。通过采样分析可以获得各参数的误差情况。为误差分析和修正设计提供依据；施工管理参数主要包括索力、梁、塔变位、截面应力和临时支架或辅助墩的支座反力等。 3) 报警系统。在允许的范围内给定误差标准，当施工管理参数误差超出误差允许范围时，给出报警信号，并指导施工调整。在实时跟踪控制中，误差分析、状态估计与纠偏是关键技术。 3.5 斜拉桥的空间分析 在横向风荷载、汽车偏载以及其它空间荷载作用下，斜拉桥应按空间模式进行有限位移理论

23、分析 一般将斜拉桥简化成空间杆系结构模式，主梁的杆系模式要根据具体的截面形式来定对自由扭转刚度较大的闭口箱梁断面，常选用“鱼骨”模式3.5 斜拉桥的空间分析(续) 具有分离边箱梁的主梁断面，可以选用双梁式模型 在力学模型简化时，应注意边梁竖向抗弯刚度提供的约束扭转刚度与实际结构的等效性 缺点是难以模拟侧向抗弯刚度，计算侧向静风响应有较大误差3.5 斜拉桥的空间分析(续) 计算侧向荷载响应时，最好采用三主梁模式通过刚度分配原则来等效主梁刚度： 1) 主梁的面积和侧向抗弯刚度全部集中于中梁； 2) 主梁的竖向抗弯刚度兼顾竖向刚度与约束扭转刚度的等效性； 3) 自由扭转刚度和部分约束扭转刚度可集中于

24、中梁。用板、梁、壳及其组合单元来仿真实际结构3.5 斜拉桥的空间分析(续) 空间非线性分析时，以成桥恒载状态为参考状态，用U.L列式的有限位移理论就可以分析各种空间荷载的静力响应大跨径斜拉桥的计算通常可以划分为三个层次结构整体分析主要构件分析，如梁和塔柱的三维应力分析局部细节或构造的应力分析，如索梁锚固构造3.5 斜拉桥的空间分析(续) 局部应力分析一般建立在整体分析的基础上在整体结构中取出包括关心区域在内的构件作为分析对象，将分析对象用板、壳或实体等参元进行模拟将最不利工况下结构在取出构件断面处的内力、变形作为分析对象的力和位移边界条件分析出相应的局部应力斜拉桥的梁、塔在外荷作用下，处在压、

25、弯状态平面内的压、弯失稳出平面的弯、扭失稳斜拉桥在静风三分力作用下扭转发散或弯扭失稳本节介绍斜拉桥 外荷作用下实用稳定计算方法 静风作用下的横向稳定分析 4. 斜拉桥的稳定计算两端铰接的弹性支承梁，在轴压力超过临界值时，将屈曲成若干个半波，取其中一个半波作为研究对象，座标原点取在半波的中央，近似假定其屈曲模态为余弦曲线4. 斜拉桥的稳定计算4.1 加劲梁的面内稳定实用计算 (13-21) 图13-10 两端铰接的弹性支承梁一个半波 弹性支承的等效弹性介质系数可表示为： 4.1 加劲梁的面内稳定实用计算(续) 弹性支承反力R与挠度成正比波节点的剪力中点弯矩可写成：(13-22) (13-23)

26、(13-24) (13-25) 利用边界条件；得：由 易得，P值最小时：(13-28)代入(13-27)得： 斜拉桥的加劲梁可近似看成是弹性支承上的连续梁，因此，它的临界轴力就可仿照弹性支承梁的方式来导得 (13-26) (13-27) (13-28) (13-29) 4.1 加劲梁的面内稳定实用计算(续) 实际计算模型与弹性支承连续梁有三个主要不同点： 1) 弹性支承梁的弯曲刚度为常量EI，斜拉桥的弯曲刚度可能是水平座标x的函数 2) 弹性支承梁的轴力为常量P，斜拉桥的梁内轴力是x的函数N(x) 3) 弹性支承梁的弹性介质系数为常量，斜拉桥的等效介质系数为x的变量(x) 斜拉索的等效弹簧刚度

27、k可参照图13.11的几何关系导得： 4.1 加劲梁的面内稳定实用计算(续) 式中： 为索与梁的夹角； 分别为单位力在A点引起索伸长和塔弯曲所产生的竖向位移分量； 为斜拉索长度；AC,Ec 为斜拉索轴向拉伸刚度； 为索、塔刚度比；EtIt 为塔弯曲刚度。 (13-30) 图13-11 拉索变形的几何关系 4.1 加劲梁的面内稳定实用计算(续) 它是x的函数，将某一x代入式(13-31)得到的临界轴力称为名义临界轴力名义临界轴力与该处梁的实际轴力之比称为该点的名义屈曲安全度，可取其最小值作为加劲梁的屈曲安全系数 根据式(13-30)，由k就可导出等效 ，仿照式(13-29)的形式，可将斜拉桥主梁

28、面内稳定临界轴力写成：(13-31) 4.1 加劲梁的面内稳定实用计算(续) 4.2 主塔的稳定估算 在施工阶段，主要考虑塔柱上附有施工设备等荷重，斜拉桥尚未合拢时的情形主塔可简化为一端固结的变截面受压柱，常常将塔换算成等截面受压柱来计算设面内、外较小的等效抗弯刚度为EI，塔高为h，于是，塔的临界荷载可近似地写成： (13-32) 4.3 斜拉桥稳定计算的有限元方法 以斜拉桥成桥后施加桥面均布荷载的稳定问题为例来说明其曲屈稳定计算的有限元方法将斜拉桥结构简化成杆系模式，确定布载前斜拉桥的成桥内力状态，这个状态应根据实际设计恒载状态通过施工仿真计算得到，此时结构的切线刚度矩阵可表达为： (13-

29、33) 式中： K0结构的弹性刚度矩阵 KG结构成桥内力的几何刚度矩阵4.3 斜拉桥稳定计算的有限元方法(续) 再计算出单位桥面均布荷载引起的内力增量，相应于内力增量的几何刚度阵为Kq，则斜拉桥桥面施加均布荷载的稳定问题，可由下式计算： 式中： 施加桥面均布荷载的稳定安全系数。 (13-34) 4.4 静风作用下的横向稳定分析 假定平均风速以攻角0作用于主梁产生扭转角为作用于变形后主梁单位跨径长上的风力分量可按风速记作：式中：D、L、M分别为每单位跨长的平均阻力、升力和升力矩，它们都是功角的函数，如图13-12所示；(13-35) 图13-12 稳定气流重的主梁横截面 4.4 静风作用下的横向

30、稳定分析(续) 为空气密度；B为主梁宽；An为迎风投影面积；CD、CL和CM分别为风力方向上阻力、升力、升力矩的静力气动系数，是攻角的函数，如图13-13所示：图13-13 静力三分系数曲线 4.4 静风作用下的横向稳定分析(续) 将风力可转换为全桥座标轴上的风力，如图13-12所示。 上面(13-36)、(13-37)两式中的是全桥座标系中的相对风速， 是全桥座标系中的静力气动系数。 至此可建立起风荷载下的非线性稳定分析模型，包括如下两个步骤： (13-36) 这里： (13-37) 4.4 静风作用下的横向稳定分析(续) 第一步，完成在给定风速V以攻角 作用下的初始风力的分析。平衡方程如下

31、： 这里的Ke和K 分别是基于在重力荷载作用下产生的位移u和应力的结构弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵；U是位移矢量；P0是基于未变形的主梁结构的初始风力， 由 代入式(13-41)得出；上标G表示重力。 (13-38) 4.4 静风作用下的横向稳定分析(续) 第二步，按如下步骤完成由于主梁的扭转变弯形及随之而增大攻角所产生的附加风力作用下的非线性分析。在完成前述初始风力作用下的非线性分析后，得出总位移和初始内力。从这些位移中可求出现在的气动静力系数 ，并分别转化为 。桥在受到第j步的附加风力下的线性增量平衡方程为： (13-39) 4.4 静风作用下的横向稳定分析(续) 式中Pj和Pj.1分别是结

32、构受到的由本次及前次攻角下位移决定的风荷载；上标W代表风载，继续上述迭代步骤，求出每个循环完成时的附加风力。 当静力气动系数的欧几里得范数小于规定的容许值时，就得出给定风速下的收敛准则。欧几里得范数写作： (13-40) 4.4 静风作用下的横向稳定分析(续) 上式中k是给定允许值，Na是承受位移决定的风荷载的节点数。对于小于临界风速的任意给定风速，上述过程都会收敛。在每个迭代循环中，分析结构的切刚度矩阵可得出结构是稳定的、不稳定的或随遇平衡的。 由于考虑了分析模型受到的由位移决定的风荷载的三个分量，既能分析其非线性横向弯扭失稳的安全性，也能研究其非线性扭转发散的安全性。如果在式(13-38)和式(13-39)中忽略阻力D和升力L的影响，就可计算结构的非线性扭转发散。如果攻角为0，即风向与桥面一致，那么风力Fx、Fy和Mz就