第三章连续型随机变量

1、第三章连续型随机变量1.设随机变量上在区间卩丄习上取值，且对每个 心心，概率与/成正比。(1)求的分布函数(3)计算 主落在区间的概率。(例题、一维、连续型、分布函数)解：(1)根据题意，当时，m_m，当0二时，当 时，。由连续型随机变量分布=1函数的连续性，有八-丨-宀；，得到故Q x 0,F(x) = P(X x) = i xJ,0 2.Li,0 x 2,/(x) = F() = JsI其它(0Xl)-P(X 1)-P(X 0) = 7(1) -F(0)=-jf(X)= 2.已知随机变量上的密度函数为，- u- . .T +-U，求上的分布函数广I门。(例题、一维、连续型、分布函数)解：当

2、T (I时,险)F(兀)=,()由=匚/业+加当工-0时,伯&+爲&A所以戈二）。（例题、标准正态分布、计算）戈二）。（例题、标准正态分布、计算）F(x) =2/、x 0,2!1 r1一 一&23. 设的密度函数为 题、分布函数）ex. - x +c.20 x 1,2x1-,1 X 2.求上的分布函数。（例解：当工0时,x x 1 1F(x)= /卩)也=于加=尹戈当0 - .Y 时,F让问=中成喘曲+f Q -訥当1_丄2时,F（x） = 彳 卜滋+f詁 +f （1 冷）妇fQdt当工2时，1 所以,ex. x 1.5) = 1 - ?(| y -L51 1.5) =1-/?(-1.51.5

3、)=1 - 7(0 i X 3) “-(3) + (0)= 1 -0.9987 + 0.5 -0.5031.(2)P(2|X| 5) = P(T51X 15) (23) - 4(-15) = 2$(2.5)-1 = 0.9876.5.设 ，计算下列概率：（1）皿2.44）；（2）紀 川 （例题、正态分布、标准正态分布、计算）解：（ 1）PX 2,8) = 1 - ?(| X | 2.8) = 1- P(-2B X 96） = l dF亡闷皿邛，但是96 - 72 11厂山9山，于是，得到 厂12。所以0.023097 冗，即，但P(60 84)= 84 - 721-12(1)-虫一 1) =

4、20(1) 1 = 0.6826设成年男子身高服从正态分布（单位：厘米），（1）求成年男子身高大于160cm的概率；（2）公共汽车应设计多高，才能使成年男子上车时碰头的概率不大于 5%; （3）在这个设计之下，求100个成年男 子上车时，至少有2个人发生碰头的概率。（例题、正态分布）解：（1）160-1701lo-= 1-1)=(1) =0.8413,P（X 160） = 1 - PX 160） = 1 -（2）设应设计为&厘米高，则应有川一山匕，但是A-17010A-1701，从而有h-no查表得到萌I.W 山岛，于是有，即A _ St,4? 0i A) = 1 - PX 2)= 1 -?(

5、y 2)=1-(7 =o)-= i) 1 -C*l(l0.05*0.95100 -=0.96.设二维随机变量 （X） 的密度函数为= f/p（3x3 + xf）,0 x 1,13。（1）确定常数k ； （ 2）求P（X-,Y2）P（X -）耐；（3）求；（4）求 O 丄 -。解：（ 1）由I有1 =f（张十驴）血氐=Arfv =6a? +4xdc = 4k(2)2=lry2）讪：1 2 /Jr, f 十岁)妙P(X y 0,*叫其它所以,f3-2 i f 妙Jl44 J3) = f f/ , y)dxdy 1战3（1）确定常数；求徵.门的分布函数；（3）计算概率 mi 3） 以及.；（4）问上

6、与丁是否独立？（例题、二维、连续型、分布函数、密度函数、待定系数、独立性）解：（ 1）1=匸匸临血 7訂依edy T扣巧陀所以，F。（2）设 丁 Lr U，有-2产町3严创=（-严）|；（-严）|；=（七）（1-严）.当门）落入2, 3, 4象限时，显然有F(x,y) = P(Xx,Y0,J03（3）小卫一加1而Fix 0,“丿易见当!0,0,J0,时，从而八I ”从而对任意F有 /（*） = AWA（/） ，即_i与i相互独立。仃 5扎W! ”同理，有10.设二维随机变量 （X）分布，（1）写出 （XD的联合密度及边缘密度函数；（2）求出的分布函数。（例题、二维均匀分布、联合密度、边缘密度、

7、分布函数）解：（1）矩形域 山 2154 的面积为1 2 -1，故子（兀，刃1 JC 2,24,其它.，故有,254h其它.（2）当工1或丿：时,F(x3)j) = P(X ixjY Ly)= T f /(it.vjducb = f f OtfeiJ- JkoJ J-E当 1 - v _ 2.2 _ | _ 4 时,F(x,y) = P(Xix,Yy) = 当 v 2：2r _4 时,F(jc)=P(X x,F /) =fu)diidv = f f dudv = F(xy) = P(X KXjF ) = j/(,v)dirrfr =丄血rfr = x -1，F(jc)=P(X x)y ) =

8、/(%卩)血出2 f 扌血lx 4x 2,y 42 J -2 丁, x -1,于是有11.设二是两个相互独立的随机变量，已知上 川！，丁的密度函数为AW = p9（i）求去与y的联合密度函数；（2设含有W的二次方程，求H有实根的概率。（例题、独立性、联合密度）A（x）_解：（1）上有密度函数/(x1y)=/(x)fy(y) = 密度函数为1, 02!，则戈与丁的联合1丄丫e 2 , 0 x 0,、 其它-（2） ii有实根 匚汀小（I，即F ，于是JF仇刃曲审三f” -ps有实根)=p(y x2)-=f (1 -凰 2 )dz 三.-f 庄 2= 1J_=1-伍-(0) = 01445.12.

9、设匕门的联合密度为f(y)=3x60 xlj0 xJ其它.边缘密度并判断 丄与丁是否独立；（2）丄的条件密度；（3） i 的密度函数。（例题、联合密度、条件密度、独立性）解：（ 1）由丿小J八”，知当1时，有x2，而丄取其它值时，门为0。从而显然有fy（y）=7（兀丿）必卜世!3x2 ,0 r 1,故当U r I时，有5一刖；.，同理，fy(y)=o,其它注意到，当口 1丄工时,所以上与丁不独立（2）/（兀 I j）0 X 1,0 X其它.f（y I 兀），(工切0Xl,0J7X其它.耳M(Z)訂(X-F)= |卩(3磁砂二，当门工I.i)时，即当i. 打.t时，有U工r 1。所以当：H 时，

10、有丿m ,当I时，厂1，而当H】丨时，积分区 域如下图的阴影部分：“31 3）于是有扌（”） 1,0,其它.”f（HJ）必妙= 虫鬧bf + j3xafc = ;/(x,j) =3x 3x2 -(l-j;2) = /y(x)/y(j7)J. + （1设二维随机变量 Q) 的密度函数为-(3xJ +xf),0 x 1,1 j 3，并计算概率2 J*。(例题、条件概率)解：当II - V - 1时，人口仗如f扣宀勒呛二討+兀扌兀* +x,0 x i 111 HE ，而当1-丿二3时， 、 Jl/r, 2 、丄 1 yfr(y) = 士:+恥丁卩I1 + 21 0v 348(),11吒，从而当I.J

11、 - V 一 时,/y (少)Ix)/仗J)川工)n H 当丨j $时,F 2*血F,心“2 +J0, 其它. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark84 o Current Document t1 捡 + 7r1013 了 5av = + = ?0又注意到仍16 ，从而 HYPERLINK l bookmark88 o Current Document P(xd,Y2) P(X-Y2)-3有(根据条件概率公式)-p(x22) = fi(f(xiy)dyJ JA135但A28-5-64716P(XY 12) =故P(X-Y2)P(X-|F=2)注意在本题中2和：的

12、不同解法1 JC +w 一J?兀 if（x.y） =i 2xryx设 （扎） 的联合密度为h 其它-求（ 1）乂及Pf_ F 4|7 =-） 巩八小处的条件密度；（4）计算概率及 儿- 4 J V （例题、二维、联合密度、条件密度、条件概率）解：（1） /（y）0 的区域如下图的阴影部分:a/Uy 二故当T 1时,厶(龙)三.占一妙=-(In 龙一H-) = rE*h2x j 2xx x当 T_1 时，AInx5忑人 兀于是0, x i 1.而当i r I时,2xy i当丁丨时,当r丨时,fl2r10,0于是(2)Fin兀P(1 X ) = f 哗矗=In xd(- -) = -hx 丄 I；

13、 +f -1-A = 02642P(扌 F 2) =py)妇百砂+ f 妙(3)当J1 -时,AW-ix +,x y yO3 其它.当1.1 I丄时,/（* j）厶（工）J? X 1 + 2 1 p(m”*处i严尹和乜, 41 y = 3)=藏33。4UD设随机变量上 宀丨）且当已知 上一工时，山，其中T （I ,求（扎门 的联合密度。（例题、条件概率、联合密度）解：由叮矗”）,人ex 0,U. .1 _0L ,frx(y I x)e 尹 0,0 p 斗f (勒 J)= XQ 其它设 X2），求y -e的密度函数。（例题、随机变量函数的分布、单调）1X 2,廿忙，而丿一严格单调，故1 _丄_

14、?知，丿，从而得到fy 0,，且丿一 1-/x 单调，反函数丫 = （i-y）317.设A-lC.-Ll，求Y 1-:：，A的密度函数。（例题、随机变量函数的分布、 单调）A（x） 解：且r 1,于是当r 1时，A U尸川（17）汗|（1-卅）卜3卅/rO) “3(1-刃怙3尸50, 1-2 218.设随机点在上半单位圆 *上均匀分布，其向径M （原点为U点）与丄轴正向的夹角设为9，记F 朋，求丁的 密度函数并计算概率门丁）。（例题、随机变量函数的分布）解：（1）注意到 e-UM，于是0由密度函数1，从而斤（刃胡北卅胡嗣3）JT%其它.当时，心小I,当丿U时,F7 (尹)=Parctgy 6

15、arcty = f dQ = arcty0, 1) = 1 - F(l) = 1 arctgl = 1-=- (2)19.设上与丁独立，且有密度函数上（i.li ,，求-上j的密度函数。（例题、两个随机变量和的分布）解:(1)1,0：1,。其它fy(y)由卷积公式,由_，当被积函数大于0时，应有I工1，且：I （I,所以积分区域如下图的阴影部分:当“时，门；vu*当zl时，/火）=怡临=水3-1）=八（1）于是有20.设卫与独立，上与均服从均匀分布 山叮），求工-戈J的密度函 数。（例题、两个随机变量和的分布）解:1,0 x 1,0其它,由卷积公式,有八门L八W皿，当被积函数大于0时，即FW比

16、！:工！一1时，应有工.且|丄丨，即下图中的阴影 部分：z=/ IZ故，当丨时，N :， 当I : ?时，人仆1。2,0于是有b其它21.设上与丁独立，且述!，厂小 ,求-上的密度函数。（例题、两个随机变量和的分布）fx（x） ejXE R“苴D解：/2jra0具匕由.uj：m 仆,并注意到u，门：竹大于0时，有、丄R，且一 1 1 一龙，即：尺 t 二號，于是22.设上与丁独立，且上 H，在1|上服从辛普生分布，即/y（j）=2-jl J 2,卩其氐，求z&比十y的密度函数。（例题、两个随机变量和的分布）fY(y) = 2-y. j (-0.4564)故 2-llU.4?C-4i 1Li.5

17、44.1小、片、-（l + xA|x| 1|1,设（扎）有联合密度其它-证明：去与y不独立，但上与独立。（例题、二维随机变量、独立性）证:厶仗妙世扌（1+勒妙冷龙K1Zr何二口 （工佶（1 +咖那吓1时,AO) =a其它显然当f(y) = -(1 + )- = A(X)A (丿)44所以上与丁不独立又，令I一厂，由比门的值域知0 I 1.0-1 .10于是“）的二维分布函数为FM，卩琨护 S uj2 v)=p(-&,x,1久-& y ),oi,ov lf（s），从而知 （邓） 的联合密度为:26.du dr / 1,0 vg 其圧0,o,其它扎(y)0複它.且的值域为 （i ,有AU） f I

18、厶（严）齐（刃血=2严如洛2(3设两个电子元件联接方式为（1）串联；（2）并联；（3）备用（即第一个 损坏时换上第二个），又设两元件寿命丄匚分别服从及c!，（*，且/），求上述三种系统的寿命的密度函数。（例题、指数分布、极大、极小）解：设第一个元件寿命为 A，第二个元件的寿命为J，则其密度 函数和分布函数分别为fxM仁1 - ,x 0, a xo并设系统寿命为/，注意到两元件的寿命当然是互相独立的，于是有（1）皿，于是fo,割严叫g从而有(2)是有FAd二町防町Z=max（X），冷啦+6 -（乂 +乐如）/。.(1-X1-) o.于,由卷积公式，有仆 ，要使（3）大于0,应有T （I ,且：I

19、 （，故当：fl时，有Zf（z）三仇七*叫=兄稳wf占W舐=0Z-1)产b,； o,fz(= xe-严W27.三个火车站每天上午各独立地发一列火车去同一煤矿拉煤，设每列火车到 达时间从上午8时到下午8时内均匀分布，求（1）第一列火车到达时间的 概率密度；（2）某天第一列火车在上午9时后到达的概率。（例题、极小）解：设丄：是第:火车到达的时间，贝则 卅列），汁23，且相互独立，并且0工 83x 8Fx_ (x) = ,8 x 20.（1）设了是第一列火车达到时间，则 LmudOi，,8x0）-i-p（r 10）-1-=0.7703.公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，乘客到汽车站的任一时刻是

20、 等可能的，求乘客候车不超过3分钟的概率（假设公共汽车一来，乘客必能 上车）（例题、几何模型、均匀分布）解：解决这类问题通常需要建立正确的模型， 不同的模型有不同的解法。解法1用几何模型，设想公共汽车在区间I（单位：分）中到达， 这就是基本事件区域，事件发生的区域就是区间,后者区间长度与前者区间长度的比为3 5 0.，这便是所求的概率。解法2:用随机变量。设刚开走的汽车是在-I：时刻，于是下一部汽车将 卫（兀）=上均匀分布的，于是有，从而“候车不超过3分钟”的事件可表示为乘客在区间中的时刻到达，即L :-叭 ?，根据概率密度的性质,这个事件的概率为在（分）到达。又设乘客到达汽车站的时刻为 匚，

21、则在J吕xE （珀石+5, a其它.k.八、门是不是二维随机变量的分设函数布函数？（二维、连续型、分布函数）解：不是。因为一个二元函数要能成为分布函数，它必须满足分布函数 的一切性质，在二维分布函数的性质中有如下的一条：而题中给出的函数不满足这一条性质，比如，特别地取moi，儿,)-匚1)，从而门川，笛小 m，把这四点代入表达式中得到 F(2J)F1)-F(20) + FO)-1HO _。因此F(吋) 不是二维分布函数。【2童(点0,其它-给定非负函数 W，它满足。又设/()=+ y2 )/(“？ +宀0 兀0,，并假定各周的需要量是相互独立的，求（1）两周；（2）三周的需要量的概率密度。（例

22、题、连续型、联合密度函数、联合分布函数）解：假定某种商品一周的需要量用：（单位商品）表示，那末匸是随机变量，它的概率密度便是 川门，其图形如下:从图中可以看出，在一周中需要/. I （单位商品）左右这个数量的可能性最大，需要很大数量商品的可能性趋于零。而需要很少数量的红色那个品 的可能性也极小，因此这条概率密度曲线就是一周中的需求量曲线。有了这 条曲线，有关人员就可以根据它准备适当数量的货源，避免组织过多商品造 成积压和组织过少商品造成供不应求的两种极端现象。例如：如果组织4单位商品，就有，的可能性，即90%以 上的可能性保证供应。假定用匸，r，表示第：周需要量，J 表示第丿个周的总需要量，那末丁 儿*，I _ LI 儿。注意：是独立=（/）同分布的随机变量，即它们的概率密度为 现在来求 Q，再的概率密度。由于 匚匚的独立性，得 儿匚的联合 密度为卯淖Y划Uh 0,0,其它.同理的联合密度为6A03!0062012024/r/j （bi氐居）=布函数为片曲宕厲呢,r2）? 0,U于是，两周需要量卩的分殍） = P旳 z） = P（7；+7i ）=卩y尼）g 三护用w”1”2 非吐阳f 1密弋码其中积分区域G如下图:类似地，对于三周需要量厂的分布函数为Fg=P（B Q