第四章相似理论

1、 第 五 章工程研究方法了解相似理论的基本概念和基本方法，掌握相似准数的导出方法学习物理模型研究方法11 基 本 概 念一、物理量及其量纲基本物理量量纲：用以确定某一系统的特点或本质的物理变量。基本量纲所表示的物理量就是该单位制中的基本物理量无量纲量：当一物理量所有量纲指数都为零，它的量纲为1量纲与单位2量纲和谐性任何一个完整的物理方程，其量纲必定是和谐凡一个完整的物理方程，不因采用的单位制度的变化而发生变化，这类方程在数学中称为齐次方程。凡量纲核心的方程，在数学上应为齐次方程3二、单值条件一个现象区别于其他现象的个性标志几何条件：说明参与过程的物体的形状、大小等几何特征物理条件：说明参与过程

2、的物体的物理性质时间条件：说明在时间上预先已知的特点边界条件：说明边界上过程进行的特点 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件4 三、量纲独立K个物理量，其中任一个物理量的量纲均不能由其它物理量的量纲组合来表示，则称k个物理量的量纲彼此独立公理：量纲不独立的物理量可用量纲彼此独立量的幂积形式表示5量纲独立条件：对物理量a、b、c有：只有当物理量a、b、c具有彼此独立量纲 62 量纲分析原理基本原则 量纲和谐性原则 定理7一、 定 理描述某现象的n个物理量(a1、a2、a3an) 其中k个物理量的量纲彼此独立， 且kn，则描述该现象： f(a1、a2、a3ak、ak+1、ak+2an)=

3、 0其余（n-k）个物理量 的量纲可用k个独立 量纲的幂积形式表示：8则有：描述物理现象的函数关系式可写成：含有k个量纲的独立量的n个物理量之间的函数关系式，可简化为（n-k）个无量纲乘积（）之间的关系式无量纲方程910无量纲乘积的完整集合由n个参数组成的函数式，如有k个基本量，则存在有（n-k）个无量纲乘积（）。这（n-k）个为该函数的无量纲的完整集合完整集合中无量纲乘积的数目：参量总数（n）基本量纲数（k）参量总数（n）-量纲矩阵的秩（r）11二、量纲分析的指数法1、柏金汉姆法（定理法） （E.Buckingham）列出影响现象的各个参量 f(x1、x2、x3xn)=0 确定k个彼此独立物

4、理量为基本物理量 其它物理量用基本物理量的幂积形式表示 由定理可得到（n-k）个无量纲量 无量纲方程：f(1、2、3n-k)=0122、瑞利分析法依据：量纲和谐性原理将与现象有关的物理量的函数关系式写成幂积式：由量纲和谐性原则：用基本量纲表示各个物理量的量纲，并对基本量纲列出 其指数的代数方程当nk，唯一解 nk，无唯一解13三、量纲分析的矩阵法写出量纲矩阵，求出矩阵的秩（r）无量纲乘积数= n r写出无量纲乘积的一般式根据量纲和谐性原理，由量纲矩阵写出线性齐次方程求解 方程封闭：直接求解 方程不封闭：以（n-3）个量为待定量 写出结果矩阵14水 流中物体的运动F= f（、g、w、L、）写出量

5、纲矩阵：矩阵的秩：r =3 无量纲乘积数目n-k=3设写出指数方程n3 ，15 3 相 似 理 论模型实验主要的理论基础161636年，伽利略，“论二门新的科学”1686年，牛顿，“自然哲学的数学原理”1848年，法国，J.Bertrand，相似第一定理1911年，俄国，相似第二定理， 1944年美国，柏金汉（E.Buckingham） ，证明了定理1931年，苏联，相似第三定理17一、基本概念1、物理量相似标量场相似矢量场相似 相似倍数C18几何相似时间相似运动相似动力相似热相似 192、现象相似描述现象各单值条件彼此相似的同类现象单值条件相似 几何条件相似 物理条件相似 边界条件相似 初始

6、条件相似203、相似准数（相似准则）（Criterion）按照一定物理规律组合而成具有一定的物理意义必须是无量纲的随空间和位置的变化，在相似现象的对应点上，相似准数的数值不变。已定准则和待定准则（定性准则和非定性准则）21二、相 似 三 定 理相似第一定理（相似正定理） 凡相似现象，对应部位上各同名相似准则分别等值。 (规定了现象相似的必要条件)相似第三定理（相似逆定理） 凡同类现象，当单值条件相似，对应部位的同名已知准则等值，则现象之间彼此相似 (表明了现象相似的充分条件)22相似第二定理 对于一个包含n个物理量的物理现象，若其中包含有k个基本物理量，则描述现象的函数式可用（n-k）个无量纲

7、数的函数式准数方程来表示。 f（ 1 2 n-k ）=023三、相似准数的导出量纲分析法 指数法 矩阵法 步步组合法方程分析法 相似转换法 积分类比法 以方程的量纲和谐性原理为基础物理法则法241、相似转换法写出描述现象的物理方程及单值条件写出方程中各物理量相似倍数的表达式进行相似转换各项相似倍数进行组合，写出其相似指标式以等式中其中一项除以其它各项整理，可得相应的相似准数252、积分类比法基本原理：置换法则二个体系：等比公式即有26步骤：写出描述现象的基本方程和单值条件用方程中任意一项除以其他各项各项中所有导数用积分类比项代替 同类项用其中一项表示 坐标量用特征量表示整理27描述对流换热的完

8、整微分方程组： 试用相似转换法和积分类比法，推导出该方程组的准数方程。28三、准数与准数方程1、相似准数的转换准数的指数运算准数间的幂积运算准数间的和、差运算物理量用其差值代替292、准数的物理意义 Re（ Rerynolds ）准数惯性力与粘性力之比Fr（Froude）准数：Fr=gL/ w2 重力与惯性力之比Gr（Grashot）准数浮力与粘性力之比Ga（Galilei）准数Eu （ Euler ）准数：Eu=p/ w2 压力（流动阻力）与惯性力之比30Ho 谐时性准数：H0=w/LFo（Fourier）准数：温度场、速度场随时间的变化关系Pr（Prandtl）准数：Pr=/a分子动量扩散率与热扩散率之比；速度场与温度场的关系Pe（Peclet）准数Nu（Nusselt）准数边界层内温度梯度与平均温度梯度之比；对流换热强度与边界内温度分布的关系。313、准数方程近似模化方法，以对流换热过程为例准数方程的简化f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo、Nu）=0 Nu =f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo）流体运动方