大自然中的分形现象

1、大自然中的分形现象大树、问题叙述：1967年，一篇题为英国的海岸线究竟有多长？的论文出现在美国的科学杂志上，此论文对海岸线本质有独特的阐述，甚至震惊了当时的学术界。与此同时，此论文也成 了作者Mandelbrot思想的转折点。分形理论也从此迅速发展起来，而Mandelbrot也成了分 形理论的奠基人。翻开过去的历史，不由的要怀疑分形的诞生和研究海岸线的长度为什么能够联系在一 起。而大自然中最常见的分形现象就是一一大树！粗略的看大树，发现树的每一个分支和整 棵树的形状是相似的，将主树干加上几根枝条，再对枝条趋于无限地加枝条，就得到了一棵 完整的树。联系Mandelbrot提出的分形的定义：如果一

2、个图形的部分以某种方式与其整体 本身相似，这个图形就称为分形。然后我们就通过绘出数学树”，和真实的树相比较，得出大自然中最常见的分形现象。二、问题分析：为了研究方便，我们将树的结构尽可能简化，使他 成为一个十分简单的数学模型：设图形孔为一条单位长 直线段，将其二等分，在中点上各向两边30。角的方向 延伸出两条1L长的线段得到图形T。将T的每段做3 01 n同样的变换，得到Tn+1。当n趋向于无穷大时得到一棵图1“数学树”（见右图1）。但是这棵“数学树”太简单了，如果绘出来的话就不像一棵树，而像一个扫帚。为了能够得到更真实的树，我们不妨再给出一个稍微复杂的树模型：设图形T为一条1单位长直线段，在

3、第一个三等分点上各向两边45。角的方向延伸出两条L0长的线段，在11中点处向左以30。延伸出2L0长的线段，再在第二个三等分点处向右方以30。延伸出3L0的线段。得到图形T。将二的每5个分支做同样的变换，得到“+1 （见下图2）。图2三、实验程序：hold onaxis(-0.5,0.5,0,1)z10=0;z50=i;z20=z10+(z50-z10)/3;z30=z10+(z50-z10)/2;z40=z10+(z50-z10)*2/3;plot(real(z10,z50),imag(z10,z50)convert1=0.75*exp(i*pi/4);convert2=0.75*exp(-

4、i*pi/4);convert3=exp(i*pi/6);convert4=exp(-i*pi/4);A=z10,z50;n=5;N=0;for k=0:(n-1)N=N+5Ak;endfor k=1:Nz10=A(k,1);z50=A(k,2);z20=z10+(z50-z10)/3;z30=z10+(z50-z10)/2;z40=z10+(z50-z10)*2/3;z5(1)=z20+(z50-z20)*convert1;z1(1)=z20;plot(real(z 1(1) ,z5 (1) ),imag(z 1(1) ,z5 (1)z5(2)=z20+(z50-z20)*convert2;

5、z1(2)=z20;plot(real(z1(2),z5(2),imag(z1(2),z5(2)z5(3)=z30+(z50-z30)*convert3;z1(3)=z30;plot(real(z1(3),z5(3),imag(z1(3),z5(3)z5(4)=z40+(z50-z40)*convert4;z1(4)=z40;plot(real(z 1( 4),z5 (4) ),imag(z 1( 4),z5 (4)z5(5)=z50;z1(5)=z40;A(5*k-3,:)=z1(1),z5(1);A(5*k-2,:)=z1(2),z5(2);A(5*k-1,:)=z1(3),z5(3);A

6、(5*k,:)=z1(4),z5(4);A(5*k+1,:)=z1(5),z5(5);end四、实验数据结果及分析：“数学树”迭代次数为n,此时我们令n分别为1、3和5,下面三幅图分别为对应迭代图。0.90.80. 70.60.50.40.30.20. 10 -0. 5 -0. 4 -0. 3 -0. 2 -0. 100. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5迭代一次10.90.80.70.60.50.40.30.2 0.101111090.80. 70.60.50.40.30.20. 10-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0. 100. 1 0.2 0.3 0.4 0.5迭代三次00.10.20.30.40.5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1迭代五次五、实验结论从上面的实验结果可知，“数学树”和真实的大树相比（下面两幅图），可知大树背后就隐藏着这类具有自相似层次结构的分形几何原理。10.90.80.70.60.50.40.30.20.10-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.100.10.20.30.40.5综上所述，在我们