2022届二轮不等式专题卷

1、2022届二轮复习不等式专题卷一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共6()分.在每题给出的四个选 项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)x ( x + 2) 0.不等式组的解集为()W 1A . x - 2x - 1)B . 川-1 x0)C . x0 xx + 22 .假设集合； N B . MNC . MN D . MN.不等式(x - 2y+ l)(x + y- 3)2|二扁，所以这4.因为8 = f +）电2q，所以 匹4.所以 ab4xy.答案：abxy.实数a ,b ,c满足a +8+ c = 0 ,a2 + / +才=那么。的最大值是.【解析】因为a + b + c = 0

2、,所以人+ c=-a.因为 a2 + b2 +（=,所以-a2 + = b2 + c2 = （b + c）2 - 2bc = a2 - 2bc ,所以 2a2 - 1 =2bcb2 + c2 = 1 - a2 所以 3a22 所以 2| 所以-半 乎.所以 -坐.答案:半X +比1 ,. （2020全国n卷）假设X , y满足约束条件 - ,那么z=x + 2y的最大值是吐口，【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影局部（含边界）所示：当直线经过点A时，直线），=-；x + ； z在纵轴上的截距最x-y= - 1 , 大，此时点A的坐标是方程组 的解,2x - y = 1x = 2 , 解得：0

3、 ,. (1()分)实数x , y满足* + )一 4沙，2x - y - 50.2y+ 1(l)z = -的取值范围；x+ 1 (2)z = X2 + )2 - 1 Oy + 25 的最小值.【解析】作出可行域如下图，并求出各点的坐标为A(1 , 3),仅3 , I) , C(7 ,2y+ 1y2将z二二：变形为2x777K ,由斜率公式可知表示可行域内任一点U ,)，)与定点Q(1,4)连线的斜率的两倍，因止匕攵Q人二因止匕攵Q人二3 7 ，故z的范围为:，方(2)z = a- + y- - 1031 + 25 = ,v2 + (y - 5) 表示可行域内任一点(x , y)到定点 M(0

4、,5)的 距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，M(0 , 5),直线AC ： x-y + 2 = 0 ,-5 + 23、历故由点到直线距离公式可得IAW= 二黄，9所以z的最小值是IMNF = 2 -18 .（12分）某厂家拟在202（）年举行促销活动，经调杳测算，某产品的年销售量（即 该厂的年产量）7万件与年促销费用X万元，满足m = 3- （k为常数），如果 x+ 1不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件，2020年生产该产品的 固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产 品的销售价格定为每件产品年平均本钱的L5倍（产品本钱包括固定

5、投入和再投 入两局部资金）.（1）将2020年该产品的利润.v（万元）表示为年促销费用x（万元）的函数；该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【解析】由题意知，当x = 0时，加=1 , TOC o 1-5 h z 所以 = 3 - k , k=2 , m = 3 -,x+ 18 + 16m每件产品的销售价格为1.5x元.8 + 16m16所以 2020 年的利润 y= 1.5x 机-8 - 166-x= -x+ 28（大之0）.fnx + 1由知- -x + 28=-。+1） + 29 =-当 +（1）+ 292A/-：得孙N36 ,当且仅当；=，即y = 9x = 18

6、时 x y ix yx y取等号，故的最小值为36.由题意可得 x + 2y = a + 2y）（：）= 19 + + J += 19 +6/2，当且仅当? =y ,即9.3 = 2产时取等号,故工+2丁的最小值为19 + 6啦. 20 . （12分）某工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨甲、乙两种产品所需煤、 电力、劳动力及每天资源限额（最大供应量）如表所示：每吨甲产品每吨乙产品每天资源额煤/t84320电力/kW-h3415()劳动力/个48280假设生产每吨甲、乙两种产品获得的利润分别为5万元、8万元，问：每天生产甲、 乙两种产品各多少吨时,该厂获得最大利润？【解析】设此工厂每天分别生产甲、

7、乙两种产品x吨吨，获得利润z万元, 8x + 4320 ,3x + 4j150 , 依题意可得约束条件 4+8)0280 ,於0 ,0.作出可行域，如图阴影局部所示.利润目标函数z = 5x+8y.由几何意义知，当直线产-|x+8利润目标函数z = 5x+8y.由几何意义知，当直线产-|x+8z经过可行域上的点M时，z = 5x + 8y取最解方程组1解方程组110,4x + 8)，= 280 ,即M(10,30).所以每天生产甲种产品1()吨,乙种产品30吨时，该厂获得最大利润21 . (12分)函数尸。0? + 2以+ 1的定义域为R.求。的取值范围；解关于X的不等式x1 - x - ei

8、2 +a (),当。和时,那么J = 4a2 - 4a0 ,解得0凶.综上，。的取值范围为0, 1.(2)由 A2 - X -+。 0 得，(x - (1 - ) 0.因为0aa , 即 0% 2 时，当1 - = ，即时，U) 0 ,不等式无解； 当 1 - aa ,即： 6?1 时 1 - a x a.综上所述，当0|时,解集为(，1 - )； 当67 = 1时,解集为0 ；当g a时，解集为(14 ,0 ,22 . (12分)在平面直角坐标系上，设不等式组0 ,(金N + )表示的 - 2( x - 3 )平面区域为Dni记。“内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为斯.(1)求数

9、列斯的通项公式.(2)假设 bn+ I = 2bn + an , b - - 13.求证：数列6+ 6+ 9是等比数列，并求出数列的的通项公式.【解析】根据题意，由x 0 , )20 , - 2g - 3)y0得0 0的解集是(；，；)，那么a + Z?的值是()A . 10 B . - 10 C . - 14 D . 14x - y - l() ,/()在(2x - y - 30 ,该约束条件下取到最小值2小 时，/ +房的最小值为()A . 5 B . 4 C . 5 D . 2A .B .C .D .9 .A .假设一元二次方程f + (a - 1 )x + 1/ 二 0有两个正实数根，

10、那么0的取值范围是 ()Q0,）0,怛2、+怆8 =怆2,那么:+/的最小值是（） 2 B . 2y2 C . 4D . 2V10 .z = 2x + y , x , y满足j x+y2 ,且z的最大值是最小值的4倍，那么头数a的值是（）A-3 B4数a的值是（）A-3 B41-5C1-6 D11 .某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的 运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，那么土地费 用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在 离车站（）A . 5 km处B.4 km处C.3 km 处D . 2 km 处1

11、2 .-1q +乃4 ,且2sx）03 ,那么z = 2x3），的取值范围是（）A . 3 , 8 B . 3 , 6c . 6 , 7 D . 4 z 5二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上） 13 .某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价P元/件之间的关系为p -160 - 2x ,生产x件所需本钱为C = 500 + 30%元，那么该厂日产量为 时，日获利不少于I 300元.。，x ,）（0 , + 8）,且! +| = 1 , f + ）2 = 8 ,那么 与孙的大小 关系为一.实数a ,b ,c满足a + /? + c = 0 ,/ + / +

12、 /=1 ,那么a的最大值是.% + ）4 1 ,. （2020.全国H卷）假设x , y满足约束条件 - 1 ,贝！j z=x + 2y的最大值是 、2x-0，三、解答题（共70分）x-y + 20 ,17 . （10分）实数x , y满足 x + y-40, 2x - y - 50.2y+ 1（l）z =的取值范围；x+ 1（2）z = a2 + y2 - 1 Oy + 25 的最小值.18 .（12分）某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）?万件与年促销费用X万元，满足m = 3- （k为常数），如果 x+ 1不搞促销活动，那么该产品的年销售量只

13、能是I万件，2020年生产该产品的 固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将甸牛产 品的销售价格定为每件产品年平均本钱的L5倍（产品本钱包括固定投入和再投 入两局部资金）.将2020年该产品的利润），（万元）表示为年促销费用M万元）的函数；该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19.（12分）正数”“满足5 + =1.求X），的最小值；求2），的最小值.20 . （12分）某工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨甲、乙两种产品所需煤、 电力、劳动力及每天资源限额（最大供应量）如表所示：每吨甲产品每岫乙产品每天资源额煤八84320电力/kWh34150劳动力

14、/个48280假设生产每吨甲、乙两种产品获得的利润分别为5万元、8万元，问：每天生产甲、 乙两种产品各多少吨时，该厂获得最大利润？21 . （12分）函数y二4加+ 2依+ 1的定义域为R.求。的取值范围；解关于x的不等式a2 - x - a2 + a 0 ,22 . （12分）在平面直角坐标系上，设不等式组,胆0 ,（金N + ）表示的、.烂-2n （ x - 3 ）平面区域为DtJl记。内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为斯.（1）求数列m的通项公式.假设 blt+i = 2bn + an , b = - 13.求证：数列6+ 6+ 9是等比数列，并求出数列儿的通项公式.答案解析

15、一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分,在每题给出的四个选 项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)x ( x + 2 ) 0.不等式组”的解集为()MA . x| - 2 x - 1B . x| - 1 x0)C . x|0 x【解析】选C.原不等式组可化为x - 2 或c 0，解得-1x 1 x + 2一，2 .假设集合4 = J 0 , B= x|y = /og2(2 - x)(l +x),那么 4nB =() x - IA . - 2 , 2)B . ( - 1 , 1)C . (- 1 , ID .( 1 , 2)x + 2【解析】选B.不等式0 ,等价于(x + 2)(x1

16、)30且x - 1#),解得-2xl ,x - 1即 A =x| - 2x0,解得142,即B= x|- xN B .怔NC . MvN D . MSN【解析】选 A.因为 M N=2a(a - 2) - (a + 1)( - 3) = cr - 2a + 3 = (a - l)2 + 20 , 所以MN.不等式(犬2y+ )(x + y - 3)0 ,x- 2y+ l0 ,【解析】选C.(x2y+l)(x + y3)00等价于J或彳x + y- 30.即不等式表示的区域是同时在两直线的上方或同时在两直线的下方，只有C项 符合.不等式=1的解集为()2x- 1A . ( - co , - 11

17、 U 2 , + oo)B . (-8, - 1U年, 2C .(-oo , - 1U 1 , 2D . 7 ,| U2, +oo)x1 + x - 3【解析】选D.由题得IK),2x- 1x2 - x - 2( x - 2 ) ( x + 1 )0,0,所以.加所以212r- 1#),所以(2.V - 1 ) (x-2) (x+1 )0,所以-1 0的解集是(-；,；),那么。+匕的值是()A . 10 B . - 10 C . - 14 D . 14【解析】选C.因为不等式加+笈+ 2 0的解集是(-；,9 ,所以方程加+旅f I 1 ha = - 12=彳所以。+8=-14.b= - 2

18、. TOC o 1-5 h z -t +-I 12 3 a+ 2=0的两根为和与.所以 一 。 乙 DI 1 22X3a当目标函数z = ax + by（a0 ,。0）在- y - 10 ,该约束条件下取到最小值2小 时，2 + h2的最小值为()A . 5 B . 4 C.小 D . 2x - y - 10 ,图可知，目标函数z二办+办(0 , 0)取最小值时,最优解为(2 , 1).所以 2。+ Z?= 25，贝(分= 2小-2a ,所以 a2 + b2 = a2 + (2小-2a)1 = 5a2 - 85 a+ 20 = 5( -2 + 4 ,即当 a =,8=2时， +序有最小值4.假

19、设一元二次方程f + (a-1 )x + 1=()有两个正实数根,那么a的取值范围是【解析】选C.因为方程有两个正实数根，不妨设为XI , X2,J= （6Z - 1 ） 2 - 4 （ 1 -） 0所以有v xiX2 = 1 - a2 0X+X2= - （。-1） 0 ,( -1 ) ( 5 + 3 ) NO即所以-1延-；. 0,叱+ Ig8 = lg2,那么:+5的最小值是()A . 2 B . 22 C . 4 D . 2#【解析】选C.由Ig2 + lg8)= lg2 ,得怆2工+3=怆2 ,所以3产1+七=11x 3yG + 1)(3y)=2 +豆 +4.卜 +3y=1,x2 1当

20、且仅当J工为即j1时，等号成立.底=7，故:十上的最小值是4.10 .z = 2x + y , x , y满足、+乃2 ,且z的最大值是最小值的4倍,那么实 .xa数。的值是()A , 3 B * 4 C , 5 D , 6【解析】选B.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域(图略)及直线2x + );(),平移该直线，当相应直线分别经过该平面区域内的点(。，。)与(1 , 1)时， 相应直线在y轴上的截距到达最4与最大此时z = 2x + y取得最小值与最大值， 于是有 2x1 + 1 =4(2 +。), a .H .某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的 运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，那么土地费 用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在 离车站()A . 5 km 处B.4 km 处C . 3 km 处D . 2 km 处【解析】选A.设车站到仓库距离为x km(x 0) , 土地费用为yi万元，运输费用 为”万元，由题意得二勺,” =fax ,因为 X= 10 时,yi =2 , y2 = 8 ,420412() 4所以h=202=5，所以费用之和为产yi+=三x2yx-x =8,当 且仅当m=y ,