2022年高考数学一轮复习考点规范练31数列求和含解析新人教A版2

1、PAGE PAGE 9考点规范练31数列求和基础巩固1.数列112,314,518,7116,(2n-1)+12n,的前n项和Sn的值等于()A.n2+1-12nB.2n2-n+1-12nC.n2+1-12n-1D.n2-n+1-12n答案:A解析:该数列的通项公式为an=(2n-1)+12n,则Sn=1+3+5+(2n-1)+12+122+12n=n2+1-12n.2.已知数列an满足a1=1,且对任意的nN*都有an+1=a1+an+n,则1an的前100项和为()A.100101B.99100C.101100D.200101答案:D解析:an+1=a1+an+n,a1=1,an+1-an

2、=1+n.an-an-1=n(n2).an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+2+1=n(n+1)2.1an=2n(n+1)=21n-1n+1.1an的前100项和为21-12+12-13+1100-1101=21-1101=200101.故选D.3.已知数列an满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+|a6|=()A.9B.15C.18D.30答案:C解析:an+1-an=2,a1=-5,数列an是首项为-5,公差为2的等差数列.an=-5+2(n-1)=2n-7.数列an的前n项和Sn=n(-5+2n-7)2=n2-6n.令

3、an=2n-70,解得n72.当n3时,|an|=-an;当n4时,|an|=an.|a1|+|a2|+|a6|=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=62-66-2(32-63)=18.4.已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令an=1f(n+1)+f(n),nN*.记数列an的前n项和为Sn,则S2 021等于()A.2021-1B.2021+1C.2022-1D.2022+1答案:C解析:由f(4)=2,可得4a=2,解得a=12,则f(x)=x12.an=1f(n+1)+f(n)=1n+1+n=n+1-n,S2021=a1+a2+a3+a2021=(2-1)+(3

4、-2)+(4-3)+(2022-2021)=2022-1.5.已知数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为()A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830答案:D解析:an+1+(-1)nan=2n-1,当n=2k(kN*)时,a2k+1+a2k=4k-1,当n=2k+1(kN*)时,a2k+2-a2k+1=4k+1,+得:a2k+a2k+2=8k.则a2+a4+a6+a8+a60=(a2+a4)+(a6+a8)+(a58+a60)=8(1+3+29)=815(1+29)2=1800.由得a2k+1=a2k+2-(4k+1),a1+a3+a5+a59=a

5、2+a4+a60-4(0+1+2+29)+30=1800-430292+30=30,a1+a2+a60=1800+30=1830.6.已知等差数列an,a5=2.若函数f(x)=sin 2x+1,记yn=f(an),则数列yn的前9项和为.答案:9解析:由题意,得yn=sin2an+1,所以数列yn的前9项和为sin2a1+sin2a2+sin2a3+sin2a8+sin2a9+9.由a5=2,得sin2a5=0.a1+a9=2a5=,2a1+2a9=4a5=2,2a1=2-2a9,sin2a1=sin2-2a9=-sin2a9.由倒序相加可得12(sin2a1+sin2a2+sin2a3+s

6、in2a8+sin2a9+sin2a1+sin2a2+sin2a3+sin2a8+sin2a9)=0,y1+y2+y3+y8+y9=9.7.已知数列an满足:a3=15,an-an+1=2anan+1,则数列anan+1前10项的和为.答案:1021解析:an-an+1=2anan+1,an-an+1anan+1=2,即1an+1-1an=2.数列1an是以2为公差的等差数列.1a3=5,1an=5+2(n-3)=2n-1.an=12n-1.anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1.数列anan+1前10项的和为121-13+13-15+1210-1-1210+1=

7、121-121=122021=1021.8.在数列an中,a1=3,an的前n项和Sn满足Sn+1=an+n2.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn=(-1)n+2an,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)由Sn+1=an+n2,得Sn+1+1=an+1+(n+1)2,-,得an=2n+1.a1=3满足上式,所以数列an的通项公式为an=2n+1.(2)由(1)得bn=(-1)n+22n+1,所以Tn=b1+b2+bn=(-1)+(-1)2+(-1)n+(23+25+22n+1)=(-1)1-(-1)n1-(-1)+23(1-4n)1-4=(-1)n-12+83(4n-1).9

8、.设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)当d1时,记cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.解:(1)由题意,得10a1+45d=100,a1d=2,即2a1+9d=20,a1d=2,解得a1=1,d=2或a1=9,d=29.故an=2n-1,bn=2n-1或an=19(2n+79),bn=929n-1.(2)由d1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=2n-12n-1,于是Tn=1+32+522+723+924+2n-12n-1,12Tn=12+322+523+724

9、+925+2n-12n.-可得12Tn=2+12+122+12n-2-2n-12n=3-2n+32n,故Tn=6-2n+32n-1.10.已知Sn为数列an的前n项和,an0,an2+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和.解:(1)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3.两式相减可得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an).由于an0,可得an+1-an=2.又a12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)

10、,a1=3.所以an是首项为3,公差为2的等差数列,故an的通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3.设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=1213-15+15-17+12n+1-12n+3=n3(2n+3).11.已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.解:(1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.因

11、为a1q2=8,所以a1=2.所以an的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2nm2n+1时,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b32+b33+b63)+(b64+b65+b100)=0+12+222+323+424+525+6(100-63)=480.能力提升12.在数列an中,a1=1,且an+1=an2an+1.若bn=anan+1,则数列bn的前n项和Sn为()A.2n2n+1B.n2n+1C.2n2n-1D.2n-12n+1答案:B解析:由an+1=an2an+1,得1an+1=1an+2,数列1an是以1为首项,2为公

12、差的等差数列,1an=2n-1,又bn=anan+1,bn=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,Sn=1211-13+13-15+12n-1-12n+1=n2n+1,故选B.13.今要在一个圆周上标出一些数,第一次先把圆周二等分,在这两个分点处分别标上1,如图所示;第二次把两段半圆弧二等分,在这两个分点处分别标上2,如图所示;第三次把四段圆弧二等分,并在这4个分点处分别标上3,如图所示.如此继续下去,当第n次标完数以后,这个圆周上所有已标出的数的总和是.答案:(n-1)2n+2解析:由题意可得,第n次标完后,圆周上所有已标出的数的总和为Tn=1+1+22+322+n2n-1

13、.设S=1+22+322+n2n-1,则2S=2+222+(n-1)2n-1+n2n,两式相减可得-S=1+2+22+2n-1-n2n=(1-n)2n-1,则S=(n-1)2n+1,故Tn=(n-1)2n+2.14.(2021新高考,16)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm12 dm,20 dm6 dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240 dm2,对折2次共可以得到5 dm12 dm,10 dm6 dm,20 dm3 dm 三种规格的图形,它们的面积之和S2=180 dm2,以此类推.

14、则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次,那么k=1nSk=dm2.答案:52403-n+32n解析:对折3次共可以得到52dm12dm,5dm6dm,10dm3dm,20dm32dm四种规格的图形,面积之和S3=430=120dm2;对折4次共可以得到54dm12dm,52dm6dm,5dm3dm,10dm32dm,20dm34dm五种规格的图形,S4=515=75dm2.可以归纳对折n次可得n+1种规格的图形,Sn=(n+1)2402ndm2.则k=1nSk=S1+S2+Sn=240221+322+423+n+12n.记Tn=221+322+423+n+12n,则12Tn=2

15、22+323+n2n+n+12n+1.与式相减,得Tn-12Tn=12Tn=221+122+123+12n-n+12n+1=32-n+32n+1.故Tn=3-n+32n.故k=1nSk=240Tn=2403-n+32n.15.已知首项为32的等比数列an不是递减数列,其前n项和为Sn(nN*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(-1)n+1n(nN*),求数列anbn的前n项和Tn.解:(1)设等比数列an的公比为q.由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,可得2(S5+a5)=S3+a3+S4+a4,即2(S3+a4+2a5)

16、=2S3+a3+2a4,即4a5=a3,则q2=a5a3=14,解得q=12.由等比数列an不是递减数列,可得q=-12,故an=32-12n-1=(-1)n-132n.(2)由bn=(-1)n+1n,可得anbn=(-1)n-132n(-1)n+1n=3n12n.故前n项和Tn=3112+2122+n12n,则12Tn=31122+2123+n12n+1,两式相减可得,12Tn=312+122+12n-n12n+1=3121-12n1-12-n12n+1,化简可得Tn=61-n+22n+1.高考预测16.已知数列an的前n项和为Sn,且a1=2,Sn=2an+k,等差数列bn的前n项和为Tn,且Tn=n2.(1)求k和Sn;(2)若cn=anbn,求数列cn的前n项和Mn.解:(1)Sn=2an+k,当n=1时,S1=2a1+k.a1=-k=2,即k=-2.Sn=2an-2.当n2时,Sn-1=2an-1-2.an=Sn-Sn-1=2an-2an-1.an=2an-1.数列an是以2为首项,2为公比的等比数列