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文档简介

1、6.3 矩阵位移法解平面刚架 一.离散化将结构离散成单元的分割点称作结点.634512135642结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等整体编码:单元编码、结点编码、 结点位移编码。(1,2,3)(4,5,6)(7,8,9)(10,11,12)(13,14,15)(16,17,18)坐标系:整体(结构)坐标系;XY局部(单元)坐标系.曲杆结构:以直代曲.变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆 二.单元分析 建立单元杆端力和单元杆端位移的关系. 单元杆 端力单元分析的目的: 单元杆 端位移 单元杆端力和单元杆端位移的方向与局部坐标系一致为正.e12 二.单元分析 则有:e12

2、若令:e12 二.单元分析 则有:e12若令:e12e12 二.单元分析 则有:若令:e12练习: 试求单刚第 三列元素.e12 二.单元分析 则有:若令:e12练习: 试求单刚第 三列元素.e12 二.单元分析单刚的性质:1.对称矩阵2.奇异矩阵单刚的分块矩阵表示: 二.单元分析单刚的性质:1.对称矩阵2.奇异矩阵单刚的分块矩阵表示: 三.坐标转换1.问题的提出2.整体坐标系下的杆端力与 局部坐标系下的杆端力之 间的关系局部坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力e122.整体坐标系下的杆端力与 局部坐标系下的杆端力之 间的关系e12简记为:其中单元 的坐标转换矩阵e2.整体坐标系下的杆端力与

3、局部坐标系下的杆端力之 间的关系e12其中单元 的坐标转换矩阵e可直接验证坐标转焕矩阵是一个正交矩阵.即对于杆端位移有相同的关系:3.整体坐标系下的单元刚度矩阵-整体坐标系下的单元刚度方程其中-整体坐标系下的单元刚度矩阵(整体单刚)4.整体单刚的计算4.整体单刚的计算21已知:求:各单元整体单刚解:4.整体单刚的计算21已知:求:各单元整体单刚解:4.整体单刚的计算21解:利用物理意义求:令: 则有:2作业:用此方法求2单元整体单刚其它元素. 四.整体分析(后处理法)1.结点力与结点位移的关系2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)12 结点力 结点位移2(4,5,6)1(1,2,3

4、) 3(7,8,9)12由结点1平衡条件: 四.整体分析(后处理法)1.结点力与结点位移的关系由变形协调条件,有122(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)1212 四.整体分析(后处理法)1.结点力与结点位移的关系由变形协调条件,有由结点1平衡条件:由结点2平衡条件:2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)1212 四.整体分析(后处理法)1.结点力与结点位移的关系由变形协调条件,有由结点1平衡条件:由结点2平衡条件:由结点3平衡条件: 四.整体分析(后处理法)1.结点力与结点位移的关系由变形协调条件,有由结点1平衡条件:由结点2平衡条件:由结点3平衡条件:-结构原始刚度

5、矩阵 四.整体分析(后处理法)1.结点力与结点位移的关系-结构原始刚度矩阵2.结构原始总刚的形成采用“对号入座”的方法2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)12 四.整体分析(后处理法)1.结点力与结点位移的关系2.结构原始总刚的形成2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)123.单刚子块在总刚中的分布规律主子块-主对角线上的子块.付子块-非主对角线上的子块.相关结点-有单元相连的结点.相关单元-与结点相连的单元称为 该结点的相关单元.规律:(1)若i,j为相关结点, 为连接 i,j结点的单元单刚的相应付 子块;若不是相关结点,(2)主子块 为 i 结点的相关单 元单刚主

6、子块之和. 四.整体分析(后处理法)1.结点力与结点位移的关系2.结构原始总刚的形成2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)123.单刚子块在总刚中的分布规律4.总刚中元素的物理意义 则有: 若令:练习:求总刚中第四列元素2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)12 则有: 若令: 四.整体分析(后处理法)1.结点力与结点位移的关系2.结构原始总刚的形成3.单刚子块在总刚中的分布规律4.总刚中元素的物理意义练习:求总刚中第四列元素 四.整体分析(后处理法)1.结点力与结点位移的关系2.结构原始总刚的形成3.单刚子块在总刚中的分布规律4.总刚中元素的物理意义(1).对称性5.

7、原始总刚的性质(2).奇异性(3).稀疏性 四.整体分析(后处理法)1.结点力与结点位移的关系2.结构原始总刚的形成3.单刚子块在总刚中的分布规律4.总刚中元素的物理意义5.原始总刚的性质6.总刚的半带存贮634512135642(1,2,3)(4,5,6)(7,8,9)(13,14,15)(10,11,12)(16,17,18) 作业:求图示结构总刚度矩阵中元素1342(1,2,3)(4,5,6)(7,8,9)(10,11,12)EI、EA为常数,各杆长度相同。 六.非结点荷载处理-单元固端力-单元等效结点荷载e 例.计算图示结构的等效结点荷载2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9

8、)12 例.计算图示结构的等效结点荷载12(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)12 例.计算图示结构的等效结点荷载2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)122 例.计算图示结构的等效结点荷载2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)12 例.计算图示结构的等效结点荷载2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)12按物理意义求解:1.划分单元、编码;2.形成结构原始总刚;3.形成综合结点荷载;4.引入边界条件;5.解方程;6.求杆端力。 七.杆端力计算 八.计算步骤及程序流程程序流程开始输入初始数据形成原始总刚形成综合结点荷载边界处理解方程求杆端力并输出结

9、束 九.先处理法2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)1231231(0,0,1)2(0,2,3) 3(0,0,0)4(4,5,6) 后处理法先处理法总刚的形成:4(10,11,13) 九.先处理法1231(0,0,1)2(0,2,3) 3(0,0,0)4(4,5,6) -单元定位向量 九.先处理法-2单元定位向量1231(0,0,1)2(0,2,3) 3(0,0,0)4(4,5,6) 九.先处理法1231(0,0,1)2(0,2,3) 3(0,0,0)4(4,5,6) 十.不计轴变刚架的计算634512135642(0,0,0)(0,0,0)(1,2,3)(7,8,9)(4,5,

10、6)(10,11,12)计轴变时的结点位移编码634512135642(0,0,0)(0,0,0)(1,0,2)(4,0,5)(1,0,3)(4,0,6)不计轴变时的结点位移编码梁单元的单刚e12梁单元的单刚e12柱单元的单刚局部单刚与梁相同.e1111 例.不计轴变,作弯矩图已知:各杆长均为12m,线刚度均为121(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123解: 例.不计轴变,作弯矩图已知:各杆长均为12m,线刚度均为121(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123解:1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3)

11、 123 例.不计轴变,作弯矩图已知:各杆长均为12m,线刚度均为12解:1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123利用总刚元素物理意义求总刚:同理可求:1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123已知:各杆长均为12m,线刚度均为121(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 1231(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123等效结点荷载的另一求法:各杆长均为12m,线刚度均为121(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123解方程求杆端力1(0,0

12、,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 1231(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123202.8567.1387.14122.86M52.5022.5012.8617.5Q 对于图98a所示的连续梁,位移法基本体系如图98b所示。 图98 位移法的基本未知量为节点转角 他们可指定为任意值,在基本体系中用控制附加约束加以指定。他们组成整体结构的节点位移向量 :( )T 与 对应的力是附加约束的力偶 它们组成整体结构的结点力向量F 94连续梁的整体刚度矩阵 在传统作法中,分别考虑每个结点转角 独自引起的节点力偶,如图99a bc所示。图99 叠加

13、得结点力偶 ;如下(922) 记为:(924)(923)式(922)或(923)称为整体刚度方程,K称为整体刚度矩阵。1.单元集成法的力学模型和基本概念 传统位移法求结构的结点F时,分别考虑每个结点位移对F的单独贡献(采用图99中的力学模型),然后进行叠加。 单元集成法求F时,分别考虑每个单元对F的单独贡献,然后进行叠加其特点就是“由单元直接集成”。 首先,考虑单元的贡献,力学模型见图910。整个结构的结点力是由单元单独产生的,记为 F=(F1 F2 F3)T图910F1表示单元对结构结点力F的贡献。F1和F2可由单元的单元刚度矩阵k算出。已知F30 (a)k (925)得: (b)由(a)和

14、(b)得:(926)记为FK (927)=其中 K (928)K表示单元对刚度矩阵提供的贡献,称为单元的贡献矩阵。其次,考虑单元的贡献。力学模型见图911所示。 图911已知 k (929)故得 记为F=K (930)(931)其中 K (932)K称为单元的贡献矩阵。 将式(927)和式(931)叠加,得: F=F+F=(k+k) (933)由此得出整体刚度矩阵K为K=K+K= (934)单元集成法求整体刚度矩阵的步骤可表示为 其中: 为单元刚度矩阵, 单元贡献矩阵,K为整体刚度矩阵2.按照单元定位向量由 求 注意以下3点: 1)结点位移(或结点力)有两种编码:在整体分析中,结点位移在结构中

15、统一进行编码,称为总码。在单元分析中,每个单元的两个结点位移各自编码为(1)和(2),称为局部编码。(见下图912) (a)(b)图9122)注意每个单元的结点位移分量两种编码之间的对应关系,具体见下表: 单元对应关系单元定位向量局部码总码(1)1(2)2(1)2(2)33)注意单元刚度矩阵 和单元贡献矩阵 中元素的排列方式,见下表 在单元刚度 矩阵 中在单元贡献矩阵 中 换码元素的原行码(i)原列码(j)换成新行码新列码(i) (j) 重排座原排在(i)行(j)的元素改在 行 列单元单元刚度矩阵单元定位向量单元贡献矩阵(1)(2)(1)4i1 2i1(2)2i1 4i1 (1) (2) 1

16、2 3(1)1 4i1 2i1 0(2)2 2i1 4i1 0 3 0 0 0(1)(2)(1)4i2 2i2(2)2i2 4i2 (1) (2) 1 2 3 1 0 0 0(1) 2 0 4i2 2i2(2)3 0 2i2 4i2总之,由 求 的问题实质上就是 中的元素在 中如何定位的问题。定位规则是: (936)参见下表: 3.单元集成法的实施方案 单元集成法形成K的过程: 1)先将K置零,这时K=0 2)将k的元素在K中按定位 并进行累加,这时,K=K 3)将k的元素在K中按定位 并进行累加,这时,K=K+K按此作法对所有单元循环一遍,最后得到现以图98a所示连续梁为例,说明上过程: 将

17、k集成后,得到: 在此基础上将k集成得最终结果: 例92 试求图913a所示连续梁得整体刚度矩阵K 解 (1)结点位移分量总码(见图913a)图913(2)各单元得定位向量 (3)单元集成过程 单元单元刚度矩阵按单元定位向量换码 集成过程中得阶段结果 (1)(2)(1)4i1 2i1(2)2i1 4i1(1)1(2)2 1 2 3(1)1 4i1 2i1 0(2)2 2i1 4i1 0 3 0 0 0 (1)(2)(1)4i2 2i2(2)2i2 4i2(1)2(2)3 1 2 3(1)1 4i1 2i1 0(2)2 2i1 4i1+(4i2) 2i2 3 0 2i2 4i2 (1)(2)(1

18、)4i3 2i3 ( 2)2i3 4i3(1)3(2)0(2)0 1 2 3(1)1 4i1 2i1 0(2)2 2i1 4i1+(4i2) 2i2 3 0 2i2 4i2+4i 4.整体刚度矩阵的性质 (1)整体刚度系数的意义 K中的元素 称为整体刚度系数。它表示当第j个结点位移分量 (其他结点位移分量为零)时所产生的第i个结点力(2)K是对称矩阵 (3)按本节方法计算连续梁时,K时可逆矩阵。图98a所示为下图914为例的反问题力学模型。当F为指定值时,均可得 的唯一解,故 是存在的。图914对下图915,可导出其整体刚度矩阵: 图915(937)(4)K是稀疏矩阵和带状矩阵。 思考题 (1

19、).连续梁的总刚为何应是一个三对角矩阵? (2).连续梁单刚和总刚是奇异还是非奇异矩阵?为什么? 5.计算杆端力计算结点位移计算杆端力例: 计算图示梁,作弯矩图解: 1.离散化12123(1)(2)(3)2.计算总刚,总荷3.解方程,求位移4.求杆端力67/21/23M作业:1.作图示结构弯矩图2.计算图示梁总刚中元素l2l3l2llEI2EI3EI4EI5EI3.思考题:荷载不作用于结点上时怎么办?6.5 矩阵位移法解平面桁架 一.离散化XY6345121(1,2)2(3,4)3(5,6)4(7,8)5(7,8)6(9,10)7(11,12)8(13,14)9(15,16)10(17,18)

20、7891011121314151617 二.局部坐标系下单元刚度方程 二.局部坐标系下单元刚度方程e12局部坐标系单元刚度方程局部单刚 三.整体坐标系下单元刚度方程-整体部坐标系单元刚度方程-整体单刚e 四.整体分析-整体单刚整体分析及求杆端力与刚架类似.例:矩阵位移法求图示桁架各杆轴力.4m3m已知:EA=6 0 , P=100解:3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2)-整体单刚4m3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2)-整体单刚4m3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2)4m3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2)4m

21、3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2)(压力)(拉力)(拉力) 五.组合结构的计算采用两种单元,其它过程与前类似.例:矩阵位移法求图示桁架各杆轴力.已知:EA=6 0 , P=100解:1111231(0,0)2(0,0,0)3(1,2,3)4(0,0,0) 五.组合结构的计算采用两种单元,其它过程与前类似.例:矩阵位移法求图示桁架各杆轴力.已知:EA=6 0 , P=100解:1111231(0,0)2(0,0,0)3(1,2,3)4(0,0,0) 五.组合结构的计算采用两种单元,其它过程与前类似.例:矩阵位移法求图示桁架各杆轴力.已知:EA=6 0 , P=100解:1

22、111231(0,0)2(0,0,0)3(1,2,3)4(0,0,0)1111231(0,0)2(0,0,0)3(1,2,3)4(0,0,0)杆端力计算与前相同1111231(0,0)2(0,0,0)3(1,2,3)4(0,0,0)杆端力计算与前相同123作业:1.对图示结构作结点位移编码(先处理),并写出各单元的单元定位向量.451245362. 215页 6-2练l/2l/2CQMNMPMiM1MPZ2=1Z1=1 矩阵位移法习题讨论 一.离散化1.不计轴变时先处理法的结点位移编码XY1234(0,0,1)(0,2,3)(0,2,4)(0,0,0)2. 计轴变时先处理法的 结点位移编码12

23、345(0,0,1)(2,3,4)(5,6,7)(0,8,0)(9,0,10) 二. 单元分析1.单元刚度方程表示什么量之间的关系方程?2.单元刚度矩阵(自由式单元)是什么样的矩阵?3.单刚元素 的物理意义是什么?4.坐标转换矩阵是一个什么样的矩阵?5.局部坐标系下的杆端位移与整体坐标下的有何关系?6.单元刚度矩阵均是奇异矩阵吗?7.试写出自由式单元坐标转换矩阵. 二. 单元分析8.求图示结构2单元的坐标转换矩阵中的元素12aaa 二. 单元分析9.试写出桁架单元坐标转换矩阵中的第二行元素.ee 三. 整体分析1.结构刚度方程 是整体结构所应满足的变形 协调条件吗?2.总刚元素 的物理意义是什

24、么?3.试写出图示刚架2单元的单元定位向量.XY1(1,0,2)2(0,3,4)3(5,6,7)4(0,0,0)2131(1,2,3)2(4,5,6)3(7,8,9)4(10,11,12)2134.图示结构2单元的整体单刚元素 应放在总刚的什么位置? 三. 整体分析1(1,2,3)2(4,5,6)3(7,8,9)4(10,11,12)2134.图示结构2单元的整体单刚元素 应放在总刚的什么位置?第5行第6列1(1,2)2(3,4)3(5,6)4(7,8)llXY 三. 整体分析5.试求总刚元素 EA=常数6.先处理法求图示结构总刚 (不计轴变)EIEIEIlll 三. 整体分析6.先处理法求图示结构总刚 (不计轴变)EIEIEIlll1(0,0,0)2(0,0,0)3(0,0,0)4(1,0,0)5(

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