《现代数值计算》课件9[1].3幂法和反幂法

1、9.3 幂法和反幂法9.3.2 反幂法和原点位移9.3.1 幂法和加速方法幂法是一种计算矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量的迭代方法。适合于大型稀疏矩阵反幂法是计算Hessenberg阵或对角阵的对应一个给定近似特征值的特征向量的有效方法.9.3.1 幂法和加速方法 在一些工程，物理问题中，通常只需要我们求出矩阵的按模最大的特征值(称为A的主特征值)和相应的特征向量，对于解这种特征值问题，应用幂法是合适的。 幂法是一种计算n阶实矩阵A的主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度很慢 幂法的基本思想是任取一个非零的初始向量 ，由矩阵A构造一向量序列vkk=

2、0,1,2,n(3.1) 称为迭代向量由此计算按摸最大的特征值和特征向量。 例1 设实对称矩阵A为利用幂法求A的按模最大特征值。解：直接求解A的特征方程得利用幂法求A的按模最大特征值，任取迭代公式为考虑两个相邻向量相应分量之比即两相邻迭代向量的对应非零分量的比值一定收敛到主特征值？不一定. 先讨论以下情况：(设 ), (3.2)于是 其中由假设，知从而即两个相邻迭代向量的对应非零分量成比例,且主特征值为即两相邻迭代向量的对应非零分量的比值收敛到主特征值. 这种由已知非零向量 及矩阵A的乘幂 构造向量序列 计算A的主特征值 及相应特征向量的方法称为幂法。(3.3)(3.4)由(3.3)式知， 的

3、收敛速度由比值 来确定 越小收敛越快，但当 1时收敛可能就很慢. 总结上述讨论，有 定理1设 有 个线性无关的特征向量，主特征值 满足 ， 则对任何非零初始向量 ，均成立两种特殊情况例1属于第一种情况的讨论。 一般地， 1. 若迭代向量的各分量单调变化且有关系式 则属于第一种情况。 2.若迭代向量的各分量不是单调变化，且有关系式 则属于第二种情况。(3.5)（或趋于零），这样造成计算机中的“溢出”。为了克服这个问题，利用向量的方向与长度无关这一性质, 将迭代向量的长度规范化以改进幂法。用幂法计算A的主特征值及对应的特征向量时,如果 ,迭代向量的各个不等于零的分量将随 而趋于无穷所谓向量长度规范

4、化,就是将向量的分量同除以一个常数,使向量长度为1,向量长度有多种度量法,可以采用 或 ,，其中i0为所有绝对值最大的分量中最小的指标。3. 幂法的改进任取初始向量：迭代规范化则有迭代向量序列 及规范化向量序列 。由(3.7)及(3.8)式有 (1) 对规范化向量序列:先考虑 与计算 的关系。由于及其中于是， (2) 对迭代向量序列:即 绝对值最大的分量当 时，趋向于特征根 。注意：改进的幂法中主特征值 不是两相邻迭代向量 的对应非零分量的比值。 （2）设A特征值满足 定理 2 （1）设 有n个线性无关的特征向量；且 （3） 及 由改进幂法得到的规范化向量序列序列(3.7)式),则有且收敛速度

5、由比值 确定。及迭代向量改进的幂法下面我们把改进的幂法简称为幂法。用（改进的）幂法求矩阵A的主特征值和主特征向量的步骤：第一步：由vu，计算第二步：由v1,u1，计算第三步：判断解： 取初始向量 ,按(3.7)迭代5次得到数据如下 表: k (规范化向量) 0 1 1 1 1 1 1 1 0.2143 0.4821 1 12.00 27.00 56.00 2 0.1875 0.4483 1 8.357 19.98 44.57 3 0.1860 0.4463 1 8.168 19.60 43.92 4 0.1895 0.4460 1 8.157 19.57 43.88 5 0.1859 0.44

6、60 1 8.156 19.57 43.88 例2：用幂法计算下面矩阵的主特征值及对应的特征向量。对应的特征向量为:故按模特征值为:例3 用幂法求矩阵的主特征值和主特征向量. K 0 (1.0000,1.0000,1) 1 (0.9091,0.8182,1) 2.7500000 5 (0.7651,0.6674,1) 2.5887918 10 (0.7494,0.6508,1) 2.5380029 15 (0.7483,0.6497,1) 2.5366256 20 (0.7482,0.6497,1) 2.5365323 表9-1有效数字。3. Rayleigh商加速9.3.2 反幂法和原点位移

7、 反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。计算A的按模最小的特征值 的问题就是计算A-1按模最大的特征值 问题。反幂法迭代公式：任取初始向量，设 为非奇异矩阵,A的特征值满足： ,对应特征向量 线性无关，则A-1的特征值为 ，特征向量1、反幂法用来计算矩阵A按模最小的特征值及对应的特征向量若 有n个线性无关的特征向量且其特征值满足： 则由反幂法(3.11)构造的向量序列 满足：且收敛速度由比值 确定。 111/45/85/819/1619/1667/3205/8121/167/475/32301/37/67/87/421/1623/869

8、/32由于 的平均值之倒数为而A的按模最小特征值精确值为可见已获得了较好的特征值。若A的特征值为 ，则A-pI的特征值为 问题：已知 的特征值 的一个近似值 （通常用其它方法得到），求 对应的特征向量 （近似）。如果(A-pI) -1存在,则特征值为对应的特征向量2反幂法的一个应用取 ，且设 是离p最近的特征值，即即 ,说明是(A-pI)-1 的主特征根对(A-pI)-1应用幂法得到反幂法计算公式：即其中线性方程组取初始向量于是结论定理4（1)设 有n个线性无关特征向量,即 且收敛速度由比值 确定。 （2）取 （为特征值 的一个近似值），设(A-pI)-1存在序列 满足：且 ,则由反幂法迭代公

9、式（3.12）构造向量值的大体位置时，用此法最合适（该方法是一个有效的方法）。说明: (1)定理4可以计算特征向量xj。当知道A的某一个特征（2）取 为特征值 的一个近似值,当A的特征值分离情反幂法迭代公式可通过解方程组(A-pI)vk=uk-1来求vk。为了节况较好时, r 很小,则它本身收敛速度很快。同时改进了特征值。省计算量，可先将(A-pI)进行三角分解P(A-pI)=LU。其中P为置换阵，于是每次迭代求vk相当于求解两个三角形方程组。取v0=u0,即选u0使Uv1=L-1Pu0=(1,1)T,回代求解即求得v1。小结：给定的特征值 的一个近似值p，求p对应的特征向量 (近似)的步骤：第一步：将(A-pI)进行三角分解(A-pI)=LU，(或P(A-pI)=LU，其中P为排列阵）第二步：由Uv1=(1,1,1)T，解方