《现代数值计算》课件4_插值法3

1、14 分段低次插值 4-1 多项式插值的问题 前面根据区间 上给出的节点做插值多项式 近似 ，一般总认为 的次数n越高逼近的精度越好，但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点，当 时, 不一定收敛到 ，上世纪初龙格（Runge）就给出了一个等距节点插值多项式 不收敛 的例子。他给出的函数为 。它在 上各阶导数均存在，但在 上取n+1个等距节点 所构造的拉格朗日插值多项式2当 时，只在 内收敛，而在这区间外是发散的。3 因此随着插值结点数增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次插值容易带来剧烈振荡，带来数值不稳定。为了既要增加插值结点，减小插值区间，以便更好的逼近被插值函数，又要不增加插值

2、多项式的次数以减少误差，可以采用分段插值的办法。44-2 分段线性插值 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近 。设已知节点 上的函数值 ， 记 ,求一折线函数 满足 ：1 记 ，2 ，3 在每个小区间 上是线性函数，则称 为分段线性插值函数。5 由定义可知 在每个小区间 上可表示为若用插值基函数表示，则在整个区间 上为其中基函数 满足条件 其形式是6 分段线性插值基函数 只在 附近不为零，在其它地方均为零，这种性质称为局部非零性质。 7例：已知函数 ，在0, 5上取等距节点 。求分段插值函数，及 近似值 。 解：分段线性插值基函数为： 0123451.000000.500000.

3、200000.100000.058820.038468分段线性插值函数为： 精确值为 。 9分段线性插值的误差估计： 如果 f(x) 在 上二阶连续可微，则分段线性插值函数 的余项有以下估计 其中 。 分段线性插值简便易行，节点加密误差变小，且插值函数只依赖于本段的节点值，计算误差基本不扩大、稳定。但在节点处插值函数不可微，光滑度不够。105 埃尔米特插值问题的提出： 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度），甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特（Hermite）插值多项式。数学描述： 设在节点 上， 。要求插值

4、多项式 在节点 满足条件111213例：按下表求Hermite插值多项式解：由于插值条件有5个，故所求插值多项式的次数不超过4。构造插值基函数 及 ，使它们满足：（1） 及 都是4次多项式； 0120110114（2） 因为 ，故 无需求出。又因为 ，因而可设代入 可得 ，所以15类似可求出因此所求Hermite插值多项式为16用推广的牛顿插值法确定Hermite插值函数例：解： 17例：解： 1 2 1 2 3 2 6 4 1 2 6 7 3 2 2 6 7 4 1 118例： -0.5-0.75 0.5-0.75 0 0.5-0.75 1 1 2 3 2.5 1 019分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数 的导数是间断的，若在节点 上除已知函数值 外还给出导数值 ，这样就可构造一个导数连续的分段插值函数 ，它满足条件: 代表区间 上一阶导数连续的函数集合）。2. 3. 在每个小区间 上是三次多项式。 20由两点三次Her