沪教版高中一年级奥数《三角不等式与三角最值》精讲

1、第11讲三角不等式与三角最值 第11讲三角不等式与三角最值亮赛热点、考点、知识点在数学中,不等式比恒等式更普遍,对于三角函数来说也不例外.事实上，能 运用中学知识只能处理其中一部分三角不等式.三角不等式一般比代数不等式 更复杂.需要注意的几点如下：.三角函数的有界性和单调性，比如I sinl |, | cos# 41.把一些三角不等式转化为代数不等式加以处理.运用三角学中的和角公式、和差化积、积化和差等公式将欲证式子转化 得便于处理，比如在“A + B =常数”时，cos A + cos B = 2cos结图cos空力,这样2cos幺产就为常数,我们只需研究单一变化的三角函数cos &尹.同理

2、，cosAcosB = 在85（4+8）+（:0$（八一B）.说到这一点，也许你会感觉到 不等式比恒等式更难以捉摸，因为对于恒等式，我们大致可以根据等式两边的形 式使用相应的三角公式，而在不等式的证明中如何运用公式就要灵活一些.三角形中很多不等式通常是在A = B = C = 60取到等号，这在解决三 角最值问题时可以帮助我们猜测一个三角函数式的最值，然后发现相应的方法 步步“逼近”这个最值.设ABC, 3、y、N是任意实数，则/+/32gcosA + 2）之cosB + 2=cosC这是一个很基本、很重要的不等式;另一个基本不等式是| acos% + bsinx | = | J怖+甘 sin

3、（x + $?） | 怖 +4 ,也需要熟记. 奥数精讲与测试(修订版)高一年级典型例题精讲若函数1, y满足/+ 2cos ) = 1,求 cos 的取值范围.解由于 / = 1 - 2cosy G 1, 3,故 i G V3,万1 1 721由 cos3；=可知，z -cosy = x- = (-z+D2 1.因此乙乙乙当工=1时，1 cos y有最小值一1 (这时y可以取卜当X =禽时，Z cosy有最大值总+1 (这时y可以取冗).由于:(Z+1)2-1的值域是-1, 逐+11,从而N-8S?的取值范围是1-1, 73 + 1.设 了，y 6 0，2元且满足 2sin 力 cos y

4、+ sin x cos y =，,求 乙解 由 2sin % cos y + sin 力 + cos y =,得(2sinz+ 1)(2cos y +1) = 0.所以sin x =，或 COS y =所以 X = 或ZZo等.止匕时了可以取 00, 27cl内的任意值;或丁 =等或W，此时之可以取0, 2切内的任意值.OOo SHU JNG JANG YU OE SH一所以z + y的最大值为学+2n=6已知函数/(x) = | sin|,之23k R求证:sin 1 & /(x) + /(J； + 1) & 2cos乙解 令 g(x) = /(x) +/(x + D = | sinx |+

5、| sinGr+D |,则 gGr)为周 期函数，且丁=兀是周期，故只需考虑0, F.当工 0,兀一1时，g(i) = sin x + sin(jr + 1) = 2sin(x + J ) cos -, 22 7T_ 22,sin(x4-y)c sinl ,所以乙L 乙.飞力第11讲 三角不等式与三角最值W3二 sinl, 2cos 十.1 1g 6 2sin cos , 2cos乙乙当Ng 0 1，时，g(x) = si-sin(x + l) =2sin cos(z + 1), /乙7C -i . in / j 丁 v，cos口+乙乙乙1，cos；2，所以1 g(z) G sin 1, 2s

6、in _乙综上所述,sin 1 /(x) + /(k +1) & 2cos 乙设函数同工)=sin4管+ cos, -yy,其中k是一个正整数.若对任意实数a,均有/(z) | a Vn Va + 1) = /(幻| % G R,求的最 小值.解由条件知，/&) =.)kx 、. kx Y . 9 kx ? kx TOC o 1-5 h z sin-十 cos I 2siir cos 1010 1010】 . 2 kx 1 2kx 3= 1 sin = -cos r ，2 o 454其中当且仅当1 = 号L (根e z)时()取到最大值.根据条件知，任意一个长为1的开区间(a, a + D至少

7、包含一个最大值点，从而 丁 5气. k反之，当6 5兀时,任意一个开区间(a, a +1)均包含代工)的一个完整周期，此时/()| a xo SHU JNG JANG YU om SH-达到最大值,因而当A B = C=暂时，sin A+sin6 + sinC有最大值条/J.故Ju原不等式得证.不等式中含有多个变量时,我们往往固定其中部分变量，求其他变 量变化时相应表达式的最值,这种方法称为逐步调整法.展恒 即证sir1A士 si,B + sinC &专，观察左边的形式,从而考虑用琴 生不等式进行证明.证法二 函数y = sinz是区间（0, R上的上凸函数，从而对任意的三个自 变量为、“2、

8、”（0,兀），总有sin （一+ .+ sin巧+ si产+ si除,等 号当为=应=加时成立.因此有sin（A+g + C）辿A + si,B + sinC,从 而有sin A + si; B十sinC W 噜=亨，因此原不等式成立.oo Z说明本方法是利用凸函数性质解题，三角函数在一定区间内均为凸函数，因此很多三角不等如均可利用凸函数的性质证明.链接关于凸函数与琴生不等式的有关知识凸函数定义：函数如果对其定义域中任意的7、g,都有如下不等式 成立：f（梏卫）&/（）+/（祝万，则称外为是下凸函数，等号当= 应时成立.如果总有/（马寺会）则称八外是上凸函数, 等号当N = X2时成立.其几何

9、意义是，不等式表示定义域中任意两点、与，中点M所对应的 曲线上点Q位于弦上对应点P的下面，不等式则有相反的意义.图 11一1定理：若/（%）是在区间I内的下凸函数，则对区间I内的任意几个点RI、了2、/，恒有/（ +必+马71)+/(应)HF/(4)，等号当力1 =次=与时成立.若f（1）为上凸函数，不等号反向.上述不等式称为琴生不等式，琴生不等式是丹麦数学家琴生（Jensen）于19051906年建立的.三角函数如y = sinx, y = cosn在（0,是上凸函数;y = tan j：, y = cot在（0,是下凸函数.已知不等式疙（2a + 3）cos(T )+ 端歹；cos 厂 2

10、sin 26 V 3a + 6对于ee o,恒成立，求的取值范围.分析所给不等式中有两个变量,给出其中一个的范围，求另一个的范围,常采用分离变量的方法.注意到与角。有关的几个三角函数式，cos(sin6 + cos。)，sin26 = 2sin Jcos。，因此考虑令 sinJ+cosd = z 进行变量代二用不等式与二角福侑105皆书第11讲 三角不等式与三角最值 奥数精讲与测诘(修订版)高一年级换,以化简所给不等式,再寻求解题思路.解 设 sin&+ cos9 = X-,则 cos(6)=得工、sin28 = f 1,当0,方时，72.从而原不等式可化为(2+ 3)Z +?一2(/ 1)

11、0. 2z(n + 看-a)3(7 + 卷一a) 0, (2-3)(x + 1-a)0 (1,周)(1)所以原不等式等价于不等式(1).因为 1,，所以2# 30.(1)不等 式恒成立等价于z +2 -a i + 弓) (zGl,).又八外=1+2在1,&上递减，故行+ 2)N / max工 N / max= 3(x6 ，&)所以。3.已知当 #G0, 1时,不等式/cos夕一*(1 Z)+ (1%)2sin90 恒成立，试求6的取值范围.分析不等式左边视为关于X的二次函数，求出此二次函数的最小值，令 其大于0,从而求出6的取值范围.o SHU JNG J_NG YU OE SH一解 由条件知

12、cos60, sin0,若对一切z 0, 1时，恒有/(工)= /2cos6 n(1 re) + (1 j?)2sin 0,即 f(.x) = (cos9+l + sin9)/ (1 + 2sind)N + sin90 对1 0 0, 时恒成立,则必有 cos。= f 0, sin6 = /(0) 0.另一方面对称轴为x =.吉黑之W CO, 1,故必有 0 即 4cos 0 sin 6 1 0, sin 2J 4( cos 6+ sin0+ l)sind - (1 + 2sin J)?4 (cos 0 4- sin-+1)-y.又由于 cos8 0, sin8 0,故 2林 + 居 V &

13、V 2%兀 +器， Z.已知a、6、A、B都是实数，若对于一切实数口都有义工)=1 -acos 6sinx Acos2x Bsin2x 0,求证：a2 +62 2,及 +B2 1.分析根据函数式的特征及所要证明的式子易知，应首先将不等式化成/(力)=1一+sin(力+ 6) - /A? +B2sin(2% + y)0,其中力为任意实数，注意到所要证的结论中不含未知数为故考虑用特殊值方法.证明 若1+*=0, 4+B2 =0,则结论显然成立,故下设/+/羊0,A2 +金 0令 sin 0 = - a , cos 0 = 9 sin p = 一, ,7a2 4-b2cosg= 7，B，得 7)=

14、1 ya2 +62sin(x +(9) VA2 + B2sin(,%/A2+B2即对于一切实数N,都有/(r) = 1 ya2 + 62 sin(x + O) VA2 + B2 sin(2x + p)0(1)(7 +，)= 1 /a? +62cos(z + 6) +，A? +B2sin(2；r +p)20 (2) (1) +得 2/a? +Z/sin(:r+e)+cos(2+。)1)0,即 sin(%+6)+cos(x +8) -F=对于一切实数i恒成立-2 ?詹，因此1 + / 2.ya +bVa2 +/(% +兀)=1 -Wa2 + b2sin(x + 19) VA2 +B2 sin(2x

15、 + (p)0(3)(D + (3)得 2 27A2+B2sin(2% + 30,即 sin(21 + 内& 丁恒成7A2 + B2立，1.所以A2 +B2 1.7a2 + B2c设a+3+y =穴，求证：对任意满足力+ ) +之=o的实数力、z 有 yzsira + zxsirrP4- xj/sin2 7 0.分析由Z+，= 0消去一个未知数N,再整理成关于？的二次不等式 对Z恒成立，即可得证.证明由题意，则将之=一包+y)代入不等式左边得2sina4sin2a不等式左边=Ly2 sin2 a + x2 sin2/?+ xy ( sin2 a + sin2/? sin2 7)(1)当sina

16、 = 0,易证不等式左边40成立.(2)当sinaRO,整理成y的二次方程，证().左边=一sina +z(sii?a + sir?8 siry)一_ /(si/a + sin华一sin2y)2 4sin% si-f4 sin2 a由(sin2a.+ sin2/? sin27)2 4sin2a sin2/? = (sin2a + sin2/? sin2/ + 2sina sin/?)(sin2a+sin2j(?sin272sina sinp) = 2sina sinl cos(a + ) 2sina sin/? 1 cos (a + ) = 4sin2a sir12sli cos2 (a +

17、F) 0,所以 90, tan A - tanB的大小关系满足（）.A. tan A tanB 1B. tan A tanB V 1C. tan A tanB = 1D.不能确定.已知函数y = acosz + 方的最大值为1,最小值为一7,则acosx+/;sinx 的最大值为（）.A. 1B. 3C. 5D. 7.设0 -y71. tanl, sin 2, tan 3的大小J庾序是（A sin 2 V tan 1 V tan 3C. sin 2 tan 1 tan 3B.D. a+V|冗）.B. tan 1 sin 2tan 3D. tan 1 V tan 3 V sin 26.已知OVz

18、V4,下列各式中不成立的是（）.A sin（i +1） sinzB. cos a（j： 1） z*D. log/l+了） log的二、填空题8.函数&）=言篙的定义域为值域为7.若集合x cos2x + sin x + m = 0 # 0,则m的取值范围是第11讲三角不等式与三角最值 .函数y =石+a/1 x的值域是.若Y +/=1, c2 +-=4,则ad+bc的取值范围是.已知奇函数/（Z）在-I, 0上为单调减函数，又Q、S为锐角三角形两 内角J（cosa）与/（sing）的大小关系是. sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, sin6 的大页序是.三、解答题13.若

19、tan 7 = 3tany（041方），求函数=力一）的最大值.已知 sina + sin = 1,求 cosa +cosf 的取值范围.已知。为锐角，求（1+熹）（1 +康）的最小直选择题.若。，左（0, f ）,则必有（A cos（a +。） cosa +cos/?C. cos（a +。） sina + sinS.对任何40（0,方），都有（sinsin c cos p V coscos cpC. sincos (p V cos (p cos (p coscos cos w cossin cp).已知sina cos=J,则cos a sin8的取值范围是（ 乙 TOC o 1-5 h z

20、 r 1|r 1-IA. 1,彳B. ，1r T A Aln 11 1c，L 4 J 4 JD. 2，2 .已知 a J2,函数丁 = (sin2： + a)(cos% + a)的最小值是().2A. a2-a B. (a-1)2 C. y(a2-l) D. (a-陶.若 0 Vro SHU JNG J-ANG YU OE SH一.函数）=/r 4 +v 15 3工的值域是（）.A. El, 2 B. 0, 2 C. 72, 2 D. 8J, 2 二、填空题.函数/（t）= *吟 +衿吟的值域为 1 + cos x 1 + sirrz.已知函数/（X）= 1 cos2z + asincos高（a R）的最大值为3 ，22贝!J Q = .不等式 V3sinx cosn + 1 V 0 的解是.已知 3sina + 2sin2/? = 2sin a,则 sin2