新三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案(终审稿)

1、（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心新三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案公司内部档案编码：OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了平面向量一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续 接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一.知识点总结1）o 是 aabc 的重心o 5X+55+反=6若 0 是 AABC 的重心，贝ijSabocnSalSaaobNjSabc 5a + OB + OC = 6而=；（而+方+正）OG为的重心.0是AABC的垂心O冰 55 =而氏=反京若 0 是

2、AABC （非直角三角形）的垂心，则，boc： sa.xoc： Sob =tan A：tanB：tanC故 tan AOA + tan BOB + tan COC = 0） 0 是 AABC 的外心 o 16X 日丽 1=1I （或 OA2 =OB = Oc）若。是AABC的外心Ijllj 0c: Saoc： Sak）b = sinZBOC：sinZAOC ：sinZAOB = sin2A : sin2B : sin2C故 sinlAOA + sin2BOB + sin2COC = 60是内心AABC的充要条件是OA（5-=） = OB.（-） = OC（-?-） = 0I ABI AC I

3、BA I IBCII CAI ICBI I .引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记ab,bc,ca的单位向量为，代2代3,贝IJ刚 才0是AABC内心的充要条件可以写成：6（3 + ） =，& + ） =加（ + ） =。 0是AABC内心的充要条件也可以是adX + b丽+ C沃=6若 0 是 AABC 的内心，贝iJSaboc： S4、0c: SMOB = a： b： c故 aOA + bOB + cOC =藏 sin AdX + sinBOB + sinCOC = 6|而|定+|0|序+|S5|而= 0oP AABC的内心； TOC o 1-5 h z 向量A（|Af| + |AC|）

4、（A*）所在直线过AABC的内心（是ABAC的角/ 平分线所在直线）;B 1二 范例,（一）.将平面向量与三角形内心结合考查P例L。是平面上忙朝，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足万5 + 丝+空） 法0,2）则点的轨迹一定通过418。的（ ）叫 AC解析：因为丝是向量通的单位向量设通与A6方向上的单位向量分别为6和e, M-y.OP-OA = AP t则原式可化为而=为4+4）,由菱形的基本性质知AP平分NA4C,那么 在AA8C 中，AP平分 4AC,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先丝是什么没见过！想想，一 M个非零向量除以它的模不就是单位向量此题所用的

5、都必须是简单的基本知识，如向量的 加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速 地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. ，是所在平面内任一点，HA 7iB = 7iB HC = HC HA O点，是的垂心.由加而=而汨=丽（玩1-丽=0=丽肃=0=说_L元，同理标，而_L说.故，是48C的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是aABC所在平面上一点，若丽丽=丽正=正丽，则P是aABC的（D ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解析：由丽 丽=丽.定得丽 方_丽.京 =0.即 PB（PA-PC）

6、 = 0,即而 CA = 0则 PB C4,同理PA BC,PC AB所以P为AABC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形 垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。变式：若H为aABC所在平面内一点，则点H是aABC的垂心证明：.网2 -阿=5-其. 3PG = （AG + BG + CU） + （FA + PB+PC）Aa TOC o 1-5 h z TG是固的重心/ GA + GB + GC=O= AG + BG + CG =0, B|J 3PG=FA+PB

7、+ PC/ J -2J由此可得两=：（不+而+记）.（反之亦然（证略）c例 6 若。为 AABC 内一点，OA+OB + OC = Q ,则 0 是 AABC 的（）DA.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由。4+0与+。6 = 0得。月+。4=-。4,如图以ob、oc为相邻两边构作平行四边形，则。总+ 0弓=如，由平行四边形性质知诙=3而，OA = 2OEf同理可证其它两边上的 这个性质，所以是重心，选D。点评：本题需要扎实的平面儿何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质： 重心是三角形中线的内分点，所分这比为4 =彳。本题在解题的过程中将平面向量的有关 运算与平行四边形的对角线互

8、相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。变式：已知D E,尸分别为zMBC的边8G AC, A8的中点.贝lj而+屁+行O.证明:3 AE=GA233）=（f，-f2-少2y2=（2x 713/2（-2 -.1） y26y21 2x2-xt323壬（47） %2y,玩匕+/_& Z2_ ）=（2:f公（y三 , （32 3 力） 6 32y.2）W西即函=频，故0、G、，三点共线，且0G； G41： 2【注】：本例如果用平面儿何知识、向量的代数运算和儿何运算处理，都相当麻烦， 而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密 地结合在一起，从而，很多对称、共线、

9、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例10.若0、，分别是板的外心和垂心.求证 OH = OA + OB + OC .证明若放的裁心为，外心为0,如图.连并延长交外接圆于连结4?, CD.：.AD LAB, CD_LBC.又垂心为耳 AHLBC,CH LAB,：.AH/ CD, CH/ AD,四边形加为平行四边形，.AH = DC = DO + OC , CClOH = OA + AH = OA + OB + OC .着名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关 系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉

10、线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂 心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11. 设0、G、，分别是锐角44回的外心、重心、垂心.求证 OG = OH证明 按重心定理 G是a的重心=OG = (OA + OB + OC)按垂心定理 OH = OA + OB + OC由此可得 OG = OH .三、与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用例1： （2003年全国高考题）。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足OP = OA + 2（A）外心（C）重心)事实上如图设立=空，#=丝都是单位向量 网 M易知四

11、边形AETF是菱形故选答案B 例2： （2005年北京市东城区高三模拟题）。为AABC所在平面内一点，如果OAOB = OBOC = OCOA,贝lj 0 必为/ABC 的（）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心事实上次庆=（次5?）.3=0=3.3= OnOB_LCA故选答案D 例3：已知。为三角形ABC所在平面内一点，且满足网?网，=网?+同国斗阿,则点0是三角形ABC的（）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心事实上由条件可推出丽丽=丽衣=反方故选答案D例4：设。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足OP = OA + 2(ABTr+ 1），2（0,

12、2）,则动点P的轨迹一定通过AABC ACcosC（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心事实上ABAB cosBAr+）BC =，AC cosC（-|bc|+bc）= o故选答案D例5： 2005年全国（I）卷第15题“AABC的外接圆的圆心为。，两条边上的高的交点为图m =DALABfCHH DA,H, OH = m（OA + OS + OC）9 则实数先解决该题：作直经30,连DA, OC,有。启=。力，DC 工 BC, AH BCf CH LAB,故AHU DC故AC是平行四边形，进而正=反，又DC = OC-OD = OC+OB：.OH = OA + AH = OA + DC故

13、。/ = o4+og+od,所以7 = 1评注：外心的向量表示可以完善为: 若。为AABC的外心，为垂心，则丽=丽+丽+反。其逆命题也成立。例6.已知向量研，砥, 西满足条件研+国+西二0, op = o = op |=1,求证：尸出月是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五3组第6题）证明： 由已知前+西二一西，两边平方得砧丽二-3，同理 西西二瓦硒二一,/. |而| = |部| = |前 = J3 ,从而是正三角形. 反之，若点。是正三角形的中心，则显然有豆+西+西二。且|西| 二 |西| 二 |西|,即。是48C所在平面内一点，瓦+西+西二0且|西J 二 |西|二|可| =点。是正R

14、RR的中心.四、练习.已知4、B、。是平面上不共线的三点，。是三角形 板的重心，动点尸满足而JO乙西+通+2无），则点尸一定为三角形 的（B）边中线的中点边中线的三等分点（非重心）。重心边的中点分析：取相边的中点肱则况+丽=2两,由 OP=O+2而）可得 3OP = 3OM+2MC而=,荻，即点尸为三角形中也边上的中线的一个三等分点，且点尸不过重心。.在同一个平面上有AABC及一点。满足关系式：oa2-bc2=ob2-ca2= oc2+ab2,贝Ij。为板的（04外心 B.内心 C.重心 D,垂心.已知放的三个顶点4B、。及平面内一点尸满足：而+方+记=6,则尸为放的 （。4外心 B.内心 C

15、,重心 D.垂心.已知。是平面上一定点，A. B、C是平面上不共线的三个点，动点尸满足:OP = OA + AAB+AC）,则p的轨迹一定通过a的（0A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心.已知极；尸为三角形所在平面上的动点，且满足：西京+而+方无=0,则产 点为三角形的（9A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心.已知极；尸为三角形所在平面上的一点，且点尸满足：a PA+b PB+c = 0f则尸点 为三角形的（而4外心B.内心C.重心D.垂心.在三角形 板中，动点尸满足：CA CB -2AB.CP ,则尸点一定通过力比的（8）4外心B.内心C.重心D.垂心.非零向量而与而满足（巫+三）前=0且眄 三二，则为（D） AB ACAB AC 24三边均不相等的三角形8.直角三角形C等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足（幽+冬）1力，即角4的平分线垂直于比；|AC|：.AB=ACf又cosA=W=L NA=J所以为等边三角形.ABAC 23.a的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为，Ofi = woA+oQ+o6,则实数炉1.点。是三角形 板所在平面内的一点，满足冰砺=瓯反=南方，则点。是放的（而（用三个内角的角平分线的交点（而三条边的垂直平分线的交点（。三条中线的