投资组合管理详解

1、第四章 套利(to l)定价理论共七十三页为了得到投资者的最优投资组合(zh)，要求知道：回报率均值向量回报率方差-协方差矩阵无风险利率估计量和计算量随着证券种类的增加以指数级增加INTRODUCTION共七十三页INTRODUCTION引入因素模型可以大大简化计算量由于因素模型的引入，使得估计Markowitz有效集的艰巨而烦琐的任务得到(d do)大大的简化。因素模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视点更准确共七十三页INTRODUCTIONCAPM与APT建立在均值方差分析基础上的CAPM是一种理论上相当完美的模型CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括H

2、arry Markowitz建立均值-方差模型时所作的假设。这其中最关键的假设是，所有投资者的无差异曲线建立在证券组合回报率的期望(qwng)和标准差之上。CAPM简洁、明确地回答了证券风险的合理度量问题以及证券如何在资本市场上被定价CAPM的缺陷缺乏实证验证的有力支持市场组合通常用某个指数替代，而指数组合不一定在有效边界上和期望收益率等数据只能通过历史数据获取这些都导致了较大的误差，影响了模型的检验结果共七十三页CAPM与APT除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由Stephen Ross在70年代中期建立的套利定价理论(APT)。在某种意义上来说，它是一种比CAPM简单的理论。APT所

3、作的假设少得多。APT的基本假设之一是，当投资者具有在不增加风险的前提下提高回报率的机会时，每个人都会利用这个机会，即，个体是非满足的。另外一个重要的假设是，证券市场证券种类特别多，并且彼此之间独立(dl)。最优投资组合理论+市场均衡=CAPM因素模型+无套利=APTINTRODUCTION共七十三页本章(bn zhn)结构A 因素模型(factor model)1.单因素模型2.多因素模型3.因素模型的估计B 套利(to l)定价理论(APT)1.APT的假设2.套利与均衡3.套利定价方程4.APT的规范推导5. APT与CAPM的区别和联系共七十三页A. 因素(yn s)模型 (FACTO

4、R MODEL)IDEA：任何证券i的实际回报率可以分为期望回报率与非期望部分这里：ri表示实际月回报率E(ri)表示期望回报率Ui表示回报率的非期望部分， E(Ui)=0期望回报率是市场中投资者预期到的回报率，依赖于投资者现在获得地关于该种股票(gpio)的所有信息，以及投资者对何种因素影响回报率地全部了解。The unanticipated part of return-that portion resulting from surprise-is the true risk of any investment共七十三页IDEA：m表示由于系统原因导致的回报率的非期望部分(b fen)，E

5、(m)=0表示由于非系统原因导致的回报率的非期望部分，E()=0m与 相互独立不同i之间的相互独立共七十三页IDEA：例子：年初通货膨胀率预期为5%，GDP的年预期增长率为2%，利率预测不变。股票如下：I=2； GDP=2；r=-1.8这一年公布的实际数字为：通货膨胀率上升7%，GDP仅增加了1%，利率下降了2%。同时有来自于公司的好消息：使用新的商业战略，公司的销售(xioshu)收益快速增长，这一未预期到的发展带来5%的收益。如果公司股票的年预期收益率为4%，请问其这一年的总收益为多少？共七十三页经济系统中的某些共同因素影响几乎所有的公司商业周期、利率、GDP增长率、技术进步、劳动和原材料

6、的成本、通货膨胀率这些变量不可预期的变化将导致整个证券市场回报率的不可预期变化因素模型是一种假设证券(zhngqun)的回报率只与各种因素或者指标的运动有关的经济模型。市场模型是一种单因素模型以市场指标的回报率作为因子。A. 因素(yn s)模型 (FACTOR MODEL)共七十三页 作为一种(y zhn)回报率产生过程，因素模型具有以下几个特点。第一，因素模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经济因素。第二，在构造因素模型中，我们假设两个证券的回报率相关一起运动仅仅是因为它们对因素运动的共同反应导致的。第三，证券回报率中不能由因素模型解释的部分是该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有

7、部分无关，也与因素的运动无关。因素模型在证券组合管理中的应用在证券组合选择过程中，减少估计量和计算量刻画证券组合对因子的敏感度如果假设证券回报率满足因素模型，那么证券分析的基本目标就是，辨别这些因素以及证券回报率对这些因素的敏感度。共七十三页A1.单因素(yn s)模型把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指标，假设它对整个证券市场产生影响，并进一步假设其余的不确定性是公司所特有(t yu)的。例如，国内生产总值GDP的增长率是影响证券回报率的主要因素。 共七十三页例子：单因素模型数据年份(ninfn) GDP增长率 A股票回报率1 5.7% 14.3%2 6.4 19.23 7.9

8、23.44 7.0 15.65 5.1 9.26 2.9 13.0共七十三页4%共七十三页写成方程的形式(xngsh)，A的回报率与GDP增长率之间的关系可以表示如下 这里 =A在 t 时的回报率, =GDP在 t 时的增长率, =A在 t 时的回报率的特有部分, =A对GDP的增长率的敏感度, =有关GDP的零因子。 在图中，零因子是4%，这是GDP的增长率为零时，A的回报率。A的回报率对GDP增长率的敏感度为2，这是图中直线的斜率。这个值表明，高的GDP的增长率一定伴随着高的A的回报率。共七十三页从这个(zh ge)例子可以看出，A在任何一期的回报率包含了三种成份：1在任何一期都相同的部分

9、（ a ）2依赖于GDP的增长率，每一期都不相同的部分（ bGDPt ）3属于特定一期的特殊部分（ et ）。共七十三页A1.单因素(yn s)模型单因素模型的最一般形式(xngsh)：对时间 t 的任何证券 i 有Ft 是因素在时间 t 的值，对在时间 t 的所有的证券而言，它是相同的。 bi是证券 i 对因子Ft 的敏感度，对证券 i 而言，bi不随时间的变化而变化。eit是证券 i 在时间 t 的回报率的特有部分。这是一个均值为0，标准差为ei，且与因子Ft 无关的随机变量，简称为随机项。简化：只考虑在某个特定时期的因子模型，从而省掉时间角标 假设：1任意证券 i 的随机项ei与因素不相

10、关;2任意证券 i 与证券 j 的随机项ei与ej不相关。 共七十三页 对(1)两边取平均，得到对于证券(zhngqun) i 而言，其回报率的均值(1)-(2)得：与介绍因素模型IDEA里的式子比较：共七十三页 对(1)两边(lingbin)求Variance，证券i回报率的方差为称(3)式中的 为因素风险； 为非因素风险。对于证券 i 和 j 而言，它们之间的协方差为共七十三页单因素模型具有两个(lin )重要的性质。第一个性质，单因素模型能够大大简化我们在均值-方差分析中的估计量和计算量。第二个性质与风险的分散化有关。 分散化导致因素风险的平均化。 分散化降低非因素风险。共七十三页共七十

11、三页例子：市场模型(mxng)这里 =在给定的时间区间，证券 i 的回报率 =在同一时间区间，市场指标 I 的回报率 =截矩项 =斜率项 =随机误差项，A1.单因素(yn s)模型共七十三页A2.多因素(yn s)模型单因素模型的局限：假设：1任意证券 i 的随机项ei与因素不相关;2任意证券 i 与证券 j 的随机项ei与ej不相关。经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景，因此，对将来经济预期的变化会对大多数证券的回报率产生深远的影响。但是，经济并不是一个简单的单一体，用单一的因子(ynz)来刻画整个经济显然是不准确的。共七十三页A2.多因素(yn s)模型一般来说，下面的几种因素会对整个经

12、济(jngj)产生普遍的影响。1GDP的增长率2短期国库券的利率水平3长短期国债的收益率之差4. 公司债与国债的收益率之差5. 通货膨胀率6. 石油价格7. 技术进步共七十三页1. 两因素模型，即，回报率生成过程包括两个因子。在 t 时的两因素模型方程为：这里 和 是影响证券(zhngqun)回报率的主要因素， 和 是证券(zhngqun) i 对两因子的敏感度。 是随机项，而 是零因子回报率。共七十三页例子(l zi)两因素模型数据年份 GDP增长率 通货膨胀率 B股票回报率1 5.7% 1.1% 14.3%2 6.4 4.4 19.23 7.9 4.4 23.44 7.0 4.6 15.6

13、5 5.1 6.1 9.26 2.9 3.1 13.0共七十三页共七十三页证券B的回报率受GDP的增长率和通货膨胀率预期值的影响。图中的每一点描述了在特定(tdng)的一年，证券B的回报率、GDP的增长率和通货膨胀率之间的关系。通过线性回归，可以确定一个平面，使得图中的点符合这个平面。这个平面的方程为共七十三页平面在GDP增长率方向的斜率（=2.2）表示证券B的回报率对GDP增长率变化的敏感度。平面在通货膨胀率方向的斜率（=0.7）表示证券B的回报率对通货膨胀率变化的敏感度。敏感度符号说明，当预期GDP增长率或者通货膨胀率增加时，证券B的回报率相应地增加或者减少(jinsho)。平面的截距表示

14、B的零因子回报率为5.8%。B的实际回报率与平面上对应点的差为回报率的随机项部分。例如，B在第六年的随机项为3%。共七十三页 和单因素模型一样，只考虑一期的模型，所以省掉时间(shjin)的角标。两因素模型方程如下： 假设：1证券的随机项与因子不相关，2证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关。期望回报率方差协方差如果假设3.则：共七十三页 两因素模型具有(jyu)单因素模型的重要性质。1有关证券组合前沿的估计量和计算量大大减少。2分散化导致因子风险的平均化。3分散化缩小非因素风险。共七十三页共七十三页A2.多因素(yn s)模型2.多因素模型一般形式(xngsh)离差形式其中共七十三页A2

15、.多因素(yn s)模型例子(l zi)：Fama-French 3 factors modelMarket Factor： rm-rfSize factor：SMBBook-to-market equity factor: HML共七十三页A2.多因素(yn s)模型Fama-French bond two-factors model:共七十三页A3.因素(yn s)模型的估计时间序列方法(Times-series approaches)最直观的方法假设投资者事先知道影响证券回报率的因素，估计敏感度准确度量(dling)因素值是关键例如：Fama-French 3 factors model

16、; Fama-French bond two-factors model横截面方法(Cross-sectional approaches)先估计敏感度（attribute），再估计因素的值与时间序列方法的区别经验因素、基本因素因素分析方法(Factor-analytic approaches)既不知道因素的值，也不知道对因素的敏感度共七十三页B 套利(to l)定价理论B1.套利定价理论(APT)的假设(jish)假设1：市场是完全竞争的、无摩擦的。假设2：投资者是非满足的：当投资者具有套利机会时，他们会构造套利证券组合来增加自己的财富。假设3：所有投资者有相同的预期：任何证券 i 的回报率满

17、足因素模型：这里， =证券 i 的随机回报率， =证券 i 对第 j 个因子的敏感度， =均值为零的第 j 个因子， =证券 i 的随机项。假设4：市场上的证券的种类远远大于因子的数目 k 。共七十三页APT的研究(ynji)对象如果每个投资者对各种证券的期望收益率和敏感性均有相同的估计，那么在均衡状态下各种证券取得不同期望收益率的原因是什么？为此需要回答：一个(y )实际的市场是否已经达到均衡状态；如果市场未达到均衡，投资者会如何行动；投资者的行动会如何影响市场，最终使之达到均衡；均衡状态下，证券的期望收益率由什么决定。共七十三页B2.套利(to l)与均衡套利与一价法则套利：是利用同一证券

18、在不同市场上或者不同证券在同一市场上存在的价格差异，通过低买高卖从中获取无风险利润的行为。一价法则：相同证券在不同市场（或同类证券在同一市场）的定价水平应相同。一价法则隐含的意思是：如果一只证券的回报能通过其它证券的组合合成创造（复制）出来，该组合的价格与基础(jch)证券的价格肯定是相等的；一价法则的成立意味着套利机会的消失；相反，当一价法则被违背时，就会出现明显的套利机会。一般来讲，在一个完全竞争、有效的市场总是遵循一价法则的。共七十三页B2.套利(to l)与均衡无套利条件(类型1)不同市场上同一资产套利的一个简单(jindn)例子LOF基金二级市场价格为1.25元，基金公司的申购价格为

19、1.21元，投资者可以从基金公司申购LOF基金份额,再在二级市场卖出基金份额；如果二级市场价格为1.17元，基金赎回价格为1.21元，投资者就可以先在二级市场买入基金份额,再到基金公司办理赎回业务完成套利过程。 套利机会一旦被发现，投资者（甚至只需要少数或一个投资者）就会利用该机会进行套利获取无风险收益。套利过程会一直进行下去直到无利可图时停止共七十三页B2.套利(to l)与均衡无套利条件(类型1)例子(l zi)：MM定理共七十三页共七十三页共七十三页无套利条件(tiojin)(类型1)共七十三页B2.套利(to l)与均衡无套利条件(类型2)例子：同一市场不同证券(zhngqun)之间的

20、套利机会各种证券在不同环境下的收益率(%)高通胀低通胀高利率低利率高利率低利率概率（P）0.250.250.250.25A-20402060B03070-20C90-10-2070D15152336共七十三页B2.套利(to l)与均衡例子：同一(tngy)市场不同证券之间的套利机会收益率统计表股票现价期望收益率（）标准差（）相关系数ABCDA102529.581-0.15-0.290.68B102033.91-0.151-0.87-0.38C1032.548.15-0.29-0.8710.22D1022.258.580.68-0.380.221共七十三页B2.套利(to l)与均衡例子：同一

21、市场不同证券之间的套利机会将股票(gpio)A、B、C按等权重构成投资组合T不同环境下T与D的收益率（）高通胀低通胀高利率低利率高利率低利率T组合23.332023.3336.67D15152336在任何一种宏观环境出现时，投资组合T的收益率都高于股票D。共七十三页例子：同一市场不同证券之间的套利机会(j hu)零投资组合的收益状态股票投资额（万元）高通胀低通胀高利率低利率高利率低利率A100-20402060B10003070-20C10090-10-2070D-300-45-45-69-108零投资组合0251512卖空(mi kn)无论投资者多厌恶风险，都会利用这种优势进行套利。B2.套

22、利与均衡共七十三页B2.套利(to l)与均衡套利与均衡的关系当套利机会出现时、投资者就会通过低买高卖赚取差价收益(shuy)。套利机会存在意味着某些证券的定价是不合理的，其价格就为非均衡价格。套利行为会使证券的价格发生变化，从而使套利机会不再存在时，市场将处于均衡状态，各种证券的定价也处于合理水平。套利与均衡的关系是资本市场理论的一个基本论点。共七十三页套利与均衡的关系无套利均衡与风险/收益(shuy)权衡均衡的区别共七十三页套利证券(zhngqun)组合根据APT，投资者将尽力发现并构造一个套利证券组合的可能性，以便在不增加风险的情况下提高组合的预期报酬率。假设证券的回报满足(mnz)因素

23、模型 如果一个证券组合满足下列三个条件：1初始成本为零；2对因子的敏感度为零：3期望回报率为正。我们称这种证券组合为套利证券组合。注：严格的说，套利证券组合应该具有零的非因子风险。但是，APT假设通过分散化，这种风险非常小，以至可以忽略。故APT中的套利又称之为近似套利共七十三页套利组合(zh)的数学表达式 建立套利组合需要决定哪些证券需要卖出？卖出多少？哪些证券需要买入？买入多少？即确定各证券的权重。 在计算(j sun)时，一般假定b的敏感性是已知的。 因此，求解方程组中的x，即为一个套利组合。其解可能不唯一，即套利组合也不唯一。共七十三页套利(to l)均衡的实例例子：（单因子模型）假如

24、市场(shchng)上存在三种股票，每个投资者都认为它们满足因子模型，且具有以下的期望回报率和敏感度： i 股票115%0.9股票221%3.0股票312%1.8假设某投资者投资在每种股票上的财富为400万元，投资者现在总的投资财富为1200万元。首先，我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合。显然，一个套利证券组合 是下面三个方程的解：初始成本为零： 对因子的敏感度为零： 期望回报率为正：共七十三页满足这三个条件的解有无穷(wqing)多个。例如，(w1,w2，w3)=(0.1,0.075,0.175)就是一个套利证券组合。这时候，投资者如何调整自己的初始财富1200万元总之，对于任何只关心

25、更高回报率而忽略非因子风险的投资者而言，这种套利证券组合是相当具有吸引力的。它不需要成本，没有因子风险，却具有正的期望回报率。共七十三页套利(to l)均衡的实例套利证券组合的具体(jt)构成持有第1种证券120万，第2种证券90万资金从哪里来？卖空第3种证券210万套利证券组合如何影响投资者的头寸旧组合+套利组合=新组合权重 x10.3330.10.433X20.3330.0750.408x30.333-0.1750.158性质 RP16%0.975%16.975%P1.901.9p11%很小11%共七十三页套利均衡的实例(shl)套利对定价的影响套利的后果是什么？买卖的压力将促使资产价格进

26、行调整这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利机会消失为止。此时，证券市场处于一个均衡(jnhng)状态。在这时的证券市场里，不需要成本、没有因素风险的证券组合，其期望回报率必为零。共七十三页B3.无套利定价(dng ji)方程单因素模型下，三种证券的期望回报率 和因子敏感度bi如果满足，对任意组合(w1, w2，w3) ，若则必有也即满足无套利条件时，根据Farkas引理，必存在常数 和 ，使得下面(xi mian)的式子成立此即单因素下的无套利定价方程共七十三页套利(to l)定价方程的图形说明以单因素(yn s)模型为例APTSB共七十三页一般情形 选择证券组合 ，使其成本为0回报

27、率为为了得到无风险(fngxin)的证券组合，我们必须消除因素风险(fngxin)和非因素风险(fngxin)。满足下面三个条件的证券组合符合这一要求：1）所选的每个权充分小；2）所包括的证券种类尽量多；n是一个很大的数3）对每个因素而言，证券组合的因素敏感度为零。 B3.套利(to l)定价方程共七十三页因为随机项是独立的，由大数定律，当n越来越大时，随机项的加权和趋向于零。换言之，通过分散化，不需要花任何(rnh)成本就能消去非因子风险。因此，我们得到在形式上看起来，这是一个随机量。但是，由(6.26)式，证券组合的每个因素敏感度为零，所以，所有的因素风险为零。最后，证券组合的回报率变成了

28、一个常数。在我们构造的证券组合的过程中，投资者既不需要成本，也不承担风险，如果构造的证券组合的回报率不为零，它就是一个套利证券组合，当市场达到均衡时，这是不可能的。因此，满足条件(a)-(c)的证券组合，其回报率一定为零，即， 共七十三页证券市场无套利时，证券的期望回报率和因子敏感度满足下列性质：对任何向量 ，如果(rgu)它既垂直于单位常向量，又垂直于每个因子敏感度向量，则它一定垂直于期望回报率向量，由Farkas引理，期望回报率向量一定可以表示成单位常向量和因素敏感度向量的线性组合，即，存在k+1个 常数i，使得 共七十三页B3.套利(to l)定价方程套利定价方程中的的解释当存在无风险资产时，其收益率是一个常数rf，对任何因素(yn s)无敏感性，即有rf= 0套利定价方程可写为：对于其它的j，总能构造一特殊的证券组合j，对因素Fj的敏感性bj1，而对其它因素的敏感性bi均为0。则该组合（因素组合）的期望收益率为：共七十三页例子：对每个因素(yn s)，总能构造其因素(yn s)组合，求得其风险溢价有两个充分分散化的组合1和2，这两个组合均受两个因素(离差形式)的影响r1= 0.2+ f1+ 0.5 f2 r2= 0.3+ 2f1+ 1.5 f2考虑一个包含这两个组合