概率论第四章答案

1、1.设随机变量X的分布律为X-202P0.40.30.3习题4-1求E(X)；E(23X);E(X2)；E(3X25).解由定义和数学期望的性质知E(X)(2)0.400.320.30.2;E(23X)23E(X)23(0.2)2.6;E(X2)(2)20.4020.3220.32.8;E(3X25)3E(X2)532.8513.4.2.设随机变量X的概率密度为f(x)X求Y2X和Ze的数学期望.解E(Y)E(2X)2E(X)20 xexdx2,E(Z)E(e2X)0e2xexdx；.3.游客乘电梯从底层到电视塔顶观光，电梯于每个整点的第xe,x0,0,x0.5分钟、第25分钟和第55分钟从底

2、层起行.假设一游客在早八点的第X分钟到达底层侯梯处，且X在区间0,60上服从均匀分布.求该游客等候电梯时间的数学期望.解已知X在0,60上服从均匀分布，其概率密度为记近游客等候电梯的时间因此，E(Y)Eg(X)1,0&x&60,f(x)600,其它.，则5X,0X5,25X,5X25,g(X)755X,25X55,65X,55X60.160g(x)f(x)dx0g(x)dx15255560(5x)dx(25x)dx(55x)dx(65x)dx60052555=11.67(分钟).14.某保险公司规定，如果在一年内顾客的投保事件A发生，该公司就赔偿顾客a元.若一年内事件A发生的概率为p,为使该公

3、司受益的期望值等于a的10%,该公司应该要求顾客交多少保险费？解设保险公司要求顾客交保费c元.引入随机变量1,事件A发生，X0,事件A不发生.则PX1p,PX01p.保险公司的受益值ca,X1,Yc,X0.于是E(Y)(ca)PX1cPX0apc.据题意有apca10%,因此应要求顾客角保费c(0.1p)a.习题4-2.选择题2_(1)已知E(X)1,D(X)3则E3(X2)().(A)9.(B)6.(C)30.(D)36.解E3(X2)23E(X24X4)3E(X2)4E(X)43D(X)E(X)24E(X)444)36.6,D(X)3.6,则有().(B)n20,p0.3.(D)n12,p

4、0.5.2、.),则有().(B) E(X Y) 2(D) D(X Y) 2解因为XB(n,p),所以E(X)=np,D(X)=np(1-p),得到np=6,np(1-p)=3.6.解之,n=15,p=0.4.可见，应选(C).(3)设X与丫相互独立，且都服从N(,(A)E(XY)E(X)E(Y).(C)D(XY)D(X)D(Y).0 .由于x与丫相互独立所以解注意到E(XY)E(X)E(Y)D(XY)D(X)D(Y)22.选(D).(4)在下列结论中，错误的是().(A)若XB(n,p),则E(X)np.(B)若XU1,1,则D(X)0.(C)若X服从泊松分布，则D(X)E(X).(D)若X

5、-N(,2),则N(0,1).(ba)2221解X-U(1,1),则D(X)(-.选(B).121232.已知X,Y独立，E(X)=E(Y)=2,E(X2)=E(Y2)=5,求E(3X-2Y),D(3X-2Y).解由数学期望和方差的性质有E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=3X2-2X2=2,D(3X2Y)9D(X)4D(Y)9E(X2)E(X)24E(Y2)E(Y)29(54)4(54)13.3.设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1服从区间0,6上的均匀分布,，_2、一，一、一一X2N(0,2),X3P(3),记YX12X23X3,求E(Y)和D(Y).解由题设知(60)2E(

6、XJ3,D(XJ3,E(X2)0,D(X2)4,121111E(X3)3,D(X3)9.由期望的性质可得E(Y)E(X12X23X3)E(XJ2E(X2)3E(Xs)13203-4.3又X1,X2,X3相互独立，所以D(Y)D(X12X23X3)D(X1)4D(X2)9D(X3)1344920.94.设两个随机变量X和丫相互独立，且都服从均值为0,方差为-的正态分布，求2|XY|的的期望和方差.1解记UXY.由于XN(0,一),YN(0,一)，所以2E(U)E(X)E(Y)0,D(U)D(X)D(Y)1.由此U-N(0,1).进而2X2dx2X20221T2E(|XY|)E(|U|)|x|e2

7、1222E(Y2 )( 1)2020 12-1 .32218故有D(Y) E(Y ) E(Y)1.9 96.设随机变量U在区间-2, 2上服从均匀分布，随机变量1,若 U 1,1,若 U1,1,若 U 1.1,若 U 1.求 E(X+Y), D(X+Y).解(1)随机变量(X, Y)的可能取值为(-1,- 1),(-1,1),(1,-1),(1,1).dx.一0 xeE(|U|2)E(U2)D(U)E(U)2故而D(|XY|)D(|U|)E(|U|2)E(|U|)21J-1-5.设随机变量XU1,2,随机变量1,X0,Y0,X0,1,X0.求期望E(Y)和方差D(Y).解因为X的概率密度为1-

8、,作x2, TOC o 1-5 h z fX(x)30,其它.于是丫的分布率为0011PY1PX0fX(x)dxdx,-133PY0PX00,+212PY1PX0fX(x)dx-dx-.0033因此121E(Y)1-001-,333X+Y-202111PX+Y=k424(X+Y)204P(X+Y)2=k1122PX 1,Y1PXPX 1,YPX 1,Y于是得期口丫的联合密度分布为PU 1,U 1 PU 11,Y 1 PU 1,U1 PU 1 ,U 11 PU 1,U11 0,dx21 dx1 4-112 4dx由此可见222E(XY)-0；D(XY)E(XY)2.44习题4-3.选择题(1)在

9、下列结论中，()不是随机变量X与丫不相关的充分必要条件(A)E(XY)=E(X)E(Y).(B)D(X+Y)=D(X)+D(Y).(C)Cov(X,Y)=0.(D)X与丫相互独立.解X与丫相互独立是随机变量X与丫不相关的充分条件，而非必要条件.选(D).(2)设随机变量X和丫都服从正态分布，且它们不相关，则下列结论中不正确的是().(A)X与丫一定独立.(B)(X,Y)服从二维正态分布.(C)X与丫未必独立.(D)X+Y服从一维正态分布.解对于正态分布不相关和独立是等价的.选(A).(3)设(X,Y)服从二元正态分布，则下列说法中错误的是().(X,Y)的边缘分布仍然是正态分布.X与丫相互独立

10、等价于X与丫不相关.(X,丫)是二维连续型随机变量.(D)由(X,Y)的边缘分布可完全确定(X,丫)的联合分布.解仅仅由(X,Y)的边缘分布不能完全确定(X,Y)的联合分布.选(D)设D(X)=4,D(Y)=6,3=0.6,求D(3X-2Y).解D(3X2Y)9D(X)4D(Y)12Cov(X,Y)944612xy,D(X)Jd(Y)3624120.62.624.727.设随机变量X,Y的相关系数为0.5,E(X)E(Y)0,E(X2)E(Y2)2,求E(XY)2._2_2_2E(XY)E(X)2E(XY)E(Y)42Cov(X,Y)E(X)E(Y)42xy,D(X).D(Y)420.526.

11、4.设随机变量(X,Y)的分布律为若E(XY)=0.8,求常数解首先由pjHab0.4.其次由i1j10.8E(XY)100.420a110.221b0.22b得b0.3.进而a0.1.由此可得边缘分布律X12PX i0.60.4E(X) 1 0.6 2 0.4 1.4,Y01PY j0.50.5E(Y) 0 0.51 0.5 0.5.0.5 0.1 .于是故Cov( X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 0.8 1.4.已知随机变量(X,Y)N(0.5,4;0.1,9;0),z=2X-y,试求方差D(Z),协方差Cov(X,Z),相关系数2解由于X,Y的相关系数为零，所以X和丫相互独立(因

12、X和丫服从正态分布).因此D(Z)D(2XY)4D(X)D(Y)44925,Cov(X,Z)Cov(X,2XY)2Cov(X,X)Cov(X,Y).因此XZ2D(X) _Cov( X,Z)_ 一D(X)D(Z)0.8. TOC o 1-5 h z 、.、一一一._2_2X与丫的相.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布：XN(1,3),YN(0,4);、一，1XY关系数XY-,Z-.求：(1)E(Z),D(Z);(2)X与Z的相关系数小z;(3)1可232X与z是否相互独立？为什么？2、2解(1)由于XN(1,3),YN(0,4),所以E(X)1,D(X)9,E(Y)0,D(Y)16,而因此Co

13、v(X,Y)xy.D(X)D(Y)1346.XY11111E(Z)E(-)-E(X)-E(Y);1-0-,3232323XY1111D(Z)D(-)-D(X)-D(Y)2Cov(-X-Y)3294321 4-(6) 3.3111-19-16，Cov(X,Y)1943(2)由于Cov(X,Z)所以XCov( X, 一 3XZY11) D(X) Cov( X,Y) 232_Cov(X,Z)_ 0, D(X),词一 (6)0,(3)由XZ0知X与Z不相关，又X与Z均服从正态分布，故知X与Z相互独立.证明：对随机变量(X,Y),E(XY)=E(X)E(Y)或者D(XY)=D(X)+D(Y)的充要条件是

14、X与Y不相关.证首先我们来证明E(XY)E(X)E(Y)和D(XY)D(X)D(Y)是等价的.事实上，注意到D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y).因此D(XY)D(X)D(Y)Cov(X,Y)0E(XY)E(X)E(Y).其次证明必要性.假设E(XY)=E(X)E(Y),则Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0.进而 XYCov( X,Y)_ .DLDY0,即x与丫不相关.最后证明充分性.假设X与丫不相关，即XY0，则Cov(X,Y)0.由止匕知E(XY)E(X)E(Y).总习题四1.设X和丫是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知X的分布律为1PXi，i1,2,3.又设Um

15、axX，Y，VminX，Y.3(1)写出二维随机变量(U，V)的分布律；(2)求E(U).解(1)下面实际计算一下PU1，V3.注意到UmaxX，Y，VminX，Y，因此PX 3，Y 13 PX 3PY 12PU1，V3PX1，Y3PX1PY111133339类似地计算，可得(U，V)的分布律如下表f-UV123A122199912209930019(2)由(U，V)的分布律可得关于U的边缘分布律U123PUi135999所以13522E(U)12399992.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗.假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率是12.设X为途中遇到红灯的次数，求随机变

16、量X的分布律、5分布函数和数学期望.-22解令X表小途中遇到红灯的次数，由题设知XB(3).即X的分布律为，5X；01232754368P1251251251253从而E(X)kPXk1275436k01212512512581253.设随机变量(X,Y)的概率密度为212y,0yx1,f(x,y)0,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2Y2).其它.解E(X)xf(x,y)dxdyidx012y2dy4x4dxE(X)yf(x,y)dxdy2,dx0y12ydy3x4dxE(XY)1X2xyf(x,y)dxdy0dxxy12ydy3536E(X2Y2)(x2y2)f(x,y)dxdy(

17、4x512x5)dx52325301dx016I15(x2y2)12y2dy4.设随机变量(X,Y)的概率密度为y),0Wx0-,0WyW,22其它.解E(X)12xf(x,y)dxdy20 xsin(xy)dxdy一4于是有2E(X2)D(X)利用对称性，有又E(XY)12122xf(x,y)dxdy02x2sin(xy)dxdy2._2_2E(X)E(X)E(Y)z，D(Y)一、一1xyf(x,y)dxdy一202xdxxdx1.所以协方差Cov(X,Y)02ysin(xy)dy2.1622162.222xysin(xy)dxdy02ysinxcosycosxsinydyE(XY)E(X)

18、E(Y)2615.设随机变量X与丫独立，同服从正态分布N(0,一),求2E(XY);D(XY)；E(maxX,Y);E(minX,Y).-一11、解(1)记XY.由于XN(0，a),YN(0q)，所以E()E(X)E(Y)0,D()D(X)D(Y)1.x2由止匕N(0,1).所以x2E(|X Y|) E(| |)|x| .2-e 2 dxxe2dxE(| |2)故而 D(|X Y|) D(|x22oE( 2) D( ) E( )2 1_2_2I) E(| | ) E(| |)1021 . 22 i 2(2)注意到(X Y) IX YImax(X,Y) )|, min(X,Y)2所以1 ,、Em

19、ax(X,Y)-E(X)E(Y)E| XY|1,、Emin(X,Y)-E(X)E(Y)E| XY|6.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为X Y |X Y|21 2xy, 0 x2,0y2, f (x, y) 80, 其它.求：E(X), E(Y), Cov(X,Y), pxy, D(X+Y).解 注意到f (x, y)只在区域G:0 x2,0y2上不为零，所以E(X)xf (x,y)dxdyx-ydxdy g 812212710dx0 x(xy)dy-0 x(x1)dxE(X2)x2f(x,y)dxdy因而1 2dx 2x2(x8 00y)dy_2_2D(X) E(X ) E(X),32、，

20、0 (x x )dx25 7_ 11 _2.3 636I2,2,、 ，1 2, 2 4 、 ，48 0dx oxy(x y)dy % o(x 3x)dx38433由对称性知E(Y)这样， HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 722511 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document E(X) -, E(Y2) E(X2) -, D(Y) D(X) 63364 491Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y),3 3636Cov( X,Y) 1D(X)；D(Y) 115D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov( X,Y)-.917.设A, B为随机事