《高等数学教学课件-》8-6

1、第六节一、空间直线方程 二、线面间的位置关系 空间直线及其方程 第八章 三、实例分析 一、空间直线方程因此其一般式方程1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)直线L的方向向量：平行于已知直线L的非零向量s。2. 对称式方程故有说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.设直线上的动点为 则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如, 当和它的方向向量 3. 参数式方程设得参数式方程 :例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .故所给直线的对称式方程为参数

2、式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.是直线上一点二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角 则两直线夹角 满足设直线 L1, L2 的方向向量分别为 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)特别有:例2. 求以下两直线的夹角解: 直线L1的方向向量为直线L2的方向向量为二直线夹角 的余弦为(参考P45 例2 )从而当直线与平面垂直时,规定其夹角为线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;2. 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足直线和它在平面上的投影直特别有:解: 取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程

3、. 为所求直线的方向向量. 垂 例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面例4 设M0(x0, y0, z0)是平面： 外一点，求M0 到平面的距离. M0Nnd=?解1 可先求得过点M0且与平面垂直的直线L的方程,然后再求平面与直线L的交点N坐标,最后由两点的距离公式即得所求.直线L的方程为代入平面的方程得于是M0 到平面的距离为于是交点N的坐标为:解2:利用投影(P42)3、平面束平面束：通过定直线L的所有平面的全体. 设L的一般方程为 A1x+B1y+C1z+D1=0， (1) A2x+B2y+C2z+D2=0， (2)其中系数A1，B1，C1与A2，B2，C2不成比例. 1(A1x+B

4、1y+C1z+D1)+ 2 (A2x+B2y+C2z+D2) =0 平面束方程注平面束方程(3) 中不包含平面A2x+B2y+C2z+D2=0。 平面束方程通常写成 A1x+B1y+C1z+D1+ (A2x+B2y+C2z+D2) =0 (3) 解 直线L在平面上的投影可视为与过L且垂直于的平面1的交线. 因为1是通过L的平面束中的一个平面，于是可设1的方程为由与1垂直知 (1+)1+(1-)1+(-1+)1=0,得=-1.从而1的方程为 y-z-1=0.所以投影直线的方程为 x+y-z-1+（x-y+z+1) =0.其法向量为n=1+，1-，-1+.1L这是投影平面这是给定的平面例5. 求直

5、线在平面上的投影直线方程.三、实例分析例6. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线提示: 所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行, 且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程. 例7. 求直线与平面的交点 . 提示: 化直线方程为参数方程代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）.例8. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线垂直相交的直线方程.提示: 先求二直线交点 P. 化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点最后利用两点式得所求直线方程的平面的法向量为故其方程为过已知点且垂直于已知直线例9. 设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法线的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量所求为1. 空间直线方程一般式对称式参数式 内容小结 直线2. 线与线的关系直线夹角公式:平面 :L L / 夹角公式：3. 面与线间的关系直线 L :到直线的距离为点d作业P48 2 ，3，5，7，8，9，14，15 P48 题2, 10习题课 思考与练习解：相交,求此直线方程 .的方向向量为过 A 点及 面的法向量为则所求直线的方向向量方法1 利用叉积. 所以一直线过