固体中学物理学导论

1、固体物理学导论第一章晶体结构1,1原子的周期性阵列一个晶体的所有各面的方向指数都是精确的整数。衍射实验决定性的证明了晶体是由原子或原子团的周期性阵列组成的。在理想情况下，晶体是由全同的原子团在空间无限重复排列而构成的，这样 的原子团被称为基元。在数学上这些基元可以抽象为几何点，而这些点的集合被 称为晶格。原胞是体积最小的晶胞，初基基元是包含原子数目最少的基元。1,2晶格的基本类型晶格可以通过晶格平移或其它各种对称操作与其自身重合。典型的对称操作 是围绕一个通过格点的晶轴进行转动。对于转动角度为瓯，匝，顷回，四ZI 和回孤度或者是这些角度的整数倍，总可以找到一些会与自身重合的晶格， 与这些角度相

2、对应的转动轴分别被称为一重、二重、三重、四重和六重轴，通常 用符号1、2、3、4和6分别表示这些转动轴。晶格平移矢量具有任意性，由此给出的一般性晶格通常被称为斜方晶格。二维晶格的分类：有五种，即一种斜方晶格和四种特殊晶格。布拉维晶格 （Bravais lattice）是对某种具体晶格类型的统称，于是有五种二维布拉维晶格。三维晶格的分类：有14种，即三斜晶格和13种特殊晶格。为方便起见，通 常按照七种惯用晶胞将这14种晶格划分为7种晶系，即三斜（1）、单斜（2）、 正交（4）、四角（2）、立方（3）、三角（1）和六角晶系（1）。立方晶系包括简单立方（sc），体心立方（bcc）和面心立方（fcc）

3、三种晶格。1,3 晶面指数系统一个晶面的取向可以由这个晶面上的任意三个不共线的点确定。晶体中某一方向的指数是指这样一组最小整数，这组最小整数间的比率等于 该方向的一个矢量在轴上的诸分量的比率。1,4简单晶体结构氯化钠型结构：面心立方。基元由一个钠离子和一个氯离子组成，每个原子 有六个异类原子作为最近邻。每一个单位立方体中有4个氯化钠基元。氯化铯型结构：简单立方，基元由一个铯离子和一个氯离子组成，每个原子 有八个异类原子作为最近邻。每个原胞有1个分子。六角密堆积型结构（hcp）:与面心立方结构的总体积被球占据的体积比率一 样，都为0.74。每个球与其它6个球相接触。金刚石型结构：面心立方，惯用单

4、位立方体中包含8个原子，每个原子有4 个最近邻和12个次近邻。立方硫化锌结构：面心立方，惯用晶胞为立方体，含4个硫化锌分子，围绕 每个原子有4个等间距的异类原子，排列在一个正四面体的顶角上。1.5原子结构的直接成像借助透射电子显微技术，可以直接得到晶体的结构图像。使用扫描隧道显微 镜技术（STM）可以得到最为精美的结构图像，因为可以发挥量子隧道效应对金 属探针与晶体表面的间距异常敏感的优势。1,6非理想晶体结构无规堆垛：密排面的堆垛序列是无规律的。多型性的特征表现在沿堆垛轴有一个长重复单元的堆垛序列。第二章晶体衍射和倒格子2,1晶体衍射衍射依赖于晶体结构和入射粒子的波长。布拉格定律：当行程差是

5、波长国的整数（n）倍时，来自相继平面的辐射就 发生相长干涉，所以有Pdsin8 =回。定律成立的条件是波长，d为平行 晶面的间距。【注】相长干涉是指在产生激光的光学共振腔中，由于满足驻波条件，使得在出口处 原光与反射光相互叠加增强的现象2,2散射波振幅倒格子：倒易空间晶格每个晶体结构都将有两套晶格与之相联系：一套是正晶格（或称正格子）， 另一套是倒晶格（亦称倒格子）。定理：一组倒格矢决定了可能存在的X射线反射。衍射条件：hk = GRG云劳厄条件: 土 = 2六巧； eg & = 2兀宜兰;a；） ,?兀以3倒格于的初基平移矢量为：b=2 冗电 X ； bi =2na Xaj -i *2 X

6、a3* a2 X flaai - az X g其中Gl,也，史是正格子的初基平移矢量，倒格矢的表达式!其中咨，理取整数或零，2,3布里渊区布里渊区定义为倒格子空间中的维格纳-赛茨原胞，布里渊区包括了所有能 在晶体上发生布拉格反射的波的波矢。只有波长k自原点出发而终止于布里渊区 表面的那些波，才能被晶体衍射。倒格子的中央晶胞称为第一布里渊区。作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分 面，由这些垂直平分面所围成的完全封闭的最小体积就是第一布里渊区。简单立方的第一布里渊区为立方体；体心立方的第一布里渊区为菱形十二面 体；面心立方的第一布里渊区为截角八面体。第六章自由电子费米气一维情况下的能级泡利不相容原理:

7、两个电子的所有量子数不能彼此全同，也就是每个轨道最 多只能容纳一个电子。这条原理适用于原子、分子以及固体中的电子。具有相同能量的轨道可以不止一个，具有相同能量的轨道的数目称为简并度。费米能定义为在N个电子系统的基态下最高被填满能级的能量。费米气体(Fermi gas)，又称为自由电子气体(free electron gas)、费米原子气体，是 一个量子统计力学中的理想模型，指的是一群不相互作用的费米子。温度对费米-狄拉克分布的影响基态是指N个电子系统在绝对零度时的状态。当温度升高时，电子气的动能增加。某些在绝对零度时原本空着的能级将被 占据，而某些在绝对零度时被占据的能级将空出来。6.3三维情

8、况下的自由电子气费米能附近单位能量间隔内的轨道数目(即态密度)恰好等于传导电子总数 除以费米能，上下最多相差一个数量级为1的因子。电子气的比热容比热容在绝对零度下趋于零，在低温下正比于绝对温度。电子比热容的观测值与自由电子的比热容值之比不等于1的原因：传导电子同刚性晶格周期势场的相互作用。电子在这种势场中的有效质量 被称为能带有效质量。传导电子与声子的相互作用。电子倾向于使其临近的晶格极化或发生畸变， 因此运动着的电子试图牵曳附近的离子，从而电子的有效质量增大。传导电子之间的相互作用。一个运动着的电子在周围的电子气中将引起一 个惯性反作用，从而导致电子有效质量增加。一些金属化合物具有很大的电子

9、比热容常数，其数值比一般金属的电子比热 容常数高出2-3个数量级，这样的化合物称为重费米子化合物。电导率和欧姆定律由于电子同杂质、晶格缺陷以及同声子的碰撞，可以使移动的费米球在电场中维 持一种稳态。如果碰撞的时间间隔为匝则在稳态下费米球所发生的位移可令6k曰，期间速度增量为阡丑=eEi/m|。如果在恒定电场e中，单位体积内含 有n个电荷q=e的电子，则电流密度为=叩=n/诂/利。这就是所谓的欧姆 定律。由巨1定义电导率52元。电阻率中与温度相关的部分正比于电子同热声子和热电子发生碰撞的速率， 与声子的碰撞速率正比于热声子的浓度。电子被声子倒逆散射是引起在低温下产生电阻率的主要原因。在磁场中的运

10、动当导体中传导电流j的方向和磁场B交叉时，将产生沿巨目方向且横跨导 体两个面的电场，这个电场称为霍尔电场。霍尔系数载流子浓度愈低，霍尔系数的绝对值愈大，测量网是确定载流子浓度的一 种重要手段。6.7金属的导热性在不太低的温度下，金属的热导率与电导率之比正比于温度，其中比例常数 的值不依赖于具体的金属。第七章能带晶体的电子分布在各个能带上，这些能带之间间隔着不存在类波电子轨道的 能量区域。这种禁区称为能隙或带隙，它们是由于传导电子波和晶体中的离子实 现相互作用而产生的。如果允许能带是充满的或是全空的，则晶体是绝缘体;如果一个或更多的能带被 部分填满，则晶体是金属性的;如果除了一个或者两个能带是几

11、乎空着或几乎充 满以外，其余所有能带全部充满，则晶体就是半导体或者半金属。7,1近自由电子模型近自由电子模型中能带电子看作是仅仅受到离子周期势场的微扰。布拉格反射反映了晶体中波传播的特征性质，晶体中电子波的布拉格反射是 能隙的起因。两个驻波使电子聚集在不同的区域内，因此这两个波在晶格离子场中具有不 同的势能值，这就是能隙的由来。7,2布洛赫函数布洛赫定理说明对于周期势场中的波动方程而言，其本征函数的形式为一个 平面波乘上一个具有晶格周期性的函数。形式如| W）f2xp3E|（其中）=+叫,在晶格平移 变换下保持不变，其中T为晶格平移矢量）给出的单个电子的波函数就是一个所 谓的布洛赫函数，可以表

12、示成行波的和，可以叠加微波包，从而表示在离子实势 场中自由传播的电子。7,4电子在周期势场中的波动方程在晶格的平移变换下势能不变。一个对于晶格平移操作不变的函数可以展开 为倒格矢G表示的傅立叶级数。将势能表示为傅里叶级数叵）=对于实际的晶体势能，系数四的值的变化趋势是随着G的量值的增加而迅速减少。 对于裸的（无屏蔽的）库伦势场，四按照迳的规律下降。一般要求势能匝是一个实函数。晶体中电子的波动方程是出）=匝此处H是哈密顿算符，目为能量本征值，其解国称为本征函数或轨道，亦称之为布洛赫函数。一般将标识布洛赫函数的k值选择为位于第一布里渊区内。实际的能带结构一般表示在第一布里渊区内，并以能量与波矢的关

13、系给出， 如果波矢碰巧落在第一布里渊区以外，则可以通过将该波矢减去一个合适的倒格 矢使之返回到第一布里渊区之内。7.5能带中的轨道数目每个原胞恰好给每个能带贡献一个独立的k值。如果价电子刚好填满一个或更多的能带，而其余的能带仍然全空，那么这个 晶体将是一个绝缘体。只有在晶体原胞内价电子数目为偶数时，这个晶体才可能是一个绝缘体。如 果一个晶体的每个原胞内有偶数个价电子，则必须考虑能带在能量上是否交叠。 如果能带交叠，就可能得到金属性质的两个部分填充的能带，而不是一个构成绝 缘体的满带。能带中轨道数目为2N，N为样品中原胞的数目。能带可以用一个或两个平面波做近似的表示。在若干能量区域内不存在波动方

14、程的布洛赫函数解，这些能值构成禁区，在 此区内波函数在空间被阻尼，k是复值的。绝缘体的出现是由于这些能量取值禁 区的存在而引起的。第十四章 等离子体、电磁耦子和极化子14,1电子气的介电函数介电函数可以定义为即分别以自由电荷密度和感生电荷密度的回和K给出。2 47rne2 2 ne2等离子体频率定义为作 m 钟，介电函数的极点确定四，零点确定性。等离体（plasma,即等离子体）是这样一种介质，它所含有的正电荷与负电 荷的浓度相等，这两种电荷中至少有一种是可迁移的。在固体中，传导电子的负 电荷被离子核的相等浓度的正电荷所均衡。介电函数记作F）三涅1,国为等 离子体频率（横电磁波的低频截止频率）

15、。一个波只有当它的自由空间波长小于精=2兀归时才能够传播，否则这波 就将被反射。简单金属会反射可见光，而对于高频率的紫外光则是透明的。介电函数的零点决定了振荡纵模的频率。这就是根据条件已刀=|确定K=0附近的纵频率回。自由电子气是借用理想气体模型描述费米子系统性质的量子力学模型。14,2等离体子等离体子（plasmon,俗称等离激元）是等离体振荡的量子。可以令电子穿过 金属薄膜，或令电子或光子由薄膜上反射来激发一个等离体子。电子电荷与等离 体振荡的静电场起伏耦合。反射或透射的电子将发生能量损失，其大小等于等离 体子能量的整倍数。我们也可以在介电体薄膜中激发等离体振荡，介电体的等离体振荡与金属中

16、 的等离体振荡在物理上是相同的。14,3静电屏蔽“金属-绝缘体转变”一词的含义是：当某种材料由金属变为绝缘体时，其 电导率的变化是作为某种外部参数（材料的组成、压力、应变或磁场）的函数来 描述的。金属相通常利用独立电子模型进行处理，绝缘体相应要着重考虑电子- 电子相互作用。在等离体中，库伦相互作用被屏蔽。当半导体掺杂浓度增加时，它将向传导金属相转变。当掺杂原子的浓度足够 高，以致电子的基态波函数与邻近杂质原子的波函数有显著的交叠，这时就会发 生绝缘体-金属转变。在半导体文献中，通常将金属范围内的重掺杂半导体称为简并半导体。当晶体中最近邻间距a变至四的量级时，就可能发生一个金属-绝缘体转变，这匝

17、1是绝缘体中的第一玻尔轨道半径。金属相在a取小于匝的条件下存在。14.4电磁耦子在共振之下，声子-光子耦合会完全改变传播特性，并且将产生一个禁带， 禁带出现的原因与晶格的周期性完全无关。【注】共振指的是两个粒子的频率和波矢均近似相等。耦合声子-光子的量子称为电磁耦子，这种耦合由麦克斯韦方程组所保证，对于电磁波传播，频谱区间云口 改|是禁戒区间。在晶体体积内纵声子不与横光子发生耦合。频率回有两个含义：一个是指小K下的LO频率，另一含义是电磁波传播禁 带的高截止频率。这两个频率的数值日全同。没有阻尼的电磁波如果它的频率在禁区内，则不能在一个厚的晶体中传播。电子-电子相互作用传导电子通过它们之间的静电势而彼此发生相互作用，所以电子将经历碰撞。 一个运动的电子在它周围的电子气中产生一个惯性反作用，从而使电子的有效质 量增大。费米气是一个由无相互作用的费米子构成的系统，当存在着相互作用时，这 个系统就是费米液体。电子-,子相互作用：极化子电子-声子相互作用最通常的效应是电阻率对温度的依赖关系。电子被声子所散射，温度愈高就会存在更多的声子，因此，散射也就会愈加 频繁。电子-声子相互作用