离散时间信号处理：第5章 离散傅立叶变换与快速算法3

1、1DFT的应用DFT是一种算法，可以用硬件实现，也可以用软件实现主要有两方面用途：一、LTI系统实现二、信号的频谱分析2一、利用DFT实现LTI系统(FIR)出发点：线性时不变系统可以用线性卷积和来实现和描述；圆周卷积和在满足一定约束的条件下可以得到线性卷积；圆周卷积和可以利用DFT来完成h(n)3在许多应用场合（如语音滤波）输入信号时无限长的。尽管目前可以存储几乎所有的输入信号，但是这样的一种DFT是不现实的；输入和输出之间的长度严重不对称，需要对FIR滤波器的单位冲激进行大量补零，浪费大量运算量；采集完所有输入样本后才能计算滤波输出，导致有很大的处理延迟，损失实时性；存在的问题4采用块卷积

2、将输入信号分割成多段，对每段信号利用DFT进行处理，适当处理后进行衔接块卷积的方法主要有两种重叠相加法重叠保留法解决方法5设h(n)的点数为M，x(n)为很长的序列。将x(n)分解为很多段，每段为L点，L选择成和M的数量值级相同用xi(n)表示第i段：1）重叠相加法（Overlap)6由于xi(n)为L点，而yi(n)为（L+M-1）点（设N=L+M-1），相邻两段输出序列yi (n), yi+1 (n)必然有（M-1）个点发生重叠前一段的后（M-1）个点的后一段的前（M-1）个点重叠输出重叠问题7892）重叠保留法( Oversave)与重叠相加法相同，先将x(n)分段，每段L个点不同之处是

3、输入序列xi(n)中不再补零，而是在每一段的前边补上前一段保留下来的（M-1）个输入序列值，组成L+M-1点序列。每段圆周卷积结果的前（M-1）个点的值不满足因果系统的要求，不等于线性卷积值101112二、利用DFT的信号分析DFT的主要应用之一是分析连续信号的频谱如语音信号频率分析用于音腔辨识与建模由于实际的信号总不是严格带限的，并且自然界中总存在着噪声(其频谱是宽带的)，在采样之前需要加入抗混叠滤波器，使混叠减小到最低程度。 1314 离散信号的离散频率值： 由于采样的缘故，所得到的离散频率 与信号的原始频率 之间的关系为： 所以对应于信号的连续域频率为： 栅栏效应1516谱采样的影响利用

4、DFT来计算频谱，实际是在DTFT的数字连续谱线上进行采样，这种采样好比是我们通过一个“栅栏”观看景象一样，只能在离散点上看到真实的景象，称之为“栅栏效应”。虽然可以通过补零的方法减小这种效应，但这种固有的频谱采样仍然可能给出信号（连续未加窗）真实谱的错误导向或不准确的频谱图。对应于上面图（c）的情况，我们进行64点的DFT，其DTFT频谱和采样谱线图如下所示：17幅度畸变及衍生频率18纯净的假象19逼近真实用序列补零将频谱采样点增加为12820满足频率分辨率要求的N点DFT能够给出误导性的频谱抽样图。人们常常使用补零的方法，这样可以对频谱充分地过采样，将一些重要的特性表现出来。可以看出，补零

5、后的DFT得到了较密的谱线图，更清楚的反应真实情况。但我们必须清醒地认识到：补零并不能提高分辨率，分辨率在序列进行加窗处理时已经决定了，分辨率仅取决于截取信号时真正窗的长度和形状。212223 时域上的截断（相乘），在频域上表现为周期卷积，这将会对信号的频谱起平滑和能量的分散，即频谱泄漏。加窗对频谱的影响-谱泄露2425正弦信号的离散时间傅里叶变换是在频域上对称的冲激函数对。利用DFT分析正弦信号时，加窗使得冲激函数平滑或展宽，因此很难精确确定频率。加窗降低了频率上靠近的正弦信号的分辨能力。现在来观察由两个正弦分量组成的连续时间信号在加窗之下的DTFT频谱。令信号为： 其傅立叶变换有两个频率，

6、四个对称频点:正弦信号加窗（分辨率降低、谱泄漏）26 其不失真采样之后的离散序列为： 其DTFT为：OA1A0 幅度谱如下图所示：27DTFT没有对幅度谱的形状产生畸变。然而加窗后序列DTFT为：OA1A02864点的矩形窗的幅度谱函数2930频率的分辨能力取决于（有效）时间窗的主瓣宽度，在模拟频域上取决于 ，在离散频域上取决于 考虑采样间隔T，两者将是等效的。频率分辨率（HZ）定义为：DFT所计算频点间隔（频率步进） ：数字频率步进率和频率分辨率虽然形式上相同，但其存在根本区别，之间没有必然联系。当时间窗的长度固定时，采取加密采样点数N，减小采样周期T是不能提高模拟频率分辨率，也不能提高数字

7、频率步进率通过补零的方法，可以提高数字频率的分辨率，减小栅栏效应。但同样不能提高模拟频率分辨率。频率分辨能力31时间窗对频谱分析的影响分辨率降低和频谱泄漏是信号加窗的两种影响。分辨率主要受窗函数主瓣宽度的影响；频谱的泄漏主要指副瓣能量泄漏，一般不指主瓣能量的泄漏，主要取决于窗函数的主瓣和副瓣幅值相对比例。进行频谱分析时，往往希望有高分辨率和小的频谱泄漏，也就是希望有小的主瓣宽度和相对小旁瓣幅度。在具体选择窗函数时，要在两者之间进行折衷。矩形窗函数在给定长度时具有最小的主瓣宽度，但是却有最大的相对旁瓣幅度。 32 Kaiser和Schafer证明，相对旁瓣幅度基本上与窗的长度无关，只取决于窗的形

8、状，即取决于 ，它们之间的近似表达式为： 主瓣宽度主要取决于窗的长度。主瓣宽度、相对旁瓣幅度和窗长度之间的折衷关系的近似表达式为： 33信号分析与滤波器设计的区别34信号的分析，并不是在NT=L为固定值的情况下，N、T就可以任意取值。如果N太小，T太大，则无法完成信号的谱分析；若N太大，T太小，加大了运算量而且没必要。那么什么样的N、T选择比较合适呢？T的选取要满足无失真采样的条件：当信号是带限未知时，T越小越好 ；在信号带限已知时， 。在此基础上再确定N，当然要留有一定的余度。DFT分析参数的选取35考虑一个带限连续信号 ，且当 时， 。我们要利用上图中的系统来估计连续时间谱 。为了在尽可能

9、少的基二FFT计算量的条件下使模拟频率的分辨率不大于10Hz，则所需要截断多长的信号段？采样周期T为何值？样本数N的最小值应为多少?Ex36解：由于要求模拟频率的分辨率不大于10Hz，所以：截取的信号段长度至少为：0.1秒。为了采样不使信号失真，则由采样定理可知：从而采样周期 ，在0.1秒内只能采到500个点。所以样本数的最小值为：500。为了利用FFT，采样点数应为512可以多采12个数据，也可以采用补零的方法37一、DFT对CTFT的逼近连续时间非周期信号傅里叶变换为：用DFT 方法对该变换逼近：381、将 在t轴上等间隔（宽度为T）分段，每一段用一个矩形脉冲代替，脉冲的幅度为其起始点的抽样值。则CTFT可以近似为：时域离散化周期延拓392、将序列 x(n)=xc(nT) 截断成从t=0开始长度为T0=NT的有限长序列，包含有N个采样，即时域加矩形窗，则上式又可以进一步近似为：时域截断频谱展宽403、由于数值计算的限制，在频域上也只能计算离散点（频域抽样）上的数值。我们将频域的一个周期 中也分成N段，即 。每个频域采样点间的间隔为 。则上式可以进一步化简为：频域离散化栅栏效应41连续时间周期信号的傅里叶级数对为： 要将连续周期信