多元函数的极值与最值计算

1、多元函数的极值与最值计算 2多元函数的极值和最值条件极值 拉格朗日乘子(数)法小结 思考题 作业第8章 多元函数微分法及其应用3在管理科学、常常需要求一个多元函数的最大值或最小值,它们统称为最值.通常称实际问题中出现的需要求其最值的函数为该函数的自变量被称为变量.决策相应的问题在数学上被称为优化问题.与一元函数中的情形类似,多元函数的最值也与其极值有密切关系,所以首先研究最简单的多元函数二元函数的极值问题.所得到的结论, 大部分可以推广到三元及三元以上的多元函数中.经济学和许多工程、科技问题中,目标函数,4一元函数极值的必要条件如果函数f (x)在x0处可导, 极值,那么一元函数极值(第二)充

2、分条件极大值(极小值).回忆且f (x)在x0处取得则f (x0)为5一、多元函数的极值和最值1. 极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义是在一点附近将函数值比大小.则称点P0 (x0, y0)为函数的极大 值点, 设函数z = f (x, y) 在点P0 (x0, y0)的某 f (x0, y0)为函数的极大 值.回忆定义邻域内有定义, 若在此邻域内对异于P0的点, 恒有 (或极小) (或极小)6 注 函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的, 一般来说: 极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极值.极值点.邻域内的值

3、比较.是与P0的极小值可能比极大值还大.7例例例 函数 存在极值, 在(0,0)点取极小值. 在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在(0,0)点无极值.?椭圆抛物面下半个圆锥面马鞍面在简单的情形下是容易判断的.函数函数(也是最小值).函数82.极值的必要条件证定理(极值的必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:有极大值,不妨设z = f (x, y)在点(x0, y0)处都有说明一元有极大值,必有类似地可证设函数 z = f (x, y)在点(x0, y0)具有偏导数,且在点(x0, y0)处有极值,则对于(x0, y0)的某邻域内任意函数 f (x, y0)在 9推广如果三元函数u = f

4、 (x, y, z)在点P (x0, y0 , z0)具有偏导数,则它在P (x0, y0, z0)有极值的必要条件为:10均称为函数的仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,驻点(稳定点).从几何上看,此时如曲面z = f (x, y)在点(x0, y0, z0)处有切平面, 则驻点极值点如,驻点,但不是极值点. 注成为平行于xOy坐标面的平面如何判定一个驻点是否为极值点?113.极值的充分条件定理(极值的充分条件)在点(x0, y0)的某邻域内有连续的二阶偏导数, 且则f (x, y) 在点(x0, y0)处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,有极大值,有极小值;(2)没有极值;(3

5、)可能有极值,也可能无极值.设函数z = f (x, y)12求函数z = f (x, y)极值的一般步骤:第一步:解方程组求出实数解,得驻点.第二步:对于每一个驻点(x0, y0),求出二阶偏导数的值第三步:定出的符号,再判定是否是极值.13例1 解又在点(0,0)处, 在点(a, a)处, 即的极值.故f (x, y)在(0,0)无极值;故f (x, y)在(a, a)有极大值,14练习考研数学二, 选择题, 4分(A) 不是f (x, y)的连续点.(B) 不是f (x, y)的极值点.(C) 是f (x, y)的极大值点.(D) 是f (x, y)的极小值点.D解又在点(0,0)处,

6、故点(0,0)为函数z = f (x,y)的一个极小值点.15解求由方程将方程两边分别对x, y求偏导数,驻点为将上方程组再分别对x, y求偏导数,令例216故函数在 P 有极值.代入原方程,为极小值;为极大值.所以所以驻点将17求由方程解练习法二 配方法 方程可变形为 于是 显然, 根号中的极大值为4,由可知,为极值.即为极大值,为极小值.18处取得.然而, 如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:函数但函数在点(0,0)处都具有极大值. 在研究函数的极值时, 除研究函数的驻点外, 还应研究偏导数不存在的点.注由极值的必要条件知, 极值只可能在驻点但也可能是极值点.在点(0,

7、0)处的偏导数不存在, 下半个圆锥面19求一元连续函数 f (x)在闭区间a, b上的最值4.多元函数的最值回忆的一般步骤:其中最大(小)者就是 f (x)在闭区将闭区间a, b内所有驻点和导数不存在的点区间端点的函数(即为极值嫌疑点)处的函数值和值 f (a), f (b)比较,间a, b上的最大(小)值.20其中最大者即为最大值,与一元函数相类似, 求最值的一般方法最小者即为最小值.将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.21解(1) 求函数在D内的驻点 由于解得驻点为(2) 求函数在 D边界上的最值区域D有四条边界

8、线, 现有正方形钢板, 若以正方形中心为原点温度函数为例3建立平面直角坐标系(如图), 则在点(x, y)处钢板的求钢板的最冷点与最热点.即AB, BC, CD及DA.由于AB线段方程为 22(2) 求函数在 D边界上的最值区域D有四条边界线, 即AB, BC, CD及DA.由于AB线段方程为 将 代入T(x, y), 得由令得即函数T在AB线段上的驻点为由函数的对称性知,函数T在BC, CD, DA 线段的驻点仍为线段的中点, 即23比较函数T在以上所得驻点以及四条边界线端点处的函数值,所以函数T在A, B, C, D点函数值最大,而在原点O处函数值最小,故在钢板上最热点为钢板的端点,最冷点

9、在钢板的中心.24解(1) 求函数在D内的驻点 由于所以函数在D内无极值.(2) 求函数在 D边界上的最值(现最值只能在边界上)围成的三角形闭域D上的最大(小)值.D练习25在边界线在边界线由于最小, 由于又在端点(1,0)处,所以,最大.有驻点 函数值有单调上升.D26在边界线所以, 最值在端点处.由于 函数单调下降,(3)比较D27唯一驻点, 实际问题.解练习某工厂生产A 、的售价为1000元件, B两种型号的产品, 生产x件A型产品和y件B型产品的总成本为求A 、 B两种产品各生产多少时, 利润最大?设L(x, y)为生产x件A型产品和y件B型产品时获得的总利润, 则令当A 、 B两种产

10、品分别生产 120和80件时, 利润最大最大利润为A型产品 B型产品的售价为900元件,总利润为总收入与总成本之差:唯一驻点28无条件极值对自变量有约束条件的极值.并无其他条件.对自变量除了限制在定义域内以外,条件极值二、条件极值 拉格朗日乘子(数)法求条件极值的方法(1) 代入法(2) 拉格朗日乘子(数)法29解例1已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大?设长方体的长、宽、高分别为由题意长方体的体积为且长方体体积一定有最大值,故当的长、宽、高都为6时长方体体积最大.由于V在D内只有一个驻点,y 、z,x 、约束条件代入法驻点(6,6)30上例的极值问题也可以看成

11、是求三元函数的极值,但x, y, z要受到条件的限制,这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件有时条件极值目标函数中化为无条件极值.可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的.下面要介绍解决条件极值问题的一般方法:下, 拉格朗日乘子(数)法这样做是有困难的,31拉格朗日乘子(数)法:现要寻求目标函数在约束条件 下取得利用隐函数的概念与求导法如函数(1)在(x0, y0)取得所求的极值,由条件(1)(2)极值的必要条件.那末首先有(3)确定y是x的隐函数 y = y(x). 不必将它真的解出来, 则于是函数即, 取得极值.(1)在(x0, y0)取得所求的极值.32其中代入(4)得:由一元可

12、导函数取得极值的必要条件知:(4)取得极值.在(3), (5)两式得极值的必要条件.就是函数(1)在条件(2)下的在(x0, y0)取33 设上述必要条件变为: (6)中的前两式的左边正是函数:(6)的两个一阶偏导数在(x0, y0)的值.函数L(x, y)称为拉格朗日函数,称为拉格朗日乘子,是一个待定常数.34拉格朗日乘子法:极值的必要条件在条件要找函数下的可能极值点,先构造函数其中为某一常数,可由解出x, y, ,其中x, y就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘子法可以推广到二元以上的多元函数及带有多个附加的条件极值问题.35如何确定所求得的点实际问题中, 非实际问题我们这里不做进一步的讨论

13、.判定.可根据问题本身的性质来是否为极值点?36解则又是实际问题,解得唯一驻点一定存在最值.令故最大值为例2将正数12分成三个正数x, y, z之和使得?此题是否也可化为无条件极值做37小结先从附加条件消去一个变量后成为无条件极值.然后代入f (x, y, z)中以条件极值问题解法之一:条件极值问题解法之二(拉格朗日乘子法):条件极值问题的解所应满足的必要条件可用下列先构造拉格朗日函数而即为(x, y, z)上述条件极值问题解的必要条件.若欲在满足附加条件的(x, y, z)中去找使函数 f (x, y, z)达到最大(小)值的问题, 方法记忆.解出一个变量,称为条件极值.38解设P (x0,

14、 y0 , z0)为椭球面上的一点,令则过P(x0, y0 , z0)的切平面方程为在第一卦限内作椭球面使切平面与三个坐标面所围成的四面体例3的切平面,体积最小,求切点坐标.39目标函数该切平面在三个轴上的截距各为化简为所求四面体的体积约束条件在条件下求V 的最小值,40约束条件令由目标函数41可得即当切点坐标为四面体的体积最小(唯一驻点)(实际问题)42经济学中有Cobb-Douglas生产函数模型其中x表示劳动力的数量, y表示资本数量, C与a是常数, 由不同企业的具体情形决定, 函数值表示生产量.现已知某生产商的Cobb-Douglas生产函数为其中每个劳动力与每单位资本的成本分别为1

15、50元及250元, 该生产商的总预算是50000元, 问他该如何分配这笔钱用于雇佣劳动力及投入资本, 以使生产量目标函数约束条件 条件极值问题最高.练习43解作拉格朗日函数是实际问题,解得唯一驻点一定存在最值.故该制造商雇佣250个劳动力及投入50个单位资本时, 可获得最大产量.44设n个正数例4的和等于常数l,求它们乘积的最大值; 并证明这n个正数的几何平均值小于算术平均值, 即解作拉格朗日函数解方程组约束条件目标函数可得45是实际问题,唯一驻点一定存在最值.故n个正数乘积的最大值为由上面的讨论知, 对n个正数有上式两端开n次方, 并将代入, 得46练习解为简化计算, 令设(x, y, z)

16、是曲面上的点,它与已知点问题化为在下求f (x, y, z)的最小值.目标函数约束条件法一的距离为47设(1)(2)(3)(4)48是实际问题.故得唯一驻点还有别的简单方法吗?用几何法!d有最小值49练习解曲面上点(x, y, z)解得代入到曲面设(x, y, z)是曲面上的点,它与已知点法二的所得的向量为处的法向量为即得唯一点是实际问题.d有最小值50练习解为此作拉格朗日函数:上的最大值与最小值.在圆内的可能的极值点;在圆上的最大、最小值.51最大值为最小值为52多元函数极值的概念条件极值 拉格朗日乘子(数)法多元函数取得极值的必要条件、充分条件多元函数最值的概念三、小结(上述问题均可与一元函数类比)53思考题答不一定.二元函数 f (x, y)在点 P0(x0, y0)处有极值(不妨设为极小值),是指存在当点且P (x, y)沿任何曲线趋向于P0时,一元函数 f (x, y0)在点 x0处取得有极小值,表示动点且 P(x, y)沿直线 z = f (x, y)的极值点?若x0为f (x, y0)的极值点, 点(x0, y0)是否为 54并沿该直线(即沿平行于Ox轴的正负方向)趋向于P0(x0, y0)时,它们的关系是:f (x, y)在点(x0, y0)取得极大(小)值取得极大(小)值. f (x0, y)和f (x, y0)分别在 y0点和x0点55选择题已知函数