教学课件·数字信号处理(第四版)

1、第1章 时域离散信号和时域离散系统 2本章主要内容时域离散信号的基本概念及典型序列时域离散系统的定义及其性质模拟信号数字处理方法Matlab实现线性时不变系统的输入/输出 (n)求解法时域离散系统的输入输出法：线性常系数差分方程31.1引言信号的分类系统的分类4信号的分类时域连续信号（模拟信号）：信号的自变量和函数值都取连续值，例如语言信号、温度信号等；时域离散信号：如果自变量取离散值，而函数值取连续值，这种信号通常来源于对模拟信号的采样；数字信号：信号的自变量和函数值均取离散值。5采样间隔T=0.005s进行等间隔采样，得时域离散信号x(n)， = ， 0.0，0.6364，0.9，0.63

2、64，0.0，-0.6364，-0.9，-0.6364， 显然, 时域离散信号是时间离散化的模拟信号。如果用四位二进制数表示该时域离散信号，得到相应的数字信号xn=，0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111，1.101，数字信号是幅度、时间均离散化的模拟信号，或者说是幅度离散化的时域离散信号。 模拟信号6系统的分类模拟系统时域离散系统数字系统模拟网络和数字网络构成的混合系统71.2 时域离散信号 序列序列的定义及表示序列的基本运算常用的典型序列序列的周期性用单位脉冲序列表示任意序列81.2.1 序列的定义及表示序列的定义数字序列：离散时间信号 -2,

3、5, -6, 8, 3 ,-7一般只在均匀间隔的离散时间nT上给出数值 , x(-2T), X(-1T), X(0), X(T), X(2T),序列的表示用集合符号表示用公式表示用图形表示9序列表示 x(n) = x(n)， -n+n 代表nTnT 指均匀间隔的离散时间点T 采样时间间隔n 为非整数时没有定义，不能认为此时x(n)的值是零 用集合符号表示x(n) = ,x(-2),x(-1),x(0),x(1),x(2),.用公式表示10 序列表示用图形表示111.2.1 常用的典型序列单位脉冲序列单位阶跃序列矩形序列实指数序列 正弦序列 复指数序列 周期序列任意序列表示12单位脉冲序列(n)

4、只在n =0时取确定值1，其它均为零 (n)类似于(t)，注意二者的定义与区别(n-m)只有在n= m时取确定值1，而其余点取值均为零 13单位阶跃序列u(n)类似于u(t)u(t)在t= 0时常不定义u(n)在n= 0时为u(0)= 1 (n)和u(n)的关系：(n) = u(n)-u(n-1) 14矩形序列 N 为矩形序列的长度 和u(n)、(n)的关系 ：15实指数序列a为实数当|a|1时序列收敛当|a|1时序列发散 16正弦序列 A为幅度为数字域频率为起始相位 设 x(n)由x(t)= sint 取样得到 （A、 与频率无关 不考虑）x(n)= Asin(n+) =T =/fs ,与线

5、性关系, 的单位为 rad17复指数序列 为数字域频率用实部与虚部表示 用极坐标表示 只考虑频率令=0，序列频率呈现以2为周期的周期性 后续研究中频率域只考虑 或 就够了18 周期序列 对于序列x(n)，如果对所有n 存在一个最小的正整数N，对任意整数m满足x(n)= x(n+mN)则序列x(n)是周期序列 ，最小周期为N 。以正弦序列 为例讨论周期性 设 x(n)= Asin(n+) 则有 x(n+N) =Asin(n+N)+ =Asin(N+n+) 若满足条件N= 2k，则 x(n+N)= Asin(n+N)+ = Asin(n+) = x(n)19周期序列N、k 为整数，k 的取值满足条

6、件，且保证N 最小正整数。其周期为 2/为整数时，取k = 1，保证为最小正整数。此时为周期序列，周期为2/。 例1.4 序列 ，因为2/= 8，所以是一个周期序列，其周期N= 8。 20周期序列2/为有理数而非整数时，仍然是周期序列，周期大于2/。例1.5 序列 ，2/= 8/3是有理数，所以是周期序列，取k= 3，得到周期N= 8。 2/为无理数时，任何k 都不能使N 为正整数，这时正弦序列不是周期序列。 例 序列指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。 21 用单位脉冲序列表示任意序列 任何序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来表示，即x(n) 可看成是x(n)和(n)的卷

7、积和，式中例1.6 221.2.2 序列的基本运算和积移位标乘翻转累加差分时间尺度变换序列能量卷积和23基本运算序列的和 设序列为x(n)和y(n)，则序列 z(n)= x(n)+ y(n) 表示两个序列的和，定义为同序号的序列值逐项对应相加。24例：序列的和例： 设序列计算序列的和x(n)+ y(n)。解：25例：序列求和图示26基本运算序列的积 设序列为x(n)和y(n)，则序列 z(n)= x(n) y(n) 表示两个序列的积，定义为同序号的序列值逐项对应相乘。27例：序列的积例： 设序列计算序列的和x(n) y(n)。解：28例：序列求积图示x(n)29基本运算序列的移位 设序列为x(

8、n)，则序列 y(n)= x(n-m) 表示将序列x(n)进行移位。 m为正时x(n -m)：x(n)逐项依次延时(右移)m位x(n+m)：x(n)逐项依次超前(左移)m位 m为负时，则相反。30例：序列的移位例： 设序列计算序列的和x(n+1)。解：31例：序列移位图示x(n)32基本运算序列的标乘 设序列为x(n)，a为常数(a 0)，则序列 y(n)= ax(n) 表示将序列x(n)的标乘，定义为各序列值均乘以a，使新序列的幅度为原序列的a倍。33例：序列的标乘例： 设序列计算序列4x(n)。解：34基本运算序列的翻转 设序列为x(n)，则序列 y(n)= x(-n) 表示以n= 0的纵

9、轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。35例：序列的翻转例： 设序列计算序列x(-n)。解：36基本运算序列的累加 设序列为x(n)，则序列 定义为对x(n)的累加，表示将n 以前的所有x(n)值求和。37基本运算序列的差分前向差分：将序列先进行左移，再相减 x(n) = x(n+1)- x(n) 后向差分：将序列先进行右移，再相减 x(n) = x(n)- x(n-1) 由此，容易得出 x(n) = x(n-1)38基本运算时间尺度(比例)变换 设序列为x(n)，m为正整数，则序列 抽取序列 y(n)= x(mn) x(mn) 和x(n/m)定义为对x(n)的时间尺度变换。 插值序列 39插值序

10、列 x(n/m) ：对x(n)进行零值内插运算 表示在原序列x(n)相邻两点之间插入m-1个零值点 保留 x(0)40基本运算序列的能量 设序列为x(n)，则序列 定义为序列的能量，表示序列各取样值的平方之和； 若为复序列，取模值后再求平方和。411.3 时域离散系统 时域离散系统的定义及表示 线性时不变系统 线性时不变系统h(n)与I/O关系线性时不变系统的性质 系统的因果性和稳定性 42时域离散系统的定义及表示 时域离散系统定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的惟一变换或运算。以T 表示这种运算y(n)= Tx(n)对变换T 加以不同的约束条件，所定义的系统就具有不同的特性和功能

11、。线性时不变系统: 最重要、最常用，可表征许多物理过程。431.3.1、1.3.2 线性时不变系统 线性系统满足叠加原理叠加原理包含可加性和齐次性两方面性质 时不变系统系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关运算关系在整个运算过程中不随时间而变化 线性时不变系统 既满足叠加原理，又满足时不变性的系统 44 线性系统 设系统的输入序列与输出分别为可加性: 如果系统的输入之和与输出之和满足齐次性(或比例性): 设a为常数，系统的输入增大a倍，输出也增大a倍线性系统、非线性系统（不满足可加性与齐次性）45例：证明一个线性系统注意：必须证明系统同时满足可加性和齐次性，且信号及比例常数都可以是复数。例：

12、 试分析下列系统是否是线性系统 (1) y(n)= 2x(n)-3，(2) y(n)= x(Mn)，其中M为正整数。不满足叠加原理，非线性系统 满足叠加原理，线性系统 46时不变系统 输入序列x (n)移动任意m 位后，输出序列y (n)也移动m 位，数值却保持不变。 m 为任意常整数 时不变系统也称为移不变系统 47例：证明一个时不变系统例： 试分析下列系统的时不变性 (1) y(n)= 2x(n)-3，(2) y(n)= x(Mn)，其中M为正整数。二者相等，具有时不变性 时变系统 481.3.3 线性时不变系统h(n)与I/O关系 单位脉冲响应 (单位取样响应)h(n)=T (n)线性时

13、不变系统输入为(n)时的零状态响应 线性时不变系统特性都可以用它的单位脉冲响应h(n)来表征已知h(n) 可得到线性时不变系统对任意输入的输出 时域离散系统： 完全响应=零输入响应+零状态响应 49I/O关系推导 用(n)表示x(n)系统输出 叠加原理 时不变性 I/O关系: 线性时不变系统的输出等于输入序列和单位脉冲响应h(n)的卷积。 50 线性时不变系统的性质 交换律结合律分配律可以推广到多个系统的情况，由卷积和的定义可以很容易加以证明。 51 序列的卷积和 设序列为x(n)和z(n)，则序列 定义为x(n)和z(n)的卷积和。卷积和又称为离散卷积或线性卷积，是很重要的公式。 线性时不变

14、系统的I/O关系： 就是序列卷积和的运算 ！ 52卷积和计算的四个步骤 (1)翻转：x(m) ，x(m) x(-m) (2)移位：z(m) z(n-m) n为正数时，右移n位 n为负数时，左移n位 (3)相乘： x(m) z(n-m) ,（m值相同） (4)相加：y(n) =x(m)z(n-m)53对应点相乘！例：卷积和计算例 设序列求y(n)= x(n)*z(n) 。解： n0时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)=0。 0n4时，对应点相乘！54例：卷积和计算 4n6时， 6n10 时， n10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。 55 例： 已知x(n)=R4(

15、n), h(n)=R4(n), 求y(n)=x(n)*h(n)。 解计算卷积的基本运算是翻转、移位、相乘和相加。计算方法：图解法、解析法线性时不变系统的I/O求解56例1.3线性卷积首先将h(n)用h(m)表示，并将波形翻转，得到h(m)，然后将h(m)移位n， 得到h(nm)，n0 , 序列右移；n0，序列左移。如n=1，得到h(1-m)，接着将h(m)和h(nm)相乘后，再相加, 得到y(n)的一个值。对所有的n重复这种计算, 最后得到卷积结果，如图1.3.2(f)所示, y(n)表达式为y(n)=1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 图解法57表1.3图解法（列表法） 58 例：设x(

16、n)=anu (n) ，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。 解 关键：根据求和号内的两个信号乘积的非零值区间确定求和的上、下限。因为nm时，u(n-m)才能取非零值； 0m3时，R4(m)取非零值；所以，求和区间中m要同时满足下面两式： mn 0m3这样求和限与n有关系，必须将n进行分段然后计算。解析法59nn时，h(n)=0因而 n0时刻的输出 可见，y(n0)只与mn0时的x(m)有关，因而是因果系统。62因果条件证明证明 利用反证法证明必要条件假设因果系统，n0时h(n) 0，则 在所设条件下，第二个求和式中至少有一项不为零，y(n)将至少和mn时的某一个x(n)值有

17、关，这不符合因果性，假设不成立。63例：判断因果系统例： 判断差分系统的因果性。(1) 前向差分系统: y(n)= x(n+1)- x(n);(2) 后向差分系统: y(n)= x(n)- x(n-1) 。解 因为前向差分系统的y(n)决定于x(n+1)，故系统为非因果的。而后向差分系统定义为y(n)= x(n)- x(n-1)，显然是因果的。64稳定系统一般稳定系统定义 系统的每个有界输入，对应产生的输出都有界。如果输入满足|x(n)|M+(M为正常数)，有输出|y(n)|P+ (P为正常数) 。 判断系统不稳定 只要找出一个特别的有界输入，对应的输出是无界的，则该系统就是不稳定的。 判断系

18、统稳定 必须证明所有有界输入，其输出都是有界的。65稳定性的充分必要条件 线性时不变系统具有稳定性的充要条件是 其单位脉冲响应绝对可和，即证明 充分条件若式成立，对于所有n都有|x(n)|M，得 即输出y(n)有界，系统稳定。 66稳定条件证明证明 利用反证法证明必要条件假设系统稳定，但单位脉冲响应不绝对可和 定义一个有界输入计算输出，令n=0则有即y(0)无界，系统不稳定，因此假设不成立。 67例：判断稳定系统例： 判断累加器系统的稳定性解 考虑有界输入x(n)= u(n)，累加器的输出为 虽然n为有限值时，系统输出也为有限值，但对于所有n值(包括+)不存在有限值P，使得(n+1)P+，故系

19、统输出无界。系统不稳定 68例：判断因果稳定系统例： 已知线性时不变系统的单位脉冲响应解 因为n0时，u(-n-1)= 1，所以h(n) 0，故系统是非因果系统。 所以|a|1时系统稳定，|a|1时不稳定。 式中a为实常数，讨论其因果性和稳定性。 收敛序列：如|a|1时，h(n)模值随n加大而减小发散序列：如|a|1时，h(n)模值随n加大而加大因为1.4 时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程描述一个系统可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述系统的输出与输入之间的关系，这种描述法被称为输入输出描述法。微分方程 模拟系统差分方程 时域离散系统状态变量描述法线性时不变

20、系统 线性常系数差分方程Tx(n)y(n)时域离散系统用方程来描述两种不同的描述方法返回 1.4.1 线性常系数差分方程一个N阶线性常系数差分方程用下式描述：或 ， a0=1式中，x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出，系数ai和bi均为常系数，且x(n-i)和y(n-i)只有次幂，也没有相互交叉的线性相乘项，故称为线性常系数差分方程。1.4.2 线性常系数差分方程的求解已知系统的输入信号和描述系统的线性常系数差分方程，求解系统的输出一般有三种方法：经典解法: 和求解微分方程解法类似，齐次解特解递推解法：由初始值和输入值递推解出系统以后输出值Z变换解法：适合计算机求解递推解法： 观察上式，

21、如果已知输入信号x(n)，求n时刻的输出，需要知道输入信号x(n)，以及n时刻以前的N个输出信号值：y(n-1)，y(n-2)，y(n-3)，y(n-N)。这N个输出信号值就构成初始条件。可以看到，上式是一个递推方程。如果已知输入信号x(n)和N个初始条件，就可以求出n个时刻的输出；如果将这公式中的n用n+1代替，就可求出n+1时刻的输出，依此类推，可求出各个时刻的输出。线性常系数差分方程的递推解法73【例2.14】设系统用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述，输入序列x(n)=(n)，求输出序列y(n)。解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。递推法求差分方程 （1） 设

22、初始条件:（2） 设初始条件: 741.5 模拟信号数字处理方法75 1.5.1 采样定理及A/D变换式中(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零值，因此写成下式：76对 进行傅里叶变换，得到 式中，s=2/T，称为采样角频率，单位是rad/s77理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率s重复出现一次，或者说理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以s为周期，进行周期性延拓而成的。78 图1.5.3 采样信号的频谱 79 采样恢复80 采样恢复 图1.5.4 采样恢复 81 设xa(t)是带限信号，最高频率为c，其频谱Xa(j)如图1.5.3(a)所示。p

23、(t)的频谱P(j)如图1.5.3(b)所示，那么按照（1.5.5）式， 的频谱 如图 1.5.3(c)所示，图中原模拟信号的频谱称为基带频谱。如果满足s2c，或者用频率表示该式，即满足Fs2fc，基带谱与其它周期延拓形成的谱不重叠，如图1.5.3(c)所示情况，可以用理想低通滤波器G(j)从采样信号中不失真地提取原模拟信号，如图1.5.4所示。但如果选择采样频率太低，或者说信号最高截止频率过高，使Fs2fc, Xa(j)按照采样频率Fs周期延拓时，形成频谱混叠现象，用图1.5.3(d)表示。这种情况下，再用图 1.5.4 所示的理想低通滤波器对Xa(t)进行滤波，得到的是失真了的模拟信号。8

24、2折叠频率Fs/2 这里需要说明的是，一般频谱函数是复函数，相加应是复数相加，图1.5.3和图1.5.4仅是示意图。一般称Fs/2为折叠频率，只有当信号最高频率不超过Fs/2时，才不会产生频率混叠现象，否则超过Fs/2的频谱会折叠回来而形成混叠现象，因此频率混叠在Fs/2附近最严重。 83采样定理（1） 对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率s为周期进行周期性的延拓形成的，用公式（1.5.5）表示。（2） 设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为c，如果采样角频率s2c，那么让采样信号通过一个增益为T、 截止频率为s/2的理想低通滤波器，可以唯一

25、地恢复出原连续信号xa(t)。否则, s/T区域有较多的高频分量，表现在时域上，就是恢复出的模拟信号是台阶形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用，这也就是在图1.5.1模拟信号数字处理框中，最后加平滑滤波器的原因。虽然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真，但简单、易实现，是经常使用的方法。实际中，将解码器与零阶保持器集成在一起，就是工程上的D/AC器件。 98图 1.5.10零阶保持器的频率特性 991.6 Matlab实现常用序列的Matlab实现序列运算的Matlab实现Matlab求解离散系统的差分方程单位脉冲序列单位阶跃序列矩形序列实指数

26、序列 正弦序列 复指数序列 翻转序列的能量卷积和100单位脉冲序列(n-1) n = -3:3; % 生成位置向量x = (n-1) = 0; % 生成单个脉冲序列stem(n,x); axis(-3,3,0,1.5); % 标示坐标 101单位阶跃序列 u (n+1) n = -3:3; % 生成位置向量x = (n+1) = 0; % 生成阶跃序列stem(n,x);axis(-3,3,0,1.5); 102矩形序列生成函数function x,n = rectseq(n0,n1,n2,N)% 单位矩形序列生成函数% 调用方式 x,n = rectseq(n0,n1,n2,N)n = n0

27、:n2; % 生成位置向量x = (n-n1) = 0&(n1+N-1)-n) = 0; % 生成矩形脉冲序列103矩形序列 x,n = rectseq(-3,-1,4,5);stem(n,x);axis(-3,5,0,1.5); 104实指数序列 n = 0:10; % 生成位置向量x = (0.6).n; % 生成实指数序列stem(n,x); axis(0,10,0,1.5);105正弦序列 3sin(0.1n+/3) n = 0:1:20; % 生成位置向量x = 3*sin(0.1*pi*n+pi/3); % 生成正弦序列stem(n,x); axis(0,20,-4,4); 106

28、复指数序列 n = -2:10; x = exp(0.2-0.5j)*n); % 复指数序列subplot(1,2,1), stem(n,real(x); %用空心圆画点line(-5,10, 0,0); % 画横坐标subplot(1,2,2), stem(n,imag(x),filled); %用实心圆画点% line(-5,10, 0,0)107翻转: 调用fliplrn = -3:3; %生成一个序列 x = 0,0,1,0.5,0.25,0.125,0;stem(n,x);x = fliplr(x); %x排列次序左右翻转 n = -fliplr(n); %向量n对n= 0翻转 st

29、em(n,x); 108序列的能量 conj求共轭复数sum求总和 E = sum(x.*conj(x); abs求幅值sum求总和 E = sum(abs(x).2); 109卷积和：调用conv x = 3,-3,7,0,-1,5,2; % 序列x的非零区间-4n2h = 2,3,0,-5,2,1; % 序列x的非零区间-1n4% 调用conv计算卷积和 y = conv(x,h);运行结果：无位置信息y = 6 3 5 6 19 -31 30 18 -27 -1 9 2110卷积和函数：convextd.m function y,ny = convextd(x,nx,h,nh)% 序列y

30、为序列x和序列h的卷积% ny，nx，nh 分别为序列y，x和h的位置向量% 调用方式 y,ny = convextd(x,nx,h,nh)ny1 = nx(1)+nh(1); % 计算卷积后的起点位置ny_end = nx(end) + nh(end); % 计算卷积后的终点位置y = conv(x,h); % 计算卷积和序列的数值ny = ny1:ny_end; % 计算卷积和序列的位置向量111卷积和：包含位置向量 x = 3,-3,7,0,-1,5,2; nx = -4:2;% 给定输入序列h = 2,3,0,-5,2,1; nh = -1:4; % 给定脉冲响应序列y,ny = co

31、nvextd(x,nx,h,nh); % 带位置序列的卷积结果 运行结果：有位置信息y = 6 3 5 6 19 -31 30 18 -27 -1 9 2ny = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6112解差分方程 ：调用filter 函数的调用方式为 y = filter(b,a,x); 输入参数b、 a为差分方程的系数，b=b0， b1， ， bMa=a0， a1， ， aN 输入参数x是输入序列 求得的输出序列y和输入x的长度一样 系数a0必须不为零。113例：解差分方程例1.15 线性常系数差分方程y(n)-y(n-1)+0.75y(n-2)= x(n)，求输入x

32、(n)= (n)时系统的输出序列。(1) 求单位脉冲响应h(n) b= 1; a= 1,-1,0.75; x= impseq(-10,0,50); % 生成单位脉冲序列 h= filter(b,a,x); % 计算单位脉冲响应 n= -10:50;stem(n,h); % 脉冲响应曲线 axis(-10,50,-1,1.5) % 标出坐标 title(Impulse Response); xlabel(n); ylabel(h(n);114例：判断系统稳定 (2) 求得单位脉冲响应的和sum(abs(h); % 计算单位脉冲响应的和程序的运行结果为 ans = 6.1718绝对可和，说明系统是

33、稳定的。 第2章 时域离散信号 和系统的频域分析116本章主要内容序列的Z变换Z变换的主要性质序列的傅里叶变换傅里叶变换的主要性质利用Z变换解差分方程利用Z变换分析信号和系统的频率响应1172.1 引言信号与系统的分析方法:时域分析变换域分析（本课介绍频域分析）连续时间信号与系统 信号用时间 t的函数表示系统用微分方程描述离散时间信号与系统 信号用序列表示系统用差分方程描述118时域与频域分析 傅里叶变换 时间域 频率域(复频域 ) 拉普拉斯变换 推广离散时间傅里叶变换 时间域 频率域(复频域 ) Z变换推广连续时间信号与系统离散时间信号与系统1192.2 序列的傅里叶变换 序列傅里叶变换的定

34、义序列傅里叶变换的性质 周期序列的傅里叶级数表示周期序列的傅里叶变换 1202.2.1时域离散信号傅里叶变换的定义（2.2.1） FTx(n)存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和（2.2.2） （2.2.3） n 为离散域， 为连续域X(ej)的傅里叶反变换为序列x(n)的傅里叶变换定义为:121【例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解 （2.2.4） 当N=4时，其幅度与相位随频率的变化曲线如图2.2.1所示。 122图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线 1232.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质1 FT的周期性(2.2.5) 观察上式，得到傅里叶变换是

35、频率的周期函数，周期是2。由FT的周期性进一步分析得到，在=0和=2M附近的频谱分布应是相同的（M取整数），在=0，2, 4, 点上表示x(n)信号的直流分量；离开这些点愈远，其频率愈高，但又是以2为周期，那么最高的频率应是=。一般只分析【】之间或02范围的FT就够了。1242 线性(2.2.6) 式中, a，b是常数。 设 X1(ej)=FTx1(n), X2(ej)=FTx2(n), 那么1253时移与频移设X(ej)=FTx(n), 那么(2.2.7) (2.2.8) FTx(n-n0)=e-jwn0X(ejw)1264 FT的对称性共轭对称序列共轭反对称序列共轭对称与共轭反对称序列的表

36、示频域函数共轭对称与共轭反对称序列的表示实因果序列h(n)的对称性127 设序列xe(n)满足下式：（2.2.9） 则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示： 将上式两边n用n代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到： （2.2.10） （2.2.11） 两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。共轭对称序列128满足下式的序列称为共轭反对称序列： （2.2.12） 将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：可以得到：（2.2.13） （2.2.14） 即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。 共轭反对称序列1

37、29【例2.2.2】试分析x(n)=ejm的对称性。 解:因为x*(n)=ejn=x(n)满足(2.2.9)式，所以x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，则得到： x(n)=cosn+j sinn上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。130一般序列可用其共轭对称与共轭反对称分量之和表示，即 （2.2.15） 将（2.2.15）式中的n用n代替，再取共轭, 得到：（2.2.16） 利用（2.2.15）和（2.2.16）式，得到：（2.2.17） （2.2.18） 利用上面两式，可以用x(n)分别求出其xe(n)和xo(n)。 任意序列的共轭对称与共轭反对称分量131对于频域

38、函数X(ej)，也有和上面类似的概念和结论：X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) （2.2.19）Xe(ej)为共轭对称部分（函数），Xo(ej)共轭反对称部分（函数）它们满足：（2.2.20）（2.2.21）（2.2.22）（2.2.23）同样有下面公式成立：+Xe(ej)、Xo(ej)的表示， 连续域132 (1) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，即x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行傅里叶变换，得到: X(ejw)= Xe(ejw)+ Xo(ejw) 式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列。Xe(ej) 具有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；Xo(

39、ej) 具有共轭反对称性质，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。 最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性，虚部和j一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。 式中FT的共轭对成性133(2) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.24)将（2.2.17）和（2.2.18）式重写如下：因此（2.2.24）式的FT为（2.2.25） 将上面两式分别进行傅里叶变换，得到：134 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。因此实序列的FT是共轭对称函数, 其实部是偶函数，

40、虚部是奇函数，用公式表示为显然， 其模 ： 偶函数相位函数： 奇函数这和实模拟信号的FT有同样的结论。实因果序列h(n)的频谱的对称性135按照（2.2.17）和（2.2.18）式得到：因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可用下式表示： （2.2.26） （2.2.27） 实因果序列h(n)的对称性136实因果序列h(n)可以分别用he(n)和ho(n)表示为 （2.2.28） （2.2.29） 式中 （2.2.30） 因为h(n)是实序列，上面公式中he(n)是偶函数，ho(n)是奇函数。按照（2.2.28）式，实因果序列完全由其偶序列恢复，但按照（2.2.29）式，ho(n)中

41、缺少n=0点h(n)的信息。因此由ho(n)恢复h(n)时，要补充一点h(h)(n)信息。 实因果序列h(n)的对称性137实因果序列h(n)的 FT对称性总结共轭对称序列、函数共轭反对称序列、函数一般序列与共轭对称与共轭反对称序列的关系实因果序列h(n)（2.2.26） （2.2.27） 138【例2.2.3】x(n)=anu(n), 0a1。求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。解x(n)=xe(n)+xo(n)按（2.2.26）式，得到：139按（2.2.27）式，得到： x(n) 、xe(n)和xo(n)波形如图2.2.3所示。 图2.2.3例2.2.3图140 5 时域卷积定理设

42、y(n)=x(n)*h(n)则 Y(ej)=X(ej)H(ej) （2.2.31）证明令k=nm，则两序列卷积的FT服从相乘的关系（时域卷积，频域相乘）1416 频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n) 则(2.2.32) 证明(2.2.33) 交换积分与求和的次序：(2.2.34) 该定理表明，在时域两序列相乘，频域时服从卷积关系。 1427 帕斯维尔（Parseval）定理（2.2.35） 证明 帕斯维尔定理表明了信号时域的能量与频域的能量关系。143表2.2.1序列傅里叶变换的性质定理 1442.3 周期序列的傅里叶级数表示及其FT 周期序列定义：周期序列不是绝对可和的，狭义的FT不存在

43、周期序列的傅里叶级数表示ak: 傅里叶级数的系数基频序列: e1(n)k次谐波序列: ek(n)1452.3.1 周期序列的离散傅里叶级数离散傅里叶级数只有N个独立谐波分量: 且因为复指数序列是k的周期函数所以，周期序列: 只取k0到N-1的N个独立谐波分量足以表示原信号 146(2.3.6) (2.3.7) 周期序列离散傅里叶级数正变换 周期序列离散傅里叶级数反变换 周期序列的离散傅里叶级数147【例2.3.1】设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求DFS。解按照（2.3.6）式, 有其幅度特性如图2.3.1(b)所

44、示。 148图2.3.1例2.3.1图 2.3.2 周期序列的傅里叶变换 在模拟系统中， 的傅里叶变换是在 处的一个冲激，强度为2，即 对于时域离散系统中的复指数序列 ，仍假设它的傅里叶变换是在 处的一个冲激，强度为2，考虑到时域离散信号傅里叶变换的周期性，因此 的傅里叶变换应写为：假设 的周期为N，将它用傅里叶级数来表示，即上式的求和号中的每一项都是复指数序列，其中第K项即为第K次谐波 的傅里叶变换，根据其周期性能够表示为：周期序列 由N次谐波组成，因此它的傅里叶变换可以表示成式中，k=0,1,2,N-1, r=-3,-2,-1,0,1,2, 以N为周期，而r变化时，函数变化2r，因此如果让

45、k在(-,)变化，上式可以简化为上式就是一般周期序列的傅里叶变换表达式。一般周期序列的傅里叶变换表达式152例2.1：令 ， 为有理数，求其傅里叶变换。解: 将 用欧拉公式展开为由得余弦序列的傅里叶变换为上式表明，余弦信号的傅里叶变换是在 处的冲激函数，强度为，同时以2为周期进行周期性延拓，如下图所示。对于正弦序列 ， 为有理数，它的傅里叶变换为2.4 的FT与 的FT之间的关系155对上式进行傅里叶变换得到理想采样信号： 2.4 的FT与 的FT之间的关系156 对比时域离散信号x(n)的傅里叶变换：得到：并且在数值上 ，上式也可以表示成上面三个公式均表示时域离散信号的傅里叶变换和模拟信号傅

46、里叶变换之间的关系157 时域离散信号的频谱也是由模拟信号的频谱周期性延拓形成的，延拓周期是 ，因此由采样得到x(n)也要满足采样定理，否则也会产生频域混叠现象，频率混叠在 附近最严重，在数字域 ，则是在附近最严重。模拟频率与数字频率之间的定标关系：第2章 时域离散信号和系统的频域分析1592.5 序列的Z变换Z变换及其收敛域的定义几种序列的Z变换及其收敛域逆Z变换Z变换的性质和定理利用Z变换求解差分方程利用Z变换分析信号和系统的频响特性1602. 5.1 Z变换及其收敛域的定义 序列x(n)的Z变换定义双边Z变换单边Z变换 因果序列的Z变换:因果序列的单边Z变换与双边Z变换相同 Z平面: Z

47、变换定义式中z所在的复平面z是一个连续复变量，具有实部和虚部 变量z的极坐标形式 |z|= 1为单位圆： 161Z变换的收敛域根据级数理论，式(2.1)收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件，即收敛域: 对于给定的任意序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合组成的区域。 根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域 收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域 162 序列Z变换与序列傅里叶变换关系 单位园上的Z变换就是序列的傅里叶变换，但 z的收敛域必须包含单位圆 。 对比傅里叶变换定义式： 得到：163例: 求序列的Z变换 例2.5.3 求序列 的Z变

48、换。 解：序列x(n)是因果序列，根据Z变换的定义 分析收敛性：X(z)是无穷项幂级数。X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为 当|z|a时级数发散，当|z|a|时级数收敛。164例: 求序列的Z变换 例2.5.4 求序列 的Z变换。 解：序列x(n)是一个左序列, X(z)存在要求 1652.5.2 序列特性对收敛域的影响结论：Z变换相同，收敛域不同，对应的序列也不同 。序列的X(z)与其收敛域是一个不可分离的整体，求Z变换就要包含其收敛域。对比例2.5.3和例2.5.4结果：166有限长序列 有限长序列只在有限区间n1nn2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零 ： Z变换 收敛域

49、与n1、n2取值情况有关： 167例：求有限长序列的Z变换例2.5.2 求序列 的Z变换及收敛域。 讨论： X(z)有一个z= 1的极点，但也有一个z= 1的零点，所以零极点对消，X(z)在单位圆上收敛 。 收敛域为0|z|+。 解：根据Z变换的定义 168右边序列 右边序列只在有限区间nn1 内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零 Z变换 上式中第一项为有限长序列，收敛域为 ，第二项为因果序列，收敛域为 ，共有收敛域为 。169左边序列 左边序列只在有限区间nn2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零 Z变换 如果 ，z=0点收敛，但z=点不收敛，收敛域为 如果 ，收敛域为170双边

50、序列 双边序列指n从-到+都具有非零的有限值，可看成左边序列和右边序列之和 Z变换 讨论：X1(z) 收敛域为|z|Rx+；X2(z)收敛域为Rx-|z|。双边序列Z变换的收敛域是二者的公共部分。 如果满足Rx-Rx+ ，则X(z)的收敛域为环状区域，即Rx-|z|Rx+ ；如果满足Rx-Rx+，则X(z)无收敛域。 171例：求双边序列的Z变换例2.5.5 己知序列 ，a为实数，求其Z变换及其收敛域。 解：上式第一项收敛域为： 上式第一项收敛域为：如果如果 无公共收敛域， 不存在当 时，x(n) 和 的图形如右图所示1722.5.3 逆Z变换 逆Z变换: 由X(z)及其收敛域求序列x(n)的

51、变换求逆Z变换的方法:围线积分法(留数定理)部分分式展开法幂级数法(长除法)173序列的Z变换逆Z变换用留数定理求逆Z变换c是X(z)收敛域中一条包围原点的逆时针的闭合曲线用F(z)表示被积函数：F(z)=X(z)zn-1图2.5.3围线积分路径 174如果F(z)在围线c内的极点用zk表示，则根据留数定理有1、如果zk是单阶极点，则根据留数定理有2、如果zk是N阶极点，则根据留数定理有式中, ResF(z), zk表示被积函数F(z)在极点z=zk的留数，逆Z变换是围线c内所有的极点留数之和。逆Z变换对于N阶极点，需要求N1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，则可

52、以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和。175如果F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上的极点分成两部分：一部分c是内极点，设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个，用z2k表示。N=N1+N2。根据留数辅助定理，下式成立：成立的条件: F(z)的分母阶次应比分子阶次高二阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z), P(z)和Q(z)分别是M与N阶多项式。成立的条件是 NMn+12因此要求na, 求其逆Z变换x(n)。解分析F(z)的极点： 1、n0时，F(z)在c内只有1个极点：z1=a； 2、n0时， F(z)在c内只有2个极点：z1=a , z

53、2=0是一个n阶极点。 所以，应当分段计算x(n) n0 时，177 n0时，z=0是n阶极点，不易求留数。 采用留数辅助定理求解，先检查nN-M-1是否满足。 可以采用留数辅助定理求解，改求圆外极点留数，但对于F(z)，该例题中圆外没有极点。故na，根据前面分析的序列特性对收敛域的影响知道，x(n)一定是因果序列，这样n|a1|，对应的 x(n) 是因果序列（2） |z|a|，对应的 x(n)是左序列（3）|a|z|a1|: 这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，F(z)在c内有两个极点：z=a和z=a-1，因此最后表示成：x(n)=(ana-n)u(n)。 18

54、0（2） 收敛域为|z|a|:这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况。实际上，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和。n0时, 最后将x(n)表示成封闭式：x(n)=(a-nan)u(n1)181（3） 收敛域为|a|z|a1|:这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两种情况分别求x(n)。n0时，c内只有1个极点：z=a, x(n)=ResF(z), a=ann0时，c内极点有2个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a1， 因此x(n)=ResF(z), a1=

55、an最后将x(n)表示为 即 x(n)=a|n|182部分分式展开法 对于大多数单阶极点的X(z)，常用部分分式展开法求逆Z变换。方法：将有理分式X(z) ，展开成简单常用的部分分式之和，求各简单分式的逆Z变换，再相加 得到x(n)。假设 有N个一阶极点，可展成如下部分分式:183部分分式展开法 观察上式， /z在z=0的极点留数等于系数 ，在极点 的留数就是系数 。求出 系数后，查表2.5.1可求得序列x(n)184185最后得到 的原序列为：1862.5.4 Z变换的性质和定理 线性：满足叠加原理 Zax(n)+by(n) = aX(z)+bY(z)， R-|z|R+ (2.20) 例2.

56、12 求序列x(n) = u(n)- u(n-3)的Z变换。由于出现零极点抵消，收敛域增大了。由于x(n)是n0的有限长序列，收敛域是除|z|= 0之外的全部z平面。 187Z变换性质序列的移位：证明乘以指数序列 ：证明188Z变换性质序列的线性加权（乘以n的ZT） ：证明 5复共轭序列的ZT设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+ 189Z变换性质初值定理 初值定理 ：若x(n)是因果序列，即x(n)= 0，n0，则证明：x(n)是因果序列，有 显然 若x(n)是逆因果序列，即x(n)= 0，n0，有 190Z变换性质终值定理 终值定理 ：若x

57、(n)是因果序列，且X(z)的全部极点，除在z= 1处可以有一阶极点外，其余极点都在单位圆内，则 证明：由移位性质可得 x(n)是因果序列，则 有 191Z变换性质时域卷积定理 ：W(z)= Zx(n)*y(n)= X(z)Y(z)， R-|z|R+ 证明交换求和次序，并代入m= n-k得192【例2.5.9】已知网络的单位脉冲响应h(n)=anu(n)，|a|1, 网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解y(n)=h(n)*x(n)（1）直接求解线性卷积193（2） Z变换法由收敛域判定y(n)=0n0n0时，将y(n)表示为：1949 复卷积定理如果ZTx(n)=X(z

58、)Rx|z|Rx+ ZTy(n)=Y(z)Ry|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)则（2.5.24） W(z)的收敛域为RxRy|z|Rx+Ry+ (2.5.25)（2.5.24）式中平面上，被积函数的收敛域为Z变换性质195证明 由X(z)的收敛域和Y(z)的收敛域得到：因此 196【例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|, 若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)，0a1。 解 W(z)的收敛域为|a|z|；被积函数平面上的收敛域为max(|a|, 0)|min(|a1|, |z|)，平面上极点：a、a1，c内极点：z=a。 令则：19710 帕斯维尔（

59、Parseval）定理设X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+RxRy1那么（2.5.27） 平面上，c所在的收敛域为利用复卷积定理可以证明上面的重要的帕斯维尔定理Z变换性质1982.5.5 利用Z变换求解差分方程 N阶线性常系数差分方程 x(n)是系统的输入序列y(n)是系统的输出序列ak和bk均为常数y(nk)和x(nk)项只有一次幂，也没有相互交叉相乘项，（2.5.30）a0=1199N阶线性常系数差分方程的求解时域求解（递推解） Z变换移位性质 Z变换求解 差分方程代数方程Z变换式输出序列逆Z变换解方程2001求稳态解如果输入序列x(n)是在n=0

60、以前时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对（2.5.30）式求Z变换，得到：式中： X(z)2012 求暂态解对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0, n0，已知初始条件:y(1), y(2), , y(N)。设 （2.5.33） -(n-m)（2.5.30）202（2.5.34） 零状态解:上式第一部分(与系统初始状态无关)零输入解:上式第二部分(与输入信号无关)求零状态解时， 可用双边Z变换求解也可用单边Z变换求解，求零输入解却必须考虑初始条件，用单边Z变换求解。203Z变换求差分方程 例2.5.11 已知一个线性时不变系统的差分方程y(n)=