高三数学(文)函数y=f(x)对称性与周期性关系人教版知识精讲

1、11高三数学(文)函数 y=f(x) 对称性与周期性关系人教版本讲教育信息 】. 教学内容：函数 y f (x) 对称性与周期性关系【典型例题】1. 定义在 R上的函数 f(x)，若总有 f (a x) f (a x)成立，则函数 f (x) 的图象是关 于直线 x a成轴对称图形。反之，若函数 f (x) 的图象关于直线 x a 成轴对称图形，则 必有 f (a x) f (a x)推论，对于定义在 R上的函数，若有 f (a x) f (b x)，则 f (x) 图象关于直线 x a b 成轴对称图形，反之亦真。2证明：若对 x R，总有 f (a x) f (a x)，设点 (x0, f

2、(x0) ，在 y f (x)的图象 上，点 (x0, f (x0) 关于 x a的对称点 (2a x0, f (x0) ，由 f (x0) fa (a x0) fa (a x0) f (2a x0 ) ，则点 (2a x0, f (x0) 在函数 y f ( x)的图象上，由 x0 的 任意性知 f (x) 的图象关于直线 x a 对称，反之证明略。abxt2 a b a b推论，由 f(a x) f (b x)f (a b t) f (a b t)显然22 例 1 已知 f(x) x2 bx c，满足 f ( 1 x) f( 1 x) 且 f (0) 3，当 x 0时， 比较 f (bx)

3、 与 f (c x)的大小。解：由 f ( 1 x) f ( 1 x) 知 f(x) 关于 x 1对称，故 b 2，又由 f(0) 3知 c 3，则 f (x)在 ( , 1递减，在 1, )上递增。当 x 0时， 3x 2x 1 f (3x) f(2x)即 f(bx) f (cx)当 x 0时， 0 3x 2x 1 f (3x) f (2x)，即 f (bx) f (cx)例 2 函数 y f (x)的图象关于直线 x1对称，且x (0, )时 f (x)，则当xx ( , 2) 时， f(x) 的解析式为解： 依条件f(1 x) f (1 x)f(x)f(2 x) ，设 x ( ,2 (

4、,0)，x 2 (0,)故 f (x)f ( 2x)x11x2x23 若 f (x)sin2x acos2x 的图象关于直线x对称，则a8A. 2B.2C. 1D. 1解： 由 f(8x) f( 8x)得 sin 2( x8)acos2(x8)sin2(8x)a cos2(8 x)sin(42x)acos(2x)cos(42x)asin(42x)cos2( x8)asin2(x8)即 sin 2( x8)acos2(x8)cos2(x8)asin2(x8)acos 2( x8)sin2(x 8)cos 2( x8)sin 2(x8)x2) ，则例a1例 4 设 f(x) 对任意 x R，满足

5、f (3 x) f (3 x)且方程 f(x) 0恰有 6个不同的 实根，则此六个实根之和为 。A. 18 B. 12 C. 9 D. 0解： 依条件知 f (x) 图象关于直线 x 3对称，方程六个根必分布在对称轴x 3 两侧，且两两对应以( 3，0)点为对称中心，故 x1 x6 x2 x5 x3 x4 2 3 6 ，所以 x1 x2x6 3 6 18 ，选 A。例 5 设 f(x) 满足( 1) f (x) f (2 x) ，( 2)当 x 1时，f (x) 是增函数，定义域 x R，则下列不等式成立的是()A.f(0) f(log13 ) f arccos( 1)33B.1 f(log

6、3 31)f (0) f arccos( 1)C.1f(log 3 3)f arccos( 1) f (0)D.f arccos( 1)1 f (0) f (log 3 3)解：由条件知 f (x)图象关于直线 x 1成轴对称1f(0) f (2)， f(log 3 13) f( 2) f(4)又 f arccos( 1) f ( ) 及 x 1时 f (x) 递增 f(4) f( ) f (2) ，故选 C2. 对称性与周期性的关系( 1)若函数 y f (x)在 R上的图象关于两条直线 x a与 x b(b a)对称，则 f (x) 为 R 上的周期函数。( 2)若函数 y f (x)在

7、R上的图象关于直线 x a与点 (b,c) (b a )对称，则 f (x) 为 R上的周期函数。证：( 1)因 y f (x )图象关于 x a及 x b对称，则 f (x) f (2a x)，f(x) f(2b x)，故 f (x) f (2a x) f2b (2a x) f(2b 2a) x 得证(2)由 y f (x)图象关于 x a对称，有 f(x) f (2a x) 又由 y f ( x)图象关于点 (b,c) 对称，有 x x b， y y c x 2b x22 y f (2b x) ， 2c yf(2bx)，即 2cf (x)f(2b x)以 2a x 代 x 有 f (2a

8、x)f(2b2ax) 2c由和 f (x) f (2a x)2cf (2b2a x)以 2b 2a x 代 x 有 f(2b2a x)2cf (4b4ax)又由式 f (x) f4(b a) x 得证特别地，图象关于直线 x a (a 0)对称的偶函数必是周期函数推论，定义在 R上的函数 f(x)满足 f (a x) f(a x)(a 0)(1)当 f (x)为偶函数时， f(x)是以 2a为一个周期的周期函数。(2)当 f (x)为奇函数时， f(x)是以 4a为一个周期的周期函数。证：(1) f(x 2a) fa (a x) fa (a x) f ( x) f(x)(2) f (x 4a)

9、 fa (x 3a) fa (x 3a) f ( x 2a)f (x 2a) fa (x a) fa (x a)f ( x) f(x)f (x) ；例 1 已知定义在实数集 R上的函数 f(x)满足：(1)f( x) f(x)(；2)f(4 x)6, 4 时， f(x) 的解析式。3)当 x 0,2时， f (x)x2 1，求 x 解： 由( 1)( 2)知f (x 4) f(x) ，对任x 6, 4则 x 4 2,0 ，(x 4) 0,2 ，f (x)f (x 4) f (x 4) (x4)2 11) f (x) f(x)；(2)x)f(2 x) ；(3)当 x 0,2 时解析式y2x解：设

10、x 2,44x 0,2f (x)f2 (2x)f2 (2 x) f(4x)2(4 x)12x 7当 x 4, 2 时，x 2,4，则 f ( x)2x7当 x 2,0时，x0,2，则 f ( x)2x1又 f (x)为偶函数，知f ( x) f(x)例 2 已知定义在实数集R上的函数 f (x) 满足：f(2从而 f (x) 2x1，求 x 4,0 上的解析式。7,x 4, 2 2x 1,x 2,0另法：当 x 2,0时， x 0,2， f (x)f ( x)2( x)1 2x 1当x 4, 2时， x 4 0,2， f(x) f (x 4) 2(x 4) 1 2x 7 例 3 函数 f(x)

11、定义在 R上，且对一切 x R满足 f(2 x) f(2 x)，f (7 x) f(7 x)，设 f (0) 0，问方程 f (x) 0在区间 1000,1000中至少有几个 实根。解：依条件 2 (7 2) 10为函数 f (x) 的周期， x 4， x 10均为 f (x) 0的根， 因此在区间 (0,10 上至少有二个根 1000,1000 1000, 990 ( 990, 980 (990,1000由周期性可知 x1000也为 f (x) 0 的根990 1000所以方程 f(x) 0在区间 1000,1000 中至少有 2 990 1000 1 1 40110 例 4 若偶函数 f

12、(x) ，x R满足(1)图象关于直线 x a对称 (a 0) ，(2)在区间 0,a 上是减函数，求证 f (x)以 2a为最小正周期。证：依条件知 2a为函数 f (x) 的周期，假设函数 f (x) 还存在比 2a更小的周期 2b，0 2b 2a 且 f (x) f (x 2b) f(x 2a)令 x 2b ，则 f ( 2b) f (0) f (2a 2b)(1)若 0 2a 2b a，则 f (0) f(2a 2b)与 f (x) 在0,a 上是减函数矛盾(2)若 0 a 2a 2b，即0 2b a时， f (0) f ( 2b) f (2b)与 f (x) 在0,a 上是减函数矛盾

13、，所以 2a是 f (x) 的最小正周期。 例 5 已知 f ( x)是定义在实数集 R上的偶函数， g(x)是 R上的奇函数，又知(1)f (3) a ( a是常数)；( 2) g(x) f (x 1)试求 f (1999)的值。分析： 条件( 2)即 f ( 1 x) f ( 1 x)，即 f(x) 关于点 ( 1,0)对称又由 f (x) 是偶函数，故 f (x) 是以 4为周期的周期函数解：由条件( 2)知 f ( 1 x) f ( 1 x)，令 1 x t ，则 f (t) f ( 2 t)f （t 2） ，故 f（t 4）f （t 2） f （t） ，即 f （x） 为以 4为周期

14、的周期函数，又由1999 499 4 3，所以 f （1999） f （499 4 3） f（3） a【模拟试题】（答题时间： 50 分钟）一. 选择题（每小题 5 分，共 50 分）11. 函数 f （x） 2 的定义域为 A，函数 g（x）2 | x a| 的定义域为 B，若x2 3x 4A B ，则实数 a 的取值范围是（ ）A. 2a1B. 2 a 1C. 1 a2D. 1 a 22. 函数 ylog 0.5 ( x26x 5） 在区间（m,m 1） 上递减，则实数m 的取值范围是）A. 3,5B. 2,4C. 1,4D. 1,23. 已知 x,yR ，且 2x3y 2 y 3 x，则

15、 x,y 满足（）A. x y0B. x y 0C. x y 0D. xy04. 定义在 R上的奇函数 f （x） 为减函数，设 a b 0 ，给出下列不等式：（1）f (a) f ( a)0（2）f (b)f ( b)0（3）f (a)f(b)f(a)f ( b)（4）f (a)f(b)f(a)f ( b)其中正确的不等式序号是（）A. (1）（2）（4）B.（1）（4）C. (2）（4）D.（1）（3）5. 偶函数 f (x) loga | x b |在(0, )上单调递减， 则 f (b 2) 与 f(a 1) 的大小关系 为( )f(b 2) f(a 1)B. f(b 2) f(a 1

16、)C. f(b 2) f (a 1)D. 不能确定6. 已知定义域为 R的函数 f (x) 满足 a,b R 有 f(a b) f(a) f (b)，且 f (x) 0，1若 f (1) 2 ，则 f ( 2) ( )7. 已知定义在R 上的偶函数 f (x) 在区间 0,) 上为增函数，且f (1) 0 ，则不等式3f(log 1 x) 0 的解集为( )81A. (0,12)1B. (2, ) C. (0,2)(2, )1D. ( 12 ,1) (2, )8. 已知函数f(x) 是 R 上的偶函数，且满足f (x 1) f (x)1 ，当 x 1,2 时，11 A. 2 B. 4 C. D

17、.24f(x) 2 x ，则 f ( 2005.5) ( )A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 1.59. 函数 y f ( x)是( 0，2)上的增函数，函数 y f(x 2) 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.1)f(1f)1)f1)f10.设 f (x) 、g(x) 分 别 是 定 义 在R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 ，当x0时，f (x)g(x) f (x)g (x)0，且 g(3) 0 ，则不等式 f(x)g(x) 0的解集是(A. ( 3,0) (3, )( 3,0) (0,3)( , 3) (3, )( , 3) (0,3). 填空题(每小题 4 分，共

18、24 分)1 f (x) 满足 f(11.定义在 R 上的函数x)f(12x) 2，则 f (1)8f(82)f(78)12.已知函数 f(x)log2 x,(x3x,(x0)13.设 x 0， y 0 ，且 2x0)1，则 f (f (1)41212，那么函数 u log15(4x2 8xy1)的最大值是14. 已知 f (x) 为偶函数， g(x)为奇函数， 它们的定义域都为 , ，当 x 0, 时，它们的图象如下图，则不等式 f(x) 0的解集为g(x)15. 已知二次函数 f (x) 4x2 2(p 2)x 2p2 p 1 ，若在区间 一个实数 c，使 f(c) 0，则实数 p的取值范

19、围是。16. 设函数 f(x) x| x| bx c ，给出下列命题：( 1,1 内至少存在1)c0时， y f(x) 为奇函数2)b0 ， c0时，方程 f(x) 0只有一个实数根3)yf (x) 的图象关于点 (0,c) 对称4)方程f (x)0 至多两个实数根上述四个命题中所有正确的命题序号为三. 解答题(共 76 分)17. 已知集合 A x|B y| y1 cos2x2x 3 | 2 ，集合32a sin x,x A ，2其中 6 a，设全集I R， B A，求实数 a 的取值范围。18. 求函数2 sin x y3cosx 4的值域。(满分 12 分)cosx 219. 已知两个函

20、数f (x) 8x2 16x k(k R) ， g(x) 2x3 5x24x1)若 x 3,3 都有 f(x) g(x) 成立，求 k的取值范围；2)若 x1,x2 3,3 都有 f(x1) g(x2) 成立，求 k的取值范围。(满分 12分)20. 已知奇函数 f (x)a 2x a2x 12 (xR)(1)确定 a的值，并证明 f (x) 在 R上为增函数；1(2)若方程 f (x) t 在( ,0)上有解，证明 f (t) 0。(满分 12分) 3a21. 已知函数 f(x)满足 f (log a x) 2 (x x 1)，其中 a 0，且 a 1。a2 1( 1)对于函数 f (x)

21、，当 x ( 1,1) 时， f (1 m) f (1 m2 ) 0 ，求实数 m的取值 范围；(2)当 x ( ,2)时， f(x) 4的取值范围恰为 ( ,0)，求 a的取值范围。 (满分 14 分)28111271. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. B 7. C11. 7 12.113. 0 14.917.解： A：B： ycos2x 2a sin x2试题答案8. A 9. B 10. D( 3 ,0) (3, ) 15.( 3,3) 16. 232,x661 2sin 2 x 3 2asin x 22sin2x 2asinx 1设tsinx ，1 则 t 1,1y2

22、若a1，则 ymaxf(12)5624B1a2,5 aBA421f (t) t2 2at 1， t 2,12a ， yminf (a) 1 aa161 a2 a 16655a4621若1 a ，则 f(t) t2 2at 1在 ,1 上15 ymax f ( 2) 4 ayminf(1) 2 2a B 2 2a,5 a B A41a2 2a 1 a 1 综上所述： a ,1 6 12 6 12 55a4618. 解：22sin x 3cosx 4 cos x 3cosx 3 ycosx 2cosx 2定义域： R设tcosx2，则 t 3, 1且 cosx t 2(t222)2 3(t 2) 3 t 2 t 1 t(t1)t3, 1 ) 函数g(t)t 1t 在 t3, 1 上3,1 时， t10 130, 21,73 函数sin2 x 3cosxcosx 24 的值域为1,7319.解：g(x)2x35x2 4xg (x)6x210 x4 2(3x 2令g (x)0 得 x112， x2 3x3( 3,1)1y+05x 2)(21极大值11, 23)2(x 1)(3x2)23,3) 极小值f (x)8x216xk在 ( , 1)上，在 1, )上1) x 3,3都有 f (x) g(x)成立k 45f ( 3) g( 3)22 f ( )