二次函数的应用-同步练习(含解析)

1、第 页，总6页、单选题1 .如图，抛物线y ax结合图象分析下列结论:二次方程2cx二次函数的应用bx c a 0与x轴交于点abcbx a0 73a c 0；0的两根分别为Xi为方程a x3,0 ,其对称轴为直线x=-,2当x 0时，y随x的增大而增,2a b 4ac 八;0;4a3 x 23 0的两个根，则3且n 2,其中正确的结论有（A. 3个+ bx 3与x轴交于A2.抛物线B. 4个C. 5个D. 6个B两点，与y轴交于点C,且 OB=OC = 3OA,2x+3C.y= x2 - 2x - 4D.3.某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元,则平均每次降价的百分率

2、为（A. 20%;B. 40%;C.18%;D.36%.二、解答题4.三台县教育和体育局为帮助万福村李大爷精准脱贫”，在网上销售李大爷自己手工做的竹帘，其成本为每张40元，当售价为每张 80元时，每月可销售100张.为了吸引更多顾客，采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售 5张.设每张竹帘的售价为 x元（x为正整数），每月的销售量为 y张.（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为 w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）李大爷深感扶贫政策给自己带来的好处，为了回报社会，他决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为

3、了保证捐款后每月利润不低于4220元，求销售单价应该定在什么范围内？.某商场将进价40元一个的某种商品按 50元一个售出时，每月能卖出 500个.商场想 了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告.已知当这种商品每月的广告费用为m（千元）时，每月销售量将是原销售量的 p倍，且p =。削：+ 1m .试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！.有一辆宽为2m的货车（如图 ），要通过一条抛物线形隧道（如图 ）.为确保车辆安全通行，规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为0.5m .

4、已知隧道的跨度AB为8m ,拱高为4m .（1）若隧道为单车道，货车高为 3.2m,该货车能否安全通行？为什么？（2）若隧道为双车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高.围留.如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-5x+5与x轴、y轴分别交于A, C两点，抛 物线y=x2+bx+c经过A, C两点，与x轴交于另一点B.(1)求抛物线解析式及 B点坐标；(2) x2+bx+cw- 5x+5 的解集是 ；(3)若点M为抛物线上一动点，连接 MA、MB,当点M运动到某一位置时，ABM面积为4ABC的面积的4倍，求此时点 M的坐标.528.已知：二次函数为y x

5、x m,(1)写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标(2) m为何值时，顶点在 x轴上方；(3)若抛物线与y轴交于A,过A作ABx轴交抛物线于另一点 B ,当S aob 4时，求此二次函数的解析式.9 .如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽( AB)为4m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2m.当水面下降1m时，求水面的宽度增加了多少?10.如图，已知抛物线 yax2 bx 5经过A( 5,0), B( 4, 3)两点，与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD.(1)求该抛物线的表达式;(2)点P为该抛物线上一动点(与点 B、C不重合)，设点P的横坐标为t.当点P在直线BC的下方运

6、动时，求 PBC的面积的最大值；该抛物线上是否存在点 P,使得 PBCBCD若存在，求出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由.c经过A ( - 1点D为抛物线的顶点，连接0), B (3, 0)两点，交y轴于点C,BD,点H为BD的中点.请解答下列问题:(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)在y轴上找一点P,使PD+PH的值最小，则 PD+PH的最小值为 .如图，抛物线y ax2 bx c(a 0)与直线y x 1相交于A( 1,0), B(4, m)两点，且抛物线经过点 C(5,0)(1)求抛物线的解析式.(2)点P是抛物线上的一个动点 (不与点A点B重合)，过点P作直线PD x轴于

7、点D ,交直线 AB于点E .当PE 2ED时，求P点坐标；(3)如图所示，设抛物线与y轴交于点F ,在抛物线的第一象限内， 是否存在一点 Q,使得四边形OFQC的面积最大？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，说明理由. 2.如图，抛物线yi ax c的顶点为M，且抛物线与直线 y kx 1相交于A, B两点，且点A在x轴上，点B的坐标为(2,3)，连接AM,BM .(1)a , c , k (直接写出结果)；(2)当yi y2时，则x的取值范围为 (直接写出结果)；(3)在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P ,使得 ABP的面积最大？若存在，求出 ABP的最大面积及点 P坐标./ M.新

8、春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏.某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y(盒)与销售单价x (元)有如下关系：y=- 2x+320 (80WxW160.设这种电子鞭炮每天的销 售利润为w元.(1)求w与x之间的函数关系式；(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大 ?最大利润是多少 元？(3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快.那么销售单价应定为多少元？.某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成

9、本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量 y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.答案第 页，总19页参考答案1. C【解析】【分析】 利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断.【详解】21解：Q抛物线y ax bx c a 0与x轴交于点3,0 ,其对称轴为直线 x -221抛物线y ax bx c a0与x轴交于点3,0 和 2,0 ,且 a b由图象知：a 0, c 0, b 0abc 0故结论正确；Q抛物线y ax2 bx c a 0与x轴交于点3,09a b c

10、0Q a bc 6a3a c 3a 0故结论正确；1一 x 0时，y随x的增大而减小 21Q当x 一时，y随x的增大而增大；当2结论错误；Q cx2 bx a 0, c 0Q抛物线y ax2 bx c a 0与x轴交于点 3,0和2,0ax2 bx c 0的两根是 3和2c 2 b2.曰11x x 1 0 即为：-6x x 1 0,解得 x1- , x2 一；aa32故结论正确;口4ac b 八Q当x 5时，y 04a,2b 4ac o4a故结论正确；Q抛物线y ax2 bx c a 0与x轴交于点3,0和2,0 ,2y ax bx c x 3 x 2Q m, n m n为方程a x 3 x

11、23 0的两个根m, n m n为方程a x 3 x 23的两个根m, n m n为函数y x 3 x 2与直线y3的两个交点的横坐标结合图象得：m 3且n 2故结论成立；故选：C.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键在于二次函数的系数所表示的意义，以及与一元二次方程的关系，这是二次函数的重点知识.A【解析】【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求 OC得长，根据OB = OC = 3OA,进而求出OB、OA,得出点A、B坐标，再用待定系数法求出函数的关系式.【详解】解：在抛物线 y=ax2+bx- 3 中，当 x=0 时，y= - 3,点 C (0, - 3).OC = 3,.OB=OC=3

12、OA,.OB=3, OA=1,A (T, 0), B (3, 0)把 A ( - 1, 0), B (3, 0)代入抛物线 y=ax2+bx- 3 得：a - b _ 3=0, 9a+3b-3=0,解得：a= 1, b = - 2,抛物线的解析式为 y=x2-2x-3,故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；是一道二次函数综合题A【解析】【分析】可设降价的百分率为 x,第一次降价后的价格为 25 1 x ,第一次降价后的价格为225 1 x ,根据题意列方程求解即可 .【详解】解：设降价的百分率为 x2根据题意可列万程为 25 1 x 16解方程得xi , x2 (舍)55每次降

13、价得百分率为 20%故选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键.4.(1) y5x 500；(2)当降价10元时，每月获得最大利润为 4500元；(3)66 x 74.【解析】【分析】(1)根据 销售单价每降1元，则每月可多销售 5张”写出y与x的函数关系式即可；(2)根据题意，利用利润=每件的利润X数量即可得出 w关于x的表达式，再利用二次函数 的性质即可得到最大值；(3)先求出每月禾1J润为 4220元时对应的两个x值，再根据二次函数的图象和性质即可得出答案.【详解】(1)由题意可得：y 100 5 80 x整理得y 5x 50

14、0；(2)由题意，得：w x 40 5x 5005x2 700 x 2000025 x 704500a 5 0.w有最大值即当x 70时，w最大值=4500，应降价80 70 10 (元)答：当降价10元时，每月获得最大利润为 4500元；(3)由题意，得： 2 5 x 704500 4220 200解之，得：x1 66, x2 74,抛物线开口向下，对称轴为直线x 70 ,66 x 74 .【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质以及一元二次方程的解法是解题 的关键.5.方案二能获得更大的利润；理由见解析【解析】【分析】方案一：由利润=(实际售价-进价)施肖售量，列出函数

15、关系式，再用配方法求最大利润；方案二：由利润=(售价-进价)X500p-广告费用，列出函数关系式，再用配方法求最大利润.【详解】解：设涨价x元，利润为y元，则方案一:涨价x元时，该商品每一件利润为：50+X-40,销售量为：500-10 x, TOC o 1-5 h z 2_2 一 HYPERLINK l bookmark111 o Current Document y (50 x 40)(500 10 x)10 x400 x 500010(x 20)9000,.当 x=20 时，y 最大=9000,方案一的最大利润为 9000元；方案二：该商品售价利润为二(50-40) X500),广告费用

16、为：1000m元， HYPERLINK l bookmark58 o Current Document 22y 50 40 500p 1000m2000m2 9000m2000(m 2.25)2 10125,方案二的最大利润为 10125元； HYPERLINK l bookmark113 o Current Document 选择方案二能获彳#更大的利润.【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式，配方求出最大值(1)货车能安全通行，理由见解析；(2)最大安全限高为2.29米【解析】【分析】(1)根据跨度求出点 B的坐标，然后设抛物线顶点式形式y=ax2+4,然后把点B的坐

17、标代入求出a的值，即可得解；(2)根据车的宽度为2,求出x=2.2时的函数值，再根据限高求出货车的最大限制高度即可.【详解】(1)货车能安全通行.一隧道跨度为8米，隧道的顶端坐标为(O, 4),A、B关于y轴对称，OA=OB= AB= 8=4 ,22点B的坐标为(4,0),设抛物线顶点式形式 y=ax2+4,把点B坐标代入得，16a+4=0,解得a=-1 ,4所以，抛物线解析式为 y=-1 x2+4(-4wx$44由x 1可得，y 3.75.3.75 05 3.25 3.2,21154=2.79.一 一 11(2)当 x 2 0.2 一时, 52.79 0.5 2.29,，货车能够通行的最大安

18、全限高为2. 29米.答：货车能够通行的最大安全限高为2. 29米.本题考查了二次函数的应用，主要利用了二次函数的图象的对称性，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，比较简单.(1) (5, 0); (2) 0 xl； (3) (3, 4)或(3+2亚，4)或(3-272 , 4)【解析】【分析】(1)根据已知条件将 A点、C点代入抛物线即可求解；(2)观察直线在抛物线上方的部分，根据抛物线与直线的交点坐标即可求解;(3)先设动点M的坐标，再根据两个三角形的面积关系即可求解.【详解】(1)因为直线y=- 5x+5与x轴、y轴分别交于 A, C两点,所以当x = 0时，y=

19、5,所以C (0, 5)当 y=0 时，x=1,所以 A (1, 0)因为抛物线y = x2+bx+c经过A, C两点，所以 c= 5, 1+b+5 = 0,解得 b= - 6,所以抛物线解析式为 y=x2-6x+5.当 y=0 时，0=x26x+5.解得 xi = i, x2=5.所以B点坐标为(5,0).答：抛物线解析式为 y=x2-6x+5, B点坐标为(5, 0);(2)观察图象可知：x2+bx+c - 5x+5 的解集是 0 x4 X5= 8.55 2一,1 c所以x 4?|mr 6m+5|=82所以 |m2- 6m+5|= 4.所以 m2 6m+9 = 0 或 m2 6m+1 =

20、0解得 mi=m2=3 或 m=3虫 J2 .所以M点的坐标为(3, - 4)或(3+2 J2 , 4)或(3-272 , 4).答：此时点 M的坐标为(3, - 4)或(3+2 J2，4)或(3 - 2 J2 , 4).【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark165 o Current Document 11 4m 1, 、1(1)抛物线开口方向向上，对称轴为直线x , -, ; (2) m ；(3) HYPERLINK l bookmark167 o

21、Current Document 2244 HYPERLINK l bookmark115 o Current Document 22cy x x 8 或 y x x 8【解析】【分析】(1)根据二次函数的性质，即可判定其开口方向、对称轴以及顶点坐标;(2)令顶点坐标大于 0即可；AB ,再根据面积列出等式，即可得出 m的(3)首先得出点A坐标，然后利用对称性得出 值，即可得出二次函数解析式 .【详解】1 Qa 1 0,抛物线开口方向向上； TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 1对称轴为直线x 1 HYPERLINK

22、l bookmark242 o Current Document 1224 1gm 1 4m 14 144m 1顶点坐标为 -， HYPERLINK l bookmark163 o Current Document 4 4m1 (2)顶点在X轴上方时， 041斛得m 一4令 x 0,则 y m,所以，点A(0,m),Q AB /x轴，1Q点A B关于对称轴直线 x 对称，21AB - 2 1,2S AOB - m 142解得m 8.，二次函数解析式为 y x2 x 8或y x2 x 8.【点睛】此题主要考查二次函数的性质的综合应用，熟练掌握，即可解题9.水面宽度增加了 （ 2 76-4）米【解

23、析】【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案.【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB ,纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知。为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过 A, B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线 顶点C坐标为（0, 2）,设顶点式y=ax2+2,代入A点坐标（-2, 0）,得出：a= - 0.5,所以抛物线解析式为 y=- 0.5x2+2,当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y= - 1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y= - 1与抛物线相交的两点之

24、间的距离，可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：-1 = - 0.5x?+2,解得：x=76,所以水面宽度增加了（ 2而-4）米.【点睛】此题考查的是二次函数的应用，建立适当的坐标系，利用待定系数法求二次函数的解析式是解决此题的关键.27_(1) y x2 6x 5； (2)一；存在，P83 72, 4或。5).【解析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解;Spbc1 - PG Xc Xb ,即可求解；分点 2P在直线BC下方、上方两种情况,分别求解即可.解：(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:25a5b16a4b故抛物线的表达式为:2 cLGy x 6x 5,令y=0 ,

25、则x= 1或即点 C( 1,0)；b、c的坐标代入一次函数表达式并解得:将点BC于点G,直线BC的表达式为:y=x+1设点G(t,t+1),则点P t,t26tG1 MSVPBC- PG xC2Xbt2 6t2t2【分析】3 一 一，一 ，.5Q 0 ,SvPBC有取大彳，当t 时，其最大值为22设直线BP与CD交于点H,27一;8当点P在直线BC下方时,Q PBC BCD , 点H在BC的中垂线上， TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 53线段BC的中点坐标为一，一， HYPERLINK l bookmark147

26、o Current Document 22过该点与BC垂直的直线的k值为-1, 一 5 3代入上式并解得:设BC中垂线的表达式为：y= x+m,将点 一，一2 2直线BC中垂线的表达式为：y= x 4，同理直线CD的表达式为：y=2 x+2，联立并解得：x= 2,即点H( 2, 2), 1同理可得直线 BH的表达式为：y -x 1，23联立并斛得：x 一或4 (舍去4), 23 7故点P 一，一 ； 24当点P P在直线BC上方时，Q PBC BCD , BP / CD ,则直线BP的表达式为：y=2 x+s,将点B坐标代入上式并解得：s=5即直线BP的表达式为：y=2 x+5，联立并解得：x

27、=0或4 （舍去 4）,故点 P（0,5）； 3 7故点P的坐标为P -,-或（0,5）.2 4【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，熟练掌握计算法则是解题关键(1) yx2 2x 3, D (1, 4)； (2) PD+PH 最小值而【解析】【分析】（1）根据题意把已知两点的坐标代入，求出b、c的值，就可以确定抛物线的解析式，配方或用公式求出顶点坐标；H点关于y轴的对称点点H,（2）由题意根据B、D两点的坐标确定中点 H的坐标，作出连接H D与y轴交点即为P,求出H D即可.【详解】2解：(1) 抛物线 y x bx c过点 A (-1, 0), B (3, 0)b c= 0 b=2，解得

28、,3b c= 0c 3所求函数的解析式为：y x2 2x 3 ,化为顶点式为：y x2 2x 3 =- (x-1) 2+4,，顶点 D (1, 4);(2) B (3, 0), D (1, 4),，中点H的坐标为（2, 2）其关于y轴的对称点H坐标为（-2, 2）连接H D与y轴交于点P,研I K贝u pd+ph 最小且最小值为：J(1 2)2(42)2 J13.【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数的解析式和最短路径的问题，熟练掌握待定系数法是关键.25 35、12. (1) y x 4x 5; (2) P 点坐标为(2, 9)或(6,-7)； (3)存在点 Q ( 一 ,)2 4使得四边

29、形OFQC的面积最大，见解析.【解析】【分析】(1)先由点B在直线y x 1上求出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得；(2)可设出P点坐标，则可表示出 E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得 P点坐标；(3)作 QP x 轴于点 P ,设 Q(m , m2 4m 5)(m 0),知 PO m , PQ m2 4m 5 ,CP 5 m ,根据四边形OFQC的面积 Sa边形pqfo S pqc建立关于m的函数，再利用二次 函数的性质求解可得.【详解】解：(1)Q点B(4,m)在直线y x 1上，m 4 1 5,B(4,5),a b c 0a 1把A、B

30、、C三点坐标代入抛物线解析式可得16a 4b c 0,解得b 4 ,25a 5b c 0 c 5抛物线解析式为y x2 4x 5 ;(2)设 P(x, x则 PO m, PQ m 4m 5, CP 5 m, 4x 5),则 E(x,x 1), D(x,0), 22贝U PE | x 4x 5 (x 1)| | x 3x 4|, DE |x 1| ,Q PE 2ED ,2-| x 3x 4| 2|x 1| ,P与a重合不合题意,P与A重合不合题意,当x2 3x 4 2(x 1)时，解得x 1或x 2,但当x 1时，舍去，P(2,9);当x2 3x 42(x 1)时，解得x 1或x 6,但当x 1

31、时,舍去，P(6, 7)；综上可知P点坐标为(2,9)或(6, 7);(3)存在这样的点 Q,使得四边形OFQC的面积最大.如图，过点Q作QP x轴于点P ,2设 Q(m , m 4m 5)(m 0),四边形OFQC的面积 &边形 PQFO2m) ( m 4m 5) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark236 o Current Document 1,2(m 4m 5 5)gm (5 HYPERLINK l bookmark248 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark159 o Current Document 5

32、 22525-m m HYPERLINK l bookmark192 o Current Document 2225/e 5、-(m -)222 225可5 2255 35当m 5时，四边形OFQC的面积取得最大值，最大值为225，此时点Q的坐标为(2 , 丁). HYPERLINK l bookmark264 o Current Document 282 4【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质 及利用割补法列出四边形面积的函数关系式.一27 一 13、13. (1) 1, -1, 1； (2) 1 x 2； (3) S 最大值为一，点 P(

33、一,-).824【解析】【分析】(1)将B 23代入y2 kx 1求得k值，求得点A的坐标，再将 A、B的坐标代入2y ax c即可求得答案；(2)在图象上找出抛物线在直线下方自变量X的取值范围即可；2(3)设点P的坐标为X, x 1 ( 1 x 2),则点Q的坐标为 X, x 1 ,求得PQ的3127长，利用三角形面积公式得到SnABP-(x -)2 一，然后根据二次函数的性质即可解228决问题.【详解】(1) .直线 y2 kx 1 经过点 B 2,3 ,3 2k 1,解得：k 1,直线y2 x 1与x轴交于点A ,令y 0,则x 1,点a的坐标为1,0 ,2,一抛物线y1 ax c与直线

34、y2 x 1相父于A, B两点，4a ca解得：c故答案为:1,11;(2) .抛物线yi2x 1与直线y2x 1相交于A 102,3两点,观察图象，抛物线在直线下方时,x 2,当y1 y2时，则x的取值范围为:1 x 2,2),则点Q的坐标为x,故答案为：1x2;x 1于点Q,PQ x 1x2 111 一Sn ABP二 PQn2xbxaA SnABP 3(x 1)2122781当x 一时，n ABP的面积有最大值为 2278此时P点坐标为27，一，故答案为：面积有最大值为 一，P点坐标为8本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用数形结合的思想解决数学问题.(1) w=- 2x2+480 x- 25600； (2)销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元(3)销售单价应定为100元【解析】【分析】(1)用每件的利润 X 80乘以销售量即可得到每天的销售利润，即w x 80