绝对值不等式解法问题—7大类型专题

1、全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）绝对值不等式解法问题 一7大类型类型一:形如|/（工）| 的匠R）型不等式解法:根据*的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.1、 当时，|/W| Or /（x） 值 或,（工）,二一口2、当口 = 0卜淳，无解/卜. M使丁H。的解集3、 当口 C。时，（小口 ,无解y O使/二产成立的或的解集. TOC o 1-5 h z 例1不等式卜二小 2的解集为（）.B. 1 .C.D. -1解：因为卜-小；2 ,所以2.即克-x + 2 0 ，一累-2 0)型不等式解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：鼻5 以力 下 以3

2、0)。意 /(j) b或 _ , j | ,一需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：a 1 U) o /(z) b例2不等式的解集为()A. (。2b.(T0)U(2,4)C.D, - 一解：1 卜 + 1| 3 - 1 式 + 1 3 或-3* x + 1 -1a。;五丈2或-4 d -2 ,故选D类型三：形如|到其工)，|八|型不等式，这类不等式如 果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把自看成一个大于零的常数厘进行求解，即：|/to|/O-g父/ 式工),|/W| 二( O1/g。)或1/:一以外例3设函数/3=|21-1| +戈+3,若-Q5,则或的取值范围是

3、一解:/(z)5|2x-l|+x + 3x-2 一Q U-l - gl ,故填：-U.?; 1两式和类型四：形如卜（2|上出|型不等式解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：与两式差”的积的方法进行，即：/|二值（工）|。|讲直,（城/W2-gW3 0 0 ） + 冢刈，-双叫 0例4不等式|2“1|-卜-2| 。的解集为解：团一1卜卜一 2卜0 0 |2工 一1| |x- 2|0吐出-2=3一1/-J-2y 0O（2久-1） + （工- 2）（2t- 1）-仁- 2） 0O -1 工 1所以原不等式的解集为一， ）类型五：形如卜口卜型不等式解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解

4、,3（幻卜/，无解（工）| ）义工）=1/0例5解关于或的不等式白一1斗鼻A 11. +。JT- 1解:全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)- 1 + 4A-11 +。O1+4 z -1x-一二一 1X-1(D当口=0时，原不等式等价于：? 0 o JC 1 工1(2)当时，原不等式等价于： x 1 0 1 x 1aa(3)当0时，原不等式等价于：K-1 1-值综上所述当a = 0时，原不等式的解集为：峰 口时，原不等式的解集为：当值0时，原不等式的解集为：L1L?类型六：形如使卜-MT”同之c，k-懵l+k-刘庄白恒成立型不等式.解法：利用和差关系式:工K3修（小为常州|l/w|-|s

5、wl“,b鼠切二斑，+b（璋 I |/s）|十|g | 为常薮）|/W|+|gW|W , I/l + |g上河幻1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段 法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号， 最后把各种情况综合得出 答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解 .例7解不等式|2H一小二N+1分析：找出零点：- - 1确定分段区间：.解：(1)当无cO时，原不等式可化为：-2五+1一元+1解得：五3。因为了0,所以或不存在(2)当0工天时，原不等式可化为：-2兀+1。+1

6、解得：又0又因为所以工一(3)当汗兰;时，原不等式可化为：力-1。+ 1 ,解得：五2又所以1X2综上所述，原不等式的解集为：(印工”2、特别地，对于形如|/()| + |gW| % |/()| + |g()| 小为常数)|/3)|+|纲|35) , |/(工)| + |双力卜双工)型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：|/w|+kw|-十冢刈七也J/WgWl ”|/(x)| + |gW|W|/W + g 刈一幻或卜-g卜小全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)例8设函数/=卜-1| +卜-4(1)若1 ,解不等式ySR3(2)如果日工丁我J皂2,求工的范围解：(

7、1)当皂二t时，由23得：/二卜-1| +卜+1|岂3即：卜-1)+6+1)=3| 或 kli”解得：|2布3 ,即：x|L-a-故不等式*3的解集为：f3 . 31I2 2j(2)由丁之2得：卜一+ A - d| 2即：卜-1) + 卜4之2 或 |(r-l)-(x-a)| 2即：2A-(a + l)| 2 或隹 2因为如之2恒成立，来自QQ群339444963全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)所以卜-壮2成立，解得：厘工-1或23故门的取值范围为：(-0-1曲+00)绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思 想将其进行等价变换，从而避免了繁琐的讨论，减小了运算量，以上

8、 所介绍的七种类型的含有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考 中有关的题目，当然方法可能并不为一，在解决此类问题的时候很多 人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理，这其实也体现了数学形式 多样化的统一美.方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解 题的工具，如果我们仅仅是停留在最求方法的多样化而忽略了数学的 本质思想，那么就有点得不偿失了 .数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考 和数学竞赛中都占有十分重要的地位， 数列求和问题是数列的基本内 容之一，也是高考命题的热点和重点。由于数列求和问题题型多样， 技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和

9、问题的常见解题策略作一归纳，供广大师生参考。1、公式法求和若所给数列的通项是关于n的多项式，此时可采用公式法求和， 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法之一。全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)常用求和公式列举如下： 等差数列求和公式：与=应竺也二叫十及K ,I叫勾=1)为/一(#1)1-寸 1 一寸自然数的方哥和：E k3=13+23+33+n3= 7 n2 (n+1)2, E k=1+2+3+n= ；n(n+1),蓄 k2=12+22+32+n2= * n(n+1)(2 n+ 1)例1已知数列%,其中4i =1f= 3,2% =嗫+4_ 5之2),记数列4的前年项和

10、为& ,数列口喀的前弱项和为外 ,求区。解：由题意，趣是首项为1 ,公差为2的等差数列前咫项和耳八十：I 福=刃,所用二1力/二21n足1*2 (in 1 + ln 2 Hi-ln 靖)=幻口 (4)2、错位相减法求和若数歹U R的通项公式为% =3 其中瓦，瓦)中有一个是等 差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组 成这个数列的等比数列的公比q,然后再将得到的新和式和原和式相 减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。它在 推导等比数列的前n项和公式时曾用到的方法。例2已知 ”4+4生+的+4 (甩毛犷,曰0石)0)当4=万时，求数列8 J的前n项和名；解：

11、当值二上时，4=5 + ”.由题可知，5+。力的通项是等全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）差数列十1的通项与等比数列1的通项之积，这时数列 也J的前 制项和二勿+4?+用值”+（用+ 1）仃.式两边同乘以覆,得 叫二2口、如+ 3”+5”产式减去式，得（1 -砂3=2口 + /+/hd-S+lW+1厘芒,（1 - Q）g# = -1）CJH+1 4- d ,1 1口S .1_小）I g二（2+火二 . + 1曰.】1/ + 2白% = 0-3 +（1 - a）1若q 二二，_.+ -,+，- +.一 二3、反序相加法求和将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以 得到n个

12、出+%）, Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn 表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。也称倒写相加法，这是在推导等差数列的前n项和公式时曾用到的方法.例3设73 =正%，利用课本中推导等差数列的前曰项和的公式 的方法，可求得付的值为： 12解：因为f(x)=小区,.f(1 X)=1_显,反十2,小巴2二更 7z + zff 27一 +点 2 +应2，正+2 - f ( x ) +f (1 x )设 S=f (-5) +f (-4) + +f (6),贝u S=f (6) +f (5) + +f (全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)/.

13、 2S= (f (6) +f ( 5) + (f (5) +f ( 4) + (f (-5) +f (6) 二6 .S=f (-5) +f ( 4) + +f (0) + +f (6) =3,1.4、拆项重组求和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列 适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开 后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和. 也称分组求和 法.例4求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设纯陟+1)(2* + 1) = 2必431+曲与二Z+!X2f 1)=工(弼 +3后、町 UJt-l将其每一项拆开再重新组合得：LJJU1=2(1

14、3 + + +)+3(13+23+ - + a)+(l+2+ + 用产5 十川,(ffl+D(2w+l),时+1)1222同5十1尸S+2) 25、裂项相消法求和有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形， 将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数， 从而经过逐项 相互抵消仅剩下有限项，可得出前 用项和公式.这是分解与组合思想 在数列求和中的具体应用，也称为分裂通项法。它适用于型（其中%是各项不为0的等差数列，c为常数）、部分无理数列、 含阶乘的数列等。常见拆项公式有：% =

15、丁(月+1)-/5);1= iM. _J1_L .37X2/1) 刀如-1如疝，总+ )照 武,岛T=一向 TOC o 1-5 h z (2月r 1,11 .沏1* 川口二-r = + -(-二)： =tan( + l) - tan (2祥一l)(Nw + D 2 2w- 1 2期+ 1 cosw 00式毒+1)1 lr 11-%=-1 笺前廿-1) + 2) 2 双理+1) S + DS+Z)中例5设数列(/)的前内项的和工=：盘-；k2l + |，总= 1,23，令1 = j ,用=LN&，求?男解：由题意得：厘4”?(其中n为正整数)S = itr - 1x2 +- = i(4B -2f

16、ti-x2*+1+用 3 局 332( 333”2B _ 32_3 311所以： 西=5乂1一次一p。i.l / - l Z - 16、并项求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性 质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 和用。例6设数歹U M 的首项为4=1,前日项和国满足关系式：全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）&工-京3溜豆田5a7 = 234）设数列即 的公比为了I，作数列仇）使瓦=1,4 =/（4）, 5 = 234,7 ,求和：bib2b2b3+b3b4b4b5+b2n %.Lb2n b2nb2n+1 .解:由题意知ai为等比数列，

17、得量=（等严，故/彳嫉芋）9/2 + 1岑4故：以二下一，可知b2n-1和b2n是首项分别为1和，公差均为专的等差数列。于是 b1 b2 b2b3+b3b4 b4b5 + b2n 1b2n b2nb2n+1=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+b6(b5-by)+b2n82n 1 + b2n+1)4 41，%+ 1= (b2 + b4+, +b2n) = + -(2n2+3n)7、累加法给出数列S的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为品=型，可以考虑利用累加法求和，此法也叫叠加法。例7数列,的前内项和为工，已知鼻1=；鸟K&-厚（照-1），题=12，求& UI解：由-1）5之2）得:凡

18、=1区一邑_1）-器（照-1）,即地-号山-1）,二四一7MB-1=1,对理22成立。 1由手斗一号国-尸1 ，含%言1 ,（5厂;工二1累力口得:全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）9已泣-箔=川-1 ,又W二叼二;，所以斗二上-,当也=1时，也成立再2题+18多法并取求和根据数列的结构及特征进行分析， 找出数列的通项及其特征，然 后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n项和，它通常集分组、 裂项、公式求和于一体，是一个解决综合性数列求和的重要途径 . TOC o 1-5 h z g2例8已知数列 同:.+ 1）丁田求平+ D一叫）的值.解:+ 1)(B 4x+p-3恒成 立，求x

19、的取值范围.全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)分析：习惯上把X当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当poa时y0恒成立，求x的范围.解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的.若把 x 与p两个量互换一下角色，即P视为变量，x为常量，则上述问题可 转化为在0,4内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,当x=1时显然不满足题意.由题设知当 0MpM 4 时 f(p)0 恒成立，.f(0)0,f(4)0 即 x2-4x+30 且 x2-10,解得x3或x3或x口，则原不等式等价变形为2例9里

20、34恒成立.根据边界原理知，2中必须小于* 的最小值，这样问题化归为怎8常日十2样求温的最小值因为cos3 3(cos(?+2J3 -4(cosS + 2)+4全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)Acos e + 2+-*44 4 = 0COE 5 十 2即二口36二。时，有最小值为0,故5C。.评析：一般地，分离变量后有下列几种情形：f(x) g(k f(x)min g(k) f(x) g(k) = g(k) f(x) minf(x) wg(k) f(x) max g(k) f(x)g(k) = f(x) max g(k)三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明

21、显， 我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的.例3.设若不等式卡(-4二埒+ 值恒成立,求a的 取值范围.分析与解：若设函数月=式1),则 (a2)、出三401“)，其图象为上半圆.设函数h二91+ 1-口，其图象为直线.在同一坐标系内作出函数图象如图， 依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心(-2)到直线4元一为+3-3曰二口的距离二卜“ + ：知=2且时成立,即a的取四、分类讨论全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时， 应用分类 讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因 素，为问题的解决提供新的条件。例4 .当X E

22、 2同时，不等式log皿恒成立，求a的取值范围.解：（1）当2d 时，由题设知可；I恒成立,即丁!11工曲.而主己2,8 - 工恒成立，即丁八咏，而工诬解彳“g厂争衅乱会的取值范围 是偿E（一狙一DU.把）U（立上）U。*）. TOC o 1-5 h z 422 4五、利用判别式当问题可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解.2工，44-2例5.不等式一一 1,对一切1恒成立，求实数溺的取值 4工+ 3范围.3 二解：.4/+&+3=如+ 5尸+丁0在R上恒成立，U-B.2/+2班工十* T C 0H 3 r. _7. 门二 I .；： 一- 广工一4/ +6工+3J 一

23、.，支三 R,A=(6-2rn -43-用)0,解得 1c总汇3全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)故实数喇的取值范围是13 .一般地二次函数 f(x)=ax2+bx+c 恒正=,f(x)=ax2+bx+c 恒负/许(。7 + |,解之得1C .二实数厘的取值范围是1s + D 2 2n- 1 2用+ 1二。营库 8式胃+1）1 1 1 1 & = - 1 笺双廿-DS+2） 2 玳月+1） g+i）*+z）中例5设数列（的前8项的和工二：-92皿+ | ,超二1,23，令I ,浦=12殳，求西解：由题意得：厘广4”/（其中n为正整数）内 3H 333 33 32B _ 32_3 全国名

24、校高考数学复习优质专题汇编(附详解)311所以： 力 Z =一西i-j.l d d L Z 16、并项求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性 质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 和扁。例6设数歹U W的首项为/ =1 ,前4项和国满足关系式：2-4 3温广义234)设数歹U4的公比为了I，作数列(%)使4=4)，仍二 ，求和：bib2b2b3+b3b4b4b5+b2n4-Llb2n b2nb2n+1.解:由题意知 M为等比数列，得% 二(等严，故外)二孤芋)2? + 154故：bn = ，可知b2n-1和b2n是首项分别为1和,公差均为耳 的等差

25、数列。于是 bi b2 b2b3+ b3b4 b4b5 + b2n ib2n b2nb2n+1=b2 (b1-b3)+b4 (b3-b5)+b6 (b5-by) + Tb2n (b2n 1 + b2n+1)4 5=J (b2 + b4+ , +b2n) = - ( + 31=-1 (2n2+3n)7、累加法给出数列S“的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为SX二型，可以考虑利用累加法求和，此法也叫叠加法全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）例7数列4的前用项和为国，已知思，一川理一1）小二12，求区解：由& =/% -将（用-1）（第之2）得：4 =理用一应T）一题（用一 1），司马=

26、1 ,对22成立。由田耳盟山邑-2区=制-1,又与二为二;，所以用二 1r 町.况1 = 1/-氏竺113二1川一1 n-232.1,，*泮1累加得:,当心=1时，也成立盟+18多法并取求和根据数列的结构及特征进行分析， 找出数列的通项及其特征，然 后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n项和，它通常集分组、裂项、公式求和于一体，是一个解决综合性数列求和的重要途径2例8已知数列an:八，莅S + D（% -诙G的值. 5+ M1解：: 5 + 以%皿)=83+1)(胃+1)仍+3) 5+2)(%+ 4)=3 1 | 1( + 2)(w -F4)养+ 3)(落 + 4) TOC o 1-5

27、h z 11 、 11 、4 (- ) + 8(-)连十2月十4 五十3 月十4卬w 11115伽. 1欢-小）牛 -/）+噌（丸.市）我们熟知平均值不等式:全国名校高考数学复习优质专题汇编(附详解)参数范围问题一常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型.近年来在各地的模拟试题 以及高考试题中更是屡屡出现.学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法.一、确定主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量， 另一个看作常量.例1.对于满足0MpM4的一切实数P ,不等式x2+px4x+p-3恒成 立，求x的取值范围.分析：习惯上把

28、x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问 题转化为当poa时y0恒成立，求x的范围.解决这个问题需要 应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的.若把 x 与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可 转化为在0,4内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,当x=1时显然不满足题意.由题设知当 0MpM 4 时 f(p)0 恒成立，.f(0)0,f(4)0 即 x2-4x+30 且 x2-10,解得x3或x3或xo,则原不等式等价变形为 又 之不恒成立.亡3日十2根据边界原理知,必须小于鬲的最小值，这样问题化归为怎样求温的最小值.因为晶凸自白 + 2) +4cos 6 + 2Ach g + 2+-4 4 = 0csS 十2即叱日二。时，有最小值为0,故5co.评析：一般地，分离变量后有下列几种情形：f(x) g(kF f(x)min g(k) f(x) g(k) = g(k) f(x) minf(x) wg(k尸f(x) max g(k) f(x)g(k) = f(x) max g(k)三