高考一轮复习通用版 二项式定理 学案

1、第三节二项式定理最新考纲会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题考向预测考情分析：二项式定理的正用和逆用、二项式系数的性质与各项的和，尤其是二项展开式的通项公式的应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题学科素养：通过二项式定理的应用考查数学运算的核心素养积 累 必备知识基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1二项式定理二项式定理(ab)n_(nN*)二项展开式的通项公式Tr1_，它表示第_项二项式系数二项展开式中各项的系数为Cn0 ，Cn1 ，Cnn2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即_增减性二项式系数Cnr当r_(nN*)时，是递增的

2、当r_(nN*)时，是递减的最大值当n为偶数时，中间的一项Cnn2取得最大值当n为奇数时，中间的两项_和_取得最大值各二项式系数和Cn0+Cn1 +Cn2Cnn_二、必明2个常用结论1(ab)n的展开式的三个重要特征(1)项数：项数为n1.(2)各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数和为n.(3)顺序：字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到n.2各二项式系数的和(1)(ab)n的展开式的各个二项式系数和等于2n，即Cn0+Cn1+Cn2 +Cnn2n.(2)(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于

3、偶数项的二项式系数的和，都等于2n1，即Cn0+Cn2+Cn4Cn1+Cn3 +Cn52n1.三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Cnranrbr是(ab)n的展开式中的第r项()(2)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不一定相同()(二)教材改编2选修23P41B组T1改编若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为_3选修23P40A组T8改编(x+12x)8的展

4、开式中常数项为_，是第_项(三)易错易混4(混淆“二项式系数”与“系数”)在二项式x2-2xn的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_5(配凑不当致误)(x1)5(x2)的展开式中x2的系数为_(四)走进高考62021浙江卷已知多项式(x1)3(x1)4x4a1x3a2x2a3xa4，则a1_，a2a3a4_提 升 关键能力考点突破掌握类题通法考点一二项展开式中的项基础性、应用性角度1求解形如(ab)n(aN*)的展开式中与特定项相关的量例1(1)2022四川成都模拟若(x-1x2)n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是()A3B4C5D6(2)2022云南大理联

5、考已知二项式(2x1x)n(nN*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是25，则x3的系数为()A14 B14 C240 D240听课笔记：反思感悟求形如(ab)n(nN*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr1Cnranrbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；(3)把r代入通项公式中，即可求出Tr1.有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr1或者其他量角度2求解形如(ab)m(cd)n(m，

6、nN*)的展开式中与特定项相关的量例2(1)(xy2x)(xy)5的展开式中x3y3的系数为()A5 B10 C15 D20(2)2022扬州市适应性练习(2x)(12x)5的展开式中含x2项的系数为()A70 B30 C150 D90听课笔记：反思感悟求形如(ab)m(cd)n(m，nN*)的展开式中与特定项相关的量的步骤(1)根据二项式定理把(ab)m与(cd)n分别展开，并写出其通项公式；(2)根据特定项的次数，分析特定项可由(ab)m与(cd)n的展开式中的哪些项相乘得到；(3)把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.角度3求解形如(abc)n(nN*)的展开式中与特定项相关的量例

7、3(1)2022四川成都月考(x1x21)4的展开式中的常数项为()A11 B11 C8 D7(2)2022山东五校调研在(x22x3)4的展开式中，含x6的项的系数是_听课笔记：反思感悟求形如(abc)n(nN*)的展开式中与特定项相关的量的步骤(1)把三项的和abc看成是(ab)与c两项的和；(2)根据二项式定理写出(ab)cn的展开式的通项；(3)对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(ab)nr的展开式中的哪些项和cr相乘得到的；(4)把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量【对点训练】1(2x-x)5的展开式中x的系数为()A10 B10 C40 D402(x1x)(x22)5展开

8、式中x5项的系数是()A.120 B80 C40 D203在(1x+1x10)8展开式中，含x2项的系数为_(结果用数值表示)考点二二项展开式中的系数和基础性 例4(1)2022眉山市模拟已知(2x)2021a0a1(x1)a2(x1)2a2021(x1)2021，则a1a2a2021()A240421 B220211C22021 D220211(2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_听课笔记：一题多变(变条件)若例4(2)变为“(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9”，其它不变，则实数m的

9、值为_反思感悟赋值法求系数和的应用技巧(1)“赋值法”对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为a0a2a4f1+f-12，奇次项系数之和为a1a3a5f1-f-12.令x0，可得a0f(0)【对点训练】已知(12x)2021a0a1xa2x2a2021x2021，下列命题中，不正确的是()A展开式中所有项的二项式系数的和为22021B.展开式中

10、所有奇次项系数的和为32021+12C展开式中所有偶次项系数的和为32021-12Da12+a222+a323a2021220211考点三二项式系数的最值问题综合性角度1二项式系数的最值问题例5(1)2022南昌模拟设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m()A5B6C7D8(2)2022陕西咸阳质检二项式(3x13x)n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A3 B5 C6 D7听课笔记：反思感悟二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第n21项的二项式系数最

11、大，最大值为Cnn2；当n为奇数时，展开式中第n+12项和第n+32项的二项式系数最大，最大值为Cnn-12或Cnn+12.角度2项的系数的最值问题例6(1)若(x31x2)n的展开式中第6项系数最大，则不含x的项为()A210 B10 C462 D252(2)(12x)7展开式中系数最大项是_听课笔记：反思感悟 二项展开式系数最大项的求法(a+bx)n (a，bR)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1 ，A2 ，An+1 ，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得【对点训练】已知(x233x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求

12、展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项微专题38二项式定理与一些知识的交汇 交汇创新 例设f(x)是(x212x)6展开式中的中间项，若f(x)mx在区间22，2上恒成立，则实数m的取值范围是_解析：(x212x)6的展开式中的中间项为第四项，即f(x)C63(x2)3(12x)352x3，f(x)mx在区间22，2上恒成立，m52x2在22，2上恒成立，m(52x2)max5，实数m的取值范围是5，)答案：5，)名师点评1本例为二项式定理与不等式恒成立问题的交汇，先利用二项式定理求出f(x)，从而把问题转化为m恒大于函数的最大值2二项式定理还常与其他知识交汇命题，如与数列交

13、汇、与函数交汇、与定积分交汇等因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理，还可能考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系变式训练1已知02x3dxn，则(xy1)n展开式中x2y的系数为_变式训练2若二项式(3x)n(nN*)中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则ba+ab的最小值为_第三节二项式定理积累必备知识一、1Cn0anb0Cn1an1bCnranrbrCnnbnCnranrbrr12CnmCnn-mn12n12Cnn-12 Cnn+122n三、1答案：（1）（2）（3）（4）2解析：令x1，则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两

14、式相加得：a0a2a48.答案：83解析：二项展开式的通项为Tr1C8r（x）8r（12x）r（12）rC8rx4r，令4r0，解得：r4，所以T5（12）4C84358.答案：35854解析：因为所有二项式系数的和为32，所以2n32，解得：n5，在（x22x）5中，令x1，可得展开式中各项系数的和为（1）51.答案：15解析：因为（x1）5（x2）（1C51xC52x2C53x3C54x4x5）（x2），所以展开式中x2的系数为C512C5215.答案：156解析：（x1）3的展开式的通项为Tr1C3rx3r（1）4，（x1）4的展开式的通项为Tr1C4rx4r1r，则a1x3C30 x3

15、（1）0C41x3115x3，所以a15.同理，a2x2C31x2（1）1C42x2123x26x23x2，a3xC32x1（1）2C43x1133x4x7x，a4C33x0（1）3C44x0140，所以a23，a37，a40，所以a2a3a410.答案：510提升关键能力考点一例1解析：(1)(x-1x2)n的展开式的通项Tr1Cnr1rxn5r2，r0，1，2，3，n.令n-5r20，可得n5r.因为展开式中含有常数项，所以n5r能成立，则正整数n的最小值为5.(2)(2x1x)n展开式的通项为Tr1Cnr(2x)nr(1x)r，因为展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是25，所以Cn1

16、 :Cn225，解得n6.所以Tr1C6r26r(1)r x6-32r，r0，1，2，6.令632r3，得r2，所以x3的系数为C62262(1)2240.答案：(1)C(2)C例2解析：（1）要求（xy2x）（xy）5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出（xy）5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可，由二项式定理可得（xy）5的展开式中x2y3的系数为C5310，x4y的系数为C515，故（xy2x）（xy）5的展开式中x3y3的系数为10515.（2）二项式（12x）5的展开式的通项Tr1C5r（2x）r2rC5rxr，所以（2x）（12x）5的展开式中含x2项的系数为222C52

17、（1）2C5170.答案：（1）C（2）A例3解析：（1）将x1x2看成一个整体，展开得到通项公式为Tr1C4r（x1x2）4r（1）r，（x1x2）4r的展开式为Tm1C4-rmx4rmx2mC4-rmx4r3m，取4r3m0，当m0时，r4，常数项为C44C00（1）41；当m1时，r1，常数项为C41C31（1）112.所以所求常数项为11211.（2）（x22x3）4（x3）4（x1）4，则展开式中含x6的项为C40 x4（3）0C42x2C41x3（3）1C41x3C42x2（3）2C40 x412x6，则含x6的项的系数是12.答案：（1）B（2）12对点训练1解析：(2x-x)5

18、展开式的通项为Tr1-1r25-rC5r xr-5xr2-1r 25-rC5r x32r5，令3r251，得r4，故展开式中x的系数为-142C5410.答案：B2解析：(x22)5的展开式的通项是Tr1C5r(x2)5r2r2rC5rx102r，由x1x中的x项与(x22)5中的x4项，1x项与x6项相乘均可得x5项，所求系数为23 C53-22C5240.答案：C3解析：(1x +1x10 )81x10+1-x8展开式中，通项公式：Tr1C8r(1x10)8r(1x)rC8rx10r80(1x)r，依题意，只需考虑r8时，即只需(1x)8中x2项的系数，其展开式中通项Ak1C8k18k(x

19、)kC8k 1kxk2.令k22，解得k4.C84(1)470.答案：70考点二例4解析：（1）令x1，得a01，令x0，得a0a1a2a202122021，所以a1a2a2021220211.（2）令x0，得到a0a1a2a9（2m）9；令x2，得到a0a1a2a3a9m9，所以（2m）9m939，即m22m3，解得m1或3.答案：（1）B（2）1或3一题多变解析：令x2，得到a0a1a2a9（4m）9，令x0，得到a0a1a2a3a9（m2）9，所以（4m）9（m2）939，即m26m50，解得m1或5.答案：1或5对点训练解析：A.由二项式知：C20210+C20211 +C202120

20、21(11)202122021，正确；当x1时，有a0a1a2a20211，当x1有a0a1a2a3a2020a202132021，B由上，可得a1a3a5a20211+320212，错误；C由上，可得a0a2a4a202032021-12，正确；D由二项式通项知：Tr1C2021r(2x)r-2rC2021rxr，则a1-2C20211，a2-22C20212，a2021-22021C20212021，所以a12 a222+a323a202122021-C20211+C20212-C20213+C20212020 -C202120211-12021-C202101，正确答案：B考点三例5解析

21、：(1)由题意，得aC2mm，bC2m+1m，则13C2mm7C2m+1m，132m！m！m！72m+1！m！m+1！，72m+1m+113，解得m6，经检验m6为原方程的解 (2)根据(3x13x)n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n20，(3x13x)n的展开式的通项为Tr1C20r(3x)20r(13x)r320-rC20r x204r3，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，r0，3，6，9，12，15，18，x的指数为整数的项共有7项答案：(1)B(2)D例6解析：(1)第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，n的值可能是9，10，11.设常数项为Tr1Cnrx3(nr)x2rCnrx3n5r，则3n5r0，其中n9，10，11，rN，n10，r6，故不含x的项为