功率谱估计方法综述

1、功率谱估计方法综述：简介：随机信号的持续时间是无限长的，因此随机信号的总能量是无限的，因而随机过程的 任意一个样本寒暑都不满足绝对可积条件，所以其傅里叶变换不存在。尽管随机信号的总能 量是无限的，但其平均功率却是有限的，因此，要对随机信号的频域进行分析，应从功率谱 出发进行研究才有意义。信号的功率谱密度描述随机信号的功率在频域随频率的分布。功率 谱估计（PSD）是用有限长的数据来估计信号的功率谱，即利用给定的N个样本数据估计一个平 稳随机信号的功率谱密度。背景：功率谱估计在实际工程中有重要应用价值，如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达 方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性

2、系统识别、物理光学中透 镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域，发挥了重要作用。功率 谱估计方法主要分为2大类：非参数化方法（又称经典功率谱估计）和参数化方法（又称现 代功率谱估计）。非参数化方法有相关函数法（BT法）、周期图法、平均周期图法、平滑平均 周期图法等；而参数化谱估计休模型法、移动平均模型法（简称MA模型法）、自回归移动平 均模型法（简称ARMA模型法）、最大熵谱分析法（AR模型法）、Pisarenko谐波分解法、Prony 提取极点法、Prony谱线分解法以及capon最大似然法等，由于涉及许多复杂数学计算，在此 未作详细数学推导，以下介绍几种常用的功率谱估计

3、方法一、非参数化方法（经典法）经典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗。1、自相关法又称相关函数法（BT法），根据维纳一辛钦定理：平稳随机过程的自相关函数和功率谱函数 是一傅里叶变换对，对于平稳随机信号来说，其相关函数是确定性函数，故其功率谱也是确 定的.这样可由平稳随机离散信号的有限个离散值，求出自相关函数，然后作Fourier变换， 得到功率谱。由于随机序列X（n）的自相关函数R（n）=EX（n）X（n+m）定义在离散点m上，设 取样间隔为错误！未找到引用源。，可将随机序列的自相关函数用连续时间函数表示为错误！未找到引用源。等式两边取傅里叶变换，则随机序列的功率谱密

4、度错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。BT法是先估计自相关函数Rx（m）（|m|=0,1,2,N-1）,然后再经过离散傅里叶变换 求的功率谱密度的估值错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。其中错误！未找到引用源。可有式得到。Fs=500;%采样频率n=0:1/Fs:1;%产生含有噪声的序列xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+ randn(size(n); nfft=512; cxn=xcorr(xn,unbiased); %计算序列的自相关函数，matlab函数xcorr (求自相关函数) unbiased 无偏 CXk=fft(c

5、xn,nfft);%cxn(即自相关函数)进行快速傅里叶变换，nfft为周期Pxx=abs(CXk);%CXk (频谱)取绝对值(为什么取绝对值)index=0:round(nfft/2-1);%计算出各点对应的功率谱k=index*Fs/nfft; plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1); figure(1) plot(k,plot_Pxx);2、周期图法周期图法是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅 立叶变换，得x(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。 Matlab代码示例2：Fs=600;

6、%采样频率n=0:1/Fs:1;%产生含有噪声的序列xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+0.1*randn(size(n);window=boxcar(length(xn);%矩 形窗nfft=512;Pxx,f=periodogram(xn,window,nfft,Fs);%直接法计算功率谱密度，xn为功率谱密度信 号，window为窗口，nfft为采样点数，fs采样频率plot(f,10*log10(Pxx);window=boxcar(length(xn);%矩 形窗nfft=1024;Pxx,f=periodogram(xn,window,nfft,F

7、s);%直接法figure(1)plot(f,10*log10(Pxx);3、平均法即Bartlett平均周期图法，是将N点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均.将长度为N的数 据分为L段，先对每段数据用周期图法进行谱估计，然后对L段求平均得到长度为N的数据的 功率谱.平均法可视为周期图法的改进。周期图经过平均后会使它的方差减少，达到一致估计 的目的，有一个定理：如果错误！未找到引用源。是不相关的随机变量，且都有个均值错误！ 未找到引用源。及其方差错误！未找到引用源。，则可以证明它们的算术平均的均值为错误！ 未找到引用源。即：平均法将错误！未找到引用源。的N个数据分成L段(N=ML)，若各数

8、据段相互独 立，则平方后估计量的方差是原来不分段估计量方差的错误！未找到引用源。所以当错误！ 未找到引用源。时，估计量的方差趋于0，达到一致估计的目的。但是，随着分段数L的增 加，M点数减少，分辨率减少，使估计变成有偏估计。相反，若L减少，M增加，虽偏差减 少，但方差增大。所以，在应用中，必须兼顾分辨率和方差的要求来适当选择M和L的值。 Matlab代码fs=600;n=0:1/fs:1;xn=cos(2*pi*20*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n);nfft=512;window=hamming(nfft);%矩 形窗noverlap=0;%数据无重叠p=0

9、.9;%置信概率Pxx,Pxxc=psd(xn,nfft,fs,window,noverlap,p);index=0:round(nfft/2-1);k=index*fs/nfft;plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1);plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1);figure(1)plot(k,plot_Pxx);figure(2)plot(k,plot_Pxx plot_Pxx-plot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc);Bartlett法方差的改善是以牺牲分辨率为代价的.4、welch 法Welch法又称修正周期法，Welch法

10、对Bartlett法进行了两方面的修正，一是选择适当的窗 函数w(n),并在周期图计算前直接加进去，加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估 计非负。二是在分段时，可使各段之间有重叠，这样会使方差减小。Welch法谱估计是在上述基础上进行了改进，目的是在保持Bartlett法方差性能的同时，改 善其分辨率。其基本原理是先对随机序列分段时，使每一段有部分晕叠，然后对每一段数据 用一个合适的窗函数进行平滑处理，最后对各段谱求平均。Matlab代码Fs=600;n=0:1/Fs:1;xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n);nfft=512;w

11、indow=boxcar(100);%矩 形窗window1=hamming(100);%海 明窗window2=blackman(100);%blackman窗noverlap=20;%数 据无重叠range=half;%频率间隔为O Fs/2，计算一半的频率Pxx,f=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs,range);Pxxl,f=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,range);Pxx2,f=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,range);plot_Pxx=10*log10(Pxx);p

12、lot_Pxxl=10*log10(Pxxl);plot_Pxx2=10+log10(Pxx2);figure(1)plot(f,plot_Pxx);figure(2)plot(f,plot_Pxxl);figure(3)plot(f,plot_Pxx2);函数说明 (pwelch) Pxx,F = pwelch(x,window,noverlap,nfft,fs)x,为进行功率谱估计的输入有限长序列 window,用于指定采用的窗函数(boxcar, hamming, blackman) noverlap，重叠点数 nfft，设定FFT算法的长度 fs,采样频率 Pxx，为输出的功率谱估计值

13、 F，为得到的频率点综述：从给出一段信号y=cos(2*pi*30*n)+3*cos(2*pi*100*n),利用经典谱估计法的原理，通 过不同的谱估计方法，求出信号的功率谱密度函数，并利用GUI界面呈现出不同谱估计方法 所得的结果。BT法：BT法是先估计自相关函数Rx(m)(|m|=0,1,2,N-1),然后再经过离散傅里叶变换求 的功率谱密度的估值错误！未找到引用源。由式错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。估算出错误！未找到引用源。，再 对错误！未找到引用源。作FFT变换，得到错误！未找到引用源。周期图法：周期图法是根据各态历经随机过程功率谱的定义来进行谱估计的。获取x(n)后，对x

14、(n)作FFT得到X(W)，再由错误！未找到引用源。得出功率谱。平均法：平均法可视为周期图法的改进。周期图经过平均后会使它的方差减少，达到一致估 计的目的。获取x(n)后，将x(n)分为10段，对每段用错误！未找到引用源。计算出周期图，对以 上10个周期图加以平均得出功率谱。Welch法:Welch法又称修正周期法，获取x(n)后，先将N个数据分成L段，选择汉明窗w(n)， 并用该w(n)依次对每段数据做相应的加权，确定每段的周期图G，l (w )=Mu2,l = 1,2, L由gmSw)= 1 * GM l(w) 得出每段谱估计。Ll =1二、参数化方法(现代法)AR模型功率谱估计(仅举此-

15、种)AR模型功率谱估计又称为自回归模型，它是一个全极点的模型，要利用AR模型进行功率谱估 计须通过levinson_dubin递推算法由正则方程求得AR的参数，在Matlab仿真中可调用Pburg 函数直接画出基于burg算法的功率谱估计的曲线图。用周期图法求出的功率谱曲线和burg 算法求出AR功率谱曲线。Matlab代码用周期图法求出的功率谱曲线和burg算法求出的AR功率谱曲线(p=50)fs=200;n=0:1/fs:1;xn=cos(2*pi*40*n)+cos(2*pi*41*n)+3*cos(2*pi*90*n)+0.1*randn(size(n); window=boxcar(

16、length(xn);nfft=512;pxx,f=periodogram(xn,window,nfft,fs);subplot(1,2,1);plot(f,10+log10(pxx)xlabel(frequency(hz);ylabel(power spectral density(Db/Hz);title(periodogram pse estimate);orderl=50;range=onesided;magunits=db;subplot(1,2,2);pburg(xn,orderl,nfft,fs,range)总结常见谱估计法的比较通过实验仿真可以直观地看出以下特性：(1)功率谱估

17、计中的相关函数法和周期图法所得到 的结果是一致的，其特点是离散性大，曲线粗糙，方差较大，但是分辨率较高。(2)平均周 期图法和平滑平均周期图法的收敛性较好，曲线平滑，估计的结果方差较小，但是功率谱主 瓣较宽，分辨率低。这是由于对随机序列的分段处理引起了长度有限所带来的Gibbs现象而 造成的。(3)平滑平均周期图法与平均周期图法相比.谱估值比较平滑，但是分辨率较差。 其原因是给每一段序列用适当的窗口函数加权后，在得到平滑的估计结果的同时，使功率谱 的主瓣变宽，因此分辨率有所下降。经典功率谱估计的分辨率反比于有效信号的长度，但现 代谱估计的分辨率可以不受此限制。这是因为对于给定的N点有限长序列x(n)。虽然其估计 出的自相关函数也是有限长的。但是现代谱估计的一些隐含着数据和自相关函数的外推，使 其可能的长度超过给定的长度，不象经典谱估计那样受窗函数的影响。因而现代谱的分别率 比较高，而且现代谱线要平滑得多。Matlab中有很多内置的信号处理的专用函数，在此举一下几个常用的信号处