南京工业大学--线性代数A卷

1、XX工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008-2009学年第一学期 使用班级江浦各专业本科生班级学号XX题号一二二四五六七八总分得分（符号说明：E表示单位矩阵， R表示矩阵的秩，表示行列式，T表示矩阵的转置。）一、填空题（每题 3分，共15分）1 1 11 .设3阶矩阵A 0 1 2 ,B32_A 5A ,则 B2 3 4.设三阶矩阵 A的特征值为1, 1, 3,再设B.设n阶矩阵A的各行元素之和等于零，且 A的秩为n 1,则齐次线性方程组 AX 0的通解为。1.设向量 （2, 一，1,0）T,（0,1,k, 1）T为属于实对称矩阵 A的不同特征值的特征向k量，则k 。2.已知A A 2E

2、0 ,则A、选择题（每题 3分，共15分）1 .设齐次方程组AX 0的一个基础解系为12121311 ,20 ,30 ,则010001(A) R(A) 5(B)R(A) 4(C) R(A) 3(D)R(A) 22.设n阶矩阵A有s个不同的特征值1, 2s,而且 R( iE A) n ri, i1,2,，s。如果A与对角矩阵相似，则（）.ss(A)rin(B)rini 1i 1srini 1srini 13.若向量组1, 2, 3线性无关，向量组1, 2, 4线性相关，则 （）(A)4必不可由1, 2,3线性表示(B)4必可由1, 2, 3线性表示(C)2必不可由1 , 3,4线性表示(D)2必

3、可由1 , 3, 4线性表示 TOC o 1-5 h z .设m n阶矩阵R(A) r,则如下结论正确的是().,.、_/TT_ T_ T_ T(A) R(A A) R(A) (B) R(A A) R(A)(C)R(A A) R(A) (D) R(A A) R(A ).对于矩B$方程 AB AC ,以下结论正确的是().(A) B C (B) B C (C)如A可逆，则B C (D)以上均不正确.三、(10分)计算下行列式x aia2a3ana1x a2a3anDa1a2x a3an- , ,-,a1a2a3x an满足矩阵方程AX A2 3X 9E ,试求矩阵3, 1, 4), 3 (7,1

4、,1,2), 4 ( 1,1, 3, 2), TOC o 1-5 h z 200四、(10分)设三阶矩阵A450124X .五、(14分)设向量 1(3,2,1,3), 2 (15 (0,7, 4,3),求向量组的秩和极大无关组，并把极大无关组以外的向量用极大无关 组线性表示六、(13分)当a,b为何值时，线性非齐次方程组XiX2X3 X40 x1 2x23x3 3x41x2 (a 3)x3 2x434 2x2X3 ax4无解、有唯一解、或有无穷多组解？在有无穷多解时，求出其通解 七、(15分)已知二次型 f(x1,x2,x3) 2x12 3x； 3x； 4x2x3，试回答下列问题1)写出此二

5、次型的矩阵 A；2)利用正交变换 X QY该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型;3 ）判断该二次型是否具有正定性。八、（8分）Housesholder矩阵是计算数学中一类重要的变换（镜面反射）方法，一般用来化矩阵为上Hessebergt阵。设实向量u （u1,u2,，un）T且uTu 1 ,则其一般形式为H E 2uuT试回答下列问题:1）证明：Householder矩阵是实对称正交矩阵；（3分）2）证明：一般实对称正交矩阵的特征值只能是1或1,并确定Householder矩阵的特征值（3分）3）对于u试给出此Householder矩阵属于各特征值的特征向量.（2分）XX工业大学

6、 线性代数试题(A)卷试题标准答案2008-2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生、填空题（每题3分，共15分）(1) 0(2.) -432k（1,1，,1）T ,k为任意常数.(4)1 或1 (5)1/2( AE).二、选择题（每题（1） D （2） C三、（10分）3分,B共15分）(4)xa1a2a3ana1xa2a3ana1a2x a3annai i 1naii 1naii 1a2a3anx a2a2a3anxa3ana1a2a3x annaii 1a2a3x an（从第二列至第n列加到第1列)a?an(xna。i 1=(xa。x a2a3ana2a2xa3an（提取公因子）a3

7、xan(Ciac(i2)n 1(xa。10分四、（10分）解：由AX A2 3X 9E得A 3E10分0,故A 3E可逆，上式两边同时左乘 （A 3E） 1得X (A 3E)五、（14分）解:最简形.为列生成矩阵A,并对A施行初等行变换将其化为行r1r2 2r13-3rr4311514 r315122 0151521532181/93 0 011 33 00所以R（1,5)3,一个极大无关组为1, 2,12分)且 32 12 , 5122 4.(14 分)六、（13分）对方程组的增广矩阵进行初等行变换(A|b) HYPERLINK l bookmark65 o Current Document

8、 11112301 a 3321132 a01111：01r2r10122：1 .b33r1 01 a 32： b1012 a 3 ：1 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark5 o Current Document 1 111.0B 5 分r3 r2 0 122：1 .4 2 0 0 a 10: b 1显然可见：当a 1,b方程组有无穷多组解.当 a 1,b1时继续将矩阵B化为行最简形得0 1220 0 40与原方程组等价的方程组为X11X2 1X32x3X42x4令X3X4,得原方程组的一个特解为11分与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为X2X3X42x3

9、2x41时方程组无解，当 a 1时方程组有唯一解，当 a 1,b1时X310令 3,得齐次方程组的一个基础解系为X401故原方程组有无穷多组解时的通解为Xk1 1k2k1,k2为任意常数.13分七、（15分）解：1）二次型的矩阵为2）先计算矩阵的特征多项式fA( ) A(2)(1)(5)故矩阵的特征值分别为1,22, 35.再计算矩阵的属于各特征值的特征向量:11时，求解方程组（A 1E）x0得一个特征向量为q1/V2（0, 1,1）T .当22时，求解方程组(A2E)x0得一个特征向量为q2(1,0,0)T. TOC o 1-5 h z 当35时，求解方程组(A3E)x0得一个特征向量为q2

10、1/J2(0,1,1)T.令Q (qi,q2,q3),作变换X QY ,则此变换即为正交变换，该二次型在此变换下的标准型为 f(yi,y2,y3) y2 2y2 5y2。 i2分3)因为矩阵的特征值都是正的，故该二次型为正定二次型.15分八、1)显然H为实矩阵，又HT (E 2uuT)T E 2uuT H ,HH T H2 (E 2uuT)(E 2uuT) E .所以H为实对称正交矩阵. 3分2)设X是实对称矩阵正交矩阵 H的属于特征值的特征向量，则xTx XT Ex XT H T Hx (Hx, Hx) ( x, x) 2xTx,而XTX 0,则必有1或一1.容易验证 Hu u,即1是H的一个特征值，设v是和u正交的非零向量，则有Hv v,又R(u)=1,这种非零向量v可以求出n 1个。所以1是H的 n 1重特征值。 6分 HYPERLINK l bookmark1