计算机控制技术及应用第四章-高级-数字控制器分析与设计课件

1、第四章 高级数字控制器的分析与设计 数字控制器状态变量分析理论基础数字控制器状态变量设计法 对于计算机控制系统的分析与设计，与经典方法相比，状态变量法有以下的优点： 1采用状态变量法有利于直接利用计算机求解和分析。 2状态变量法不但适用于单输入单输出系统，也适用于多变量系统。并且在各种情况下系统模型具有统一的形式。 3状态变量法还可应用于非线性系统、时变系统的分析与设计。 4状态变量法有利于采用现代分析的方法，如优化方法等实现控制系统设计。 41 数字控制器状态变量分析理论基础411 状态空间与状态方程 采用适当的变换，可以将上述n阶差分方程化成等价的n个一阶差分方程组成的方程组。采用矩阵符号

2、可以将后者表示成一个一阶向量矩阵差分方程，从而大大简化系统方程的数学表达式。利用状态变量法的概念，一方面能使工程技术人员针对给定的性能指标，用更一般的输入代替特定的典型输入(如脉冲函数、阶跃函数或正弦函数)来实现系统的设计。另一方面还可以帮助工程技术人员在系统分析和设计时考虑系统的初始条件，而这个特点在经典方法中是不具备的。 离散时间系统的运动可以通过差分方程描述： 状态变量:在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，它们已经足以描述对象的全部运动。 状态向量:如果完全描述一个给定系统的动态行为需要n个状态变量，则用这n个状态变量构成的列向量x(k)就叫做该系统的状态向量。

3、状态空间:状态向量x的所有可能值的集合称为状态空间。 状态方程:描述系统状态变量和系统输入之间关系的一阶差分方程组称为状态方程。状态方程的主要特征是：在全部被控变量中，只选择一组状态变量来列方程，其它被控变量不进入方程。状态方程必须写成标准形式。 状态法的主要概念 线性定常离散时间系统的状态方程描述为： 线性状态方程的标准形式是： 输出方程的标准形式为： 对于状态空间描述，状态方程的形式与所选的状态变量有关，因而不是惟一的。 (4.4)(4.5)(4.3)(4.2)例41 设离散时间系统由差分方程描述。试写出系统的状态方程和输出方程。 选取状态变量x1(k)=y(k)、x2(k)=y(k+1)

4、，显然，x1(k)和x2(k)满足关系式 x1(k+1)=x2(k)，x2(k+1)=y(k+2)并且x1(k)和x2(k)是一组数目最少的足以描述系统全部运动的变量。因此它是系统的一组状态变量。可以直观地写系统的状态方程和令为系统的状态向量，则可以将状态方程简写成由式(44)和式(45)可见，系统的输入输出关系被分成两段进行描述，即动态方程的一段(式44)描述系统输入和初始条件引起系统内部状态的变化；代数方程的一段(式45)则描述系统内部状态变化引起系统输出的变化。412 线性定常离散系统的状态方程描述 (1) 差分方程不含输入函数的高阶差分1 化高阶差分方程为状态方程 y(k+n)an-1

5、y(k+n-1) a1y(k+1)a0y(k)bu(k) 令：(4.6)(4.7)写成状态方程形式有： (4.9)(4.8)(2) 差分方程包含输入函数的高阶差分 选择状态变量，令(4.10)(4.11)为了方便记忆，可写成由式（4.10）及式（4.11）可以导出(4.13)写成状态方程描述，有(4.14)(4.15)例4已知离散时间系统的差分方程描述为试求它的状态方程描述。令 则 所以系统的状态方程描述为2 化脉冲传递函数为状态方程 设离散系统的脉冲传递函数为 ：引入中间变量x(z)，使得 可取： (4.16)(4.19)(4.20)(4.21)根据z变换的超前定理(4.23)(4.24)例

6、4已知离散时间系统脉冲传递函数试求它的状态空间描述。 根据式(4.23)和式(4.24)立即可得出它的状态方程描述为：413 离散系统状态方程的解 时域法由x(0)出发可得 写成卷积和的形式有：(4.26)(4.25)利用输出方程式，则有系统输出 特别地，若u0，则式(44)变成齐次状态方程： 它的解为：称为状态方程式(44)的状态转移矩阵，它是满足条件： (4.27)(4.28)(4.29)(4.30)(4.31)利用 可将式(429)重写为 状态方程式重写成: 系统的输出为: 由式上可见，线性离散系统的解由两项组成。即：零输入响应 零状态响应 (4.32)(4.33)(4.34)2 频域法

7、频域法的思想是利用z变换求解状态方程式（4.4）。对方程式（4.4）两边进行z变换得:由上式可解得两边取z反变换可得(4.35)(4.36)(4.37)而系统输出z的变换从而，有式4.39(4.38)(4.39)对于齐次状态方程式（4.28） ，有 根据上式可以计算出状态转移矩阵：x(k)=Akx(0) 本节所讨论的离散系统状态方程的解，是指它的封闭形式的解。而对计算机求解而言，根据系统的初始条件和输入，利用状态方程式本身，就可以迭代地求出系统各时刻的状态值。这也是离散系统状态方程描述的优点之一。 比较式（4.40）和式（4.29），可得(4.40)(4.41)(4.42)例4.4 已知离散系

8、统状态方程给定 ，以及 ，试分别用时域法和频域法求解x(k)。用时域法求解以上状态方程，必须先求得系统状态转移矩阵Ak。由式（4.42）利用公式（4.26）可计算出x(k)。用频域法计算。首先，我们有 已知u(k)=1，k=0，1，所以，它的z变换则于是因此由例44可见，采用频域法求离散系统状态方程的解，一般来说比时域法要简单一些。414 离散系统状态方程与脉冲传递函数的关系 如果系统有多个输入量，多个输出量，每个输入量和每个输出量之间的关系都可以用脉冲传递函数描述，这样就产生了脉冲传递函数矩阵的概念。 (4. 43)(4. 44)系统的状态方程分别作z变换 由式： 得 (4.46)(4.47

9、)(4.48)因为脉冲传递函数的定义要求初始条件为零，即x(0)0，有和与4.50比较得系统脉冲传递函数矩阵在线性代数中，我们知道(zI一A)的逆矩阵可写成其中，det(zI一A)表示(zI一A)的行列式；adj(zI一A)表示(zI一A)的伴随矩阵。 (4.49)(4.50)(4.51)代人式(4.51)中可得脉冲传递函数矩阵G(z)所对应系统的特征方程 (4.52)(4.53) 例45 离散系统状态方程表达式 其中 试求系统的脉冲传递函数矩阵。因为 所以 415 能控性与能观测性 在状态空间的描述中，除了输入量和输出量外，还引入了描述系统内部运动状态的状态向量。把状态向量看作系统的被控制量

10、，就产生了状态能否被输入量所控制和能否由输出量观测出来的问题。一个实际系统的能控性、能观测性有四种可能的组合：能控能观测，不能控不能观测，能控不能观测，不能控能观测。 能控性和能观测性从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统构成的基本问题，克服了经典方法的局限性。 能控性和能观测性粗略地说来，是指一个系统的工作状态能否得到控制和能否通过输出和输入变量而唯一确定的性质。 1 能控性 对于状态方程式 所描述的n阶系统，如果能找到有界整数k个有限输入序列u(0)，u(1)，u(k一1)，使系统从初始状态x(0)，到达任一终态x(n)xf，则称式 所示系统为状态x(0)能控的。如果系统对

11、任意初始状态都能控，则称系统为状态完全能控，或称(A，B)为状态完全能控的，简称系统具有能控性。 能达性定义：若在有限个采样周期内，存在着适当的控制序列，使得系统能由任意初始状态达到另一个任意指定的终点，则称系统为完全能达的。能控性定义：若在有限个采样周期内，存在着适当的控制序列，使得系统能由任意初始状态达到原点，则称系统为完全能控的。 按上述定义，若系统为完全能达的，则它一定是完全能控的(将能达性定义中具有任意指定的终点指定为原点即为能控性)。但是，反过来能控的系统不一定是能达的。只有当状态方程中的系统矩阵A是非奇异的时候，系统的能控性才等价于能达性。 设式 所示的系统阶次为n，系统的初始状

12、态为x(0)，则在u(k)的作用下，根据式(426)有写成矩阵形式，有(4.54)(4.55)称Wc为系统能控性矩阵。 存在控制序列 将系统由x(0)转移到任意终点x(n)，等价于上述方程中当左边x(n)取任意值时，都能存在解 。 显然，满足该条件的充分必要条件是 对于n阶系统，若它对应的系统能控性矩阵Wc的秩为n，则可以经过n个采样周期后，由初始状态x(0)，在控制序列u(k)，k=0，1，n一1的作用下，达到任意的终点。(4.56)(4.57)反过来，对于n阶线性定常离散系统，若它不能在控制序列作用下由x(0)出发，经过n个采样周期后到达任意终点，则它在大于n个采样周期后也不能到达该终点。

13、这是因为，若取（n+1）个采样周期，则有 即根据CayleyHalmiton定理，存在其中是A的特征多项式的系数。可得即由此可得，AnB的各列是中各列的线性组合，从而有 显然，若不存在控制序列 ，将系统由x(0)转移到x(n)=xf，则也不存在序列 将系统由x(0)转移到。总结以上讨论，我们得到以下的结论：线性定常离散时间系统 (或称系统(A，B)为完全可控的充要条件是式成立，即能控性矩阵Wc为行满秩。 例46 已知系统状态方程式x(k+1)Ax(k)+Bu(k)，当A，B分别为以下值时，判定系统(A，B)的能控性。 (1)若 则 因为 rank Wc2，系统能控； (2)若 rank Wc1

14、2，系统不能控。 则 2 能观测性 对于状态方程式(44)和式(45)所描述的线性定常离散系统，如果根据在有限采样周期内的输出量y(k)，k0，1，q，其中q，可以唯一确定系统的任意初态x(0)，则称系统为状态完全能观测的或称系统具有能观测性。 为系统(A，C) 。 系统的能观测性是讨论系统的输出y(k)和状态变量x(k)的联系问题，和输入u(k)无关。因此，可以不考虑输人信号，即可令u(k)0。从而可以只研究下面的状态方程和输出方程 (4.58)(4.59)根据式(458)和式(459)，可得用矩阵表示为(4.60)W0称为系统的能观测性矩阵。 线性定常离散时间系统(A，C)状态完全能观测的

15、充要条件是能观测性矩阵W0为列满秩。 显然，对于n阶系统，观测其n个输出向量，能确定其初始状态x(0)的充要条件是 设(4.61)(4.62)例4.7 设离散时间系统状态方程描述如式(458)和式(459)所示，其中试求系统的能观测性。 故，系统为完全可观测的。在例题计算过程中，我们可以知道，对于多输出系统，如已经计算出某一qn使得即可判定系统的能观测性，没有必要继续计算下去。 3 对偶原理 S1和S2称为互相对偶的系统。 系统S1： 系统S2： 对偶原理 ：S1的能控性等价于S2的能观测性；S1的能观测性等价于S2的能控性。 416 坐标变换与标准型 1 坐标变换(463)(464)重写状态

16、方程式(4.4)和式(45)所定义的系统如下设为任意一nn维非奇异方阵。定义坐标变换或 代人式(463)有即 而输出方程为 (465)因此，可得经坐标变换后系统的状态方程为其中， ，分别为变换后系统的系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵。 下面考察式(466)和式(467)所表示的脉冲传递函数矩阵(466)(467)(468) G(z)它与变换前的状态方程式(463)和式(464)所对应的脉冲传递函数矩阵(4.50)完全一致。由此，我们可以得出结论，即坐标变换不改变系统的脉冲传递函数矩阵。即它不改变系统的输入输出特性。 2 能控标准型 A的特征方程 考虑单输入单输出线性离散系统状态方程描述 其中，x(

17、k)为n维状态向量；u(k)和y(k)分别为输人和输出标量；A是nn维方阵；b是n维列向量；C是n维行向量。系统方程式(469)的能控性矩阵(469)(470)(471)(472)假定该系统是完全能控的，因此Wc为非奇异方阵，取坐标变换阵(473)其中(474)M针对开环特征方程 显然M为一非奇异阵，从而 为非奇异。取坐标变换和 则变换后的系统状态方程具有以下形式其中(475)(476)参考式4.8不具特殊的形式 结论：完全能控的单输入单输出系统，可以通过式(473)所定义的坐标变换矩阵进行坐标变换而变成能控标准型。 (478)(479)例4.8 已知式(469)和式(470)所示系统状态方程

18、描述中， 试求系统的能控标准型。 构造能控性矩阵显然有rankc3，因此系统完全能控。求系统的特征多项式所求的能控标准型为 3 能观测标准型(480)令坐标变换矩阵 则将式(469)和式(470)两式变成(481)(482)(483)无特殊形式 其中 称具有式(4.82)和式(4.83)形式的状态方程为可观测标准形。(486)(485)(484)为能观标准型的转置矩阵42 数字控制器状态变量设计法 数字控制器状态空间设计法，就是利用系统的状态空间描述，根据对闭环系统性能指标 的要求，直接设计出满足要求的数字控制器。 根据控制系统的输入是被控对象的状态还是被控对象的输出，控制系统分成状态反馈控制

19、器和输出反馈控制器两种形式。状态反馈控制器具有较强大的功能和较简单的结构。但是对于实际工程系统，往往并不是所有的状态都是可以直接量测的，因此，状态反馈通常难以实现。这时可以借助于状态观测器，通过被控对象的输入和输出来重构被控对象的状态，实现状态反馈律。但是这时整个控制器已变成输出反馈控制器了。 控制系统的各种特性及其各种品质指标很大程度上由闭环系统的零点和极点的位置所决定。 前面通过对离散时间系统的分析，我们知道，系统的响应通常是k型函数的组合，极点决定了函数的形式，即响应的各种模态，从而决定了系统的稳定性。而零点和极点在z平面上的分布状况决定了动态响应表达式中对应的函数的系数大小，从而决定了

20、相应模态对动态响应的贡献大小。 极点配置问题就是通过对状态反馈矩阵的选择，将闭环系统的极点配置在z平面上所需要的位置，从而达到一定性能指标的要求。 421状态反馈极点配置控制系统的设计 若选择控制输入为状态反馈，有： 1 单输入系统状态反馈极点配置闭环系统的状态方程 闭环系统的特征多项式 待配置的闭环特征多项式P(z) 本节我们假定系统完全能控，并且系统的所有状态都可以直接量测。 (487)(488)(490)(491)(492)要求系统闭环极点为 ， 试求状态反馈增益向量例49 已知二阶系统 首先可以验证系统是完全能控的，待配置的特征多项式为方法一 解联立方程求状态反馈增益向量 通过适当选择

21、状态反馈增益行向量 ，使得 与P(z)的系数完全一致，则可将系统的闭环极点设置在期望的极点上。这就是极点配置的基本原理。 令闭环系统的特征多项式等于待配置的闭环特征多项式即 利用两个多项式的对应系数相等，可以得到n个联立的代数方程组。解这个方程组，可以求出未知量 ，从而确定状态反馈增益向量 。 (493)令，则系统的闭环特征多项式由P(z)和同次幂系数相等，得 解得 ， 即 方法二 通过能控标准型求解 (1)取变换矩阵 先将被控对象的状态方程式通过坐标变换将它变成能控标准型。在能控标准型情况下，可以根据极点配置的要求，很容易地求出状态反馈增益向量 。然后再通过变换，将 变成原来状态方程式实现极

22、点配置所要求的状态反馈增益向量 。 (494)(495)(496)(2)设实现理想极点配置所需的状态反馈增益向量为: (497)(498)设待配置的理想闭环极点为 ，即待配置的闭环极点多项式为 根据式(4102)所得到的极点配置增益向量，将能控标准型公式(495)所示系统的闭环极点配置为。则由式(499)和式(4100)多项式同次幂系数相等得得出即 其中，ai为开环特征方程系数(499)(4100)(4101)选：（3）根据 求得实现状态方程(488)所示对象的闭环极点配置所需的状态反馈增益向量 。根据前一步骤的结果，下式成立则通过状态反馈可将式(4.88)的闭环极点配置到 。 (4102)(

23、4103)例410 考虑离散时间被控对象 试通过状态反馈 将闭环系统极点配置在系统的可控性矩阵 表明系统是完全可控的。因此可以通过状态反馈配置极点。其开环系统的特征多项式坐标变换阵则通过坐标变换式： 和 可将原状态方程变成能控标准型。 待配置的闭环特征多项式为设相应于能控标准型，为实现闭环极点配置，状态反馈增益向量为则而待求的状态反馈增益向量2.多输入系统状态反馈极点配置 最直观的方法还是如前面所述的通过解联立方程求状态反馈增益矩阵的方法。 对于多输入系统，系统能够通过状态反馈任意配置闭环极点的充分和必要的条件仍然是系统完全可控。与单输入系统不同的是，多输入系统实现闭环极点配置的状态反馈增益矩

24、阵F不唯一，即可以有不同的F实现同样的闭环极点。 这种方法的最大缺点是，这样所得到的关于F中各元素的n个联立方程组通常是非线性方程组。从而给问题求解带来了很大的困难。 (4104) 另一类方法是利用单输入系统极点配置的算法。它分两步进行，第一步通过适当方法将多输入系统变换成为由单个输入完全能控的。第二步对通过变换获得的单输入完全能控系统实现闭环极点配置。 考虑多输入状态方程 首先构造单输入系统 其中，为n维列向量；W为m维列向量。其中，x(k)为n维状态向量；u(k)为m维输入向量。(4106)(4105)选择W，使得上式所示系统为完全能控的。 利用前面所述的单输入系统极点配置的方法，选择状态

25、反馈控制律 的极点配置在任意理想的位置 可以将 最后令 由上式所定的状态反馈增益阵F，可以使得多输入系统的闭环极点位于理想的位置。 (4107)(4108)(4109)总结多输入系统极点配置步骤如下： (1)对多输入系统公式(4105)选择W，使得单输入系统公式(4106)为完全可控。 (2)对单输入系统公式(4106)，选择极点配置状态反馈向量F*，使得( ) 的极点为待配置的理想极点。 (3)令FWF*，则F即为所求的实现极点配置的状态反馈增益矩阵。 例411考虑多输入离散时间系统试求状态反馈律u(k)Fx(k)，使得闭环系统的极点为。显然系统为完全可控的。令为使单输入系统（ ）为完全可控

26、，则必须要求要使上式成立，应满足： 。在此前提下可任意选择W，我们在此选择 。即 选择状态反馈增益向量，将单输入系统 的极点配置到能控性矩阵 ，开环系统特征多项式将系统变成能控标准型的坐标变换矩阵待配置的闭环特征多项式为因此，状态反馈增益向量而实现原多输入系统极点配置的状态反馈增益阵若令。即 则单输入系统(A，B*)已为能控标准型。立即可求得因此，对于多输入系统，可以有不同的状态反馈增益阵F，将系统的闭环极点配置在同一位置。3.极点配置方法的讨论 (1)前面我们已经指出，实现任意极点配置的前提是(A，B)为完全能控的。如果系统不是完全能控，则状态反馈不能改变能控模态，因此不能实现任意极点配置。

27、 (2)对单输入系统，实现一组特定极点配置所需的状态反馈增益向量fT是唯一的，这一点可以从单输入系统极点配置方法二，即利用能控标准型的方法中看出。而对多输入系统，则实现一组特定极点配置所需的状态反馈增益阵F通常不是唯一的。这是因为F是一个mn维矩阵，它有mn个元素可以选择，而闭环特征多项式只有n个系数待调整。 (3)待配置的n个闭环极点位置的选择是一个确定控制系统综合目标的问题。这是一个复杂的问题，是一个工程实践与理论相结合的问题。一般注意： 对n维系统，应当指定而且只应当指定n个待配置的闭环极点。 待配置的闭环极点可以是实数，也可以是以共轭复数形式出现的一对复数极点。 为保证闭环系统的稳定，

28、所有的待配置闭环极点必须位于复平面上的单位圆内。具体位置的选择需要考虑极点和零点在复平面上的分布，从工程实际出发加以解决。 可以通过一些最优化的算法来选择待配置的闭环极点位置，以使得某种性能指标最优。 4.2.2 状态观测器的设计 因为状态变量是一内部变量，在实际工程系统中，通常并不是所有的状态x(k)都可以直接量测到的，可以直接量测的往往只有系统输出y(k)和输入u(k)。为了能利用状态反馈的设计方法，我们可以构造状态观测器，先利用y(k)及u(k)构造系统的状态x(k)，然后，再应用状态反馈实现系统的闭环控制。 考虑被控对象的状态方程S1 (4110)(4111)人为地构造一个与之相同的量

29、测系统S2：因为是人为构造的，量测系统S2中的状态是可以直接测量的。 系统S1和S2的动态特性完全一致，只要x(0)与一致，则S2的状态与S1的状态x(k)将完全一致。 (4112)(4113) 但由于各种原因，例如被控对象的建模误差，x(0)与 的差异等，使得在实际运用中，S1和S2的状态不可能完全一致，从而造成S1的输出y(k)和S2的输出 两者有差异。 引入误差反馈项 将量测系统S2变成以下系统S3 采用渐近等价指标 叫做观测误差，来判定状态观测器的有效性 状态观测器的观测误差 满足 (4114)(4115)(4116)显然，只要上式所表示的关于观测误差 的系统为渐近稳定，换句话说，只要

30、(ALC)的所有特征值都在单位圆内，则式(4115)所定义的渐近等价指标即可得到满足。因为L是一个待选择的反馈增益阵，我们可以适当地选择L，将ALC的极点配置到z平面上适当位置，使得 很快地趋向于零。 前面，我们已经介绍了，若(A，B)完全能控，则可选择反馈增益阵F，使得闭环系统矩阵(ABF)具有任意指定的极点。与此相比，因为(ALC)与(ALC)T(ATCTLT)的特征值完全一致。显然，若(AT，CT)完全能控，则(ALC)的极点也可以任意配置。根据对偶原理，(AT，CT)的能控性矩阵 :恰好为(A，C)的能观测性矩阵 具体设计步骤如下：1.构造(A，C)的对偶系统(AT，CT)，求得后者的

31、能控性矩阵 通过 的秩，判定(A，C)的能观测性(即(AT，CT)的能控性)，选定待配置的闭环极点 2.求得A的特征多项式 和待配置的闭环极点对应的特征多项式 3.构造使得(AT，CT)为能控标准型的坐标变换阵 4.由公式 得出LT，则(LT)T=L。 例4.12给定被控对象的状态方程为 试设计系统的状态观测器，并将观测器的极点配置到被控对象的能观测性矩阵显然系统为完全能观测的。其对偶系统能控性矩阵系统的开环特征多项式为化对偶系统为能控标准形的坐标变换阵为 理想闭环极点 所对应的闭环特征多项式为z3，故反馈增益阵LT可通过下式计算得出 因此，给定被控对象的状态观测器为423 具有状态观测器的极

32、点配置 通过状态观测器解决了被控对象状态不能直接量测的问题，使状态反馈方法成为一种能实现的控制方式。 图42 具有状态观测器的极点配置控制器 整个系统的结构图如图4.2所示，其中被控对象状态方程为 假定被控对象是完全能控和完全能观测的，则它的状态观测器具有以下形式具有状态观测器的状态反馈控制律为(4117)(4118)(4119)(4120)与直接采用状态反馈u(k)=Fx(k)+相比 ，对闭环系统动态特性有何影响，利用扩充状态向量的方法，把4.120代入4.117和4.119，得出以上系统的闭环状态方程描述2n维的系统 (4122)(4121)为了看清楚以上闭环系统的特征值情况，对状态方程式(4221)作如下的坐标变