2021-09贤科909u simi t酉相似线性变换

1、 9.9UnitarySimilarity&Transformations酉相似 & 线性变换若 B U 1AU , 则称 A 与 B 酉相似;定义9.1其中 U 为酉方阵.几何意义:V 中, 一个线性变换 A对不同标准正交基1,n 和e1 , en 的方阵 A, B , 酉相似:B U 1AU .特别: 给定复方阵 A :的列是的坐标.可定义(n) 的线性变换,则 A 对自然基(标准正交) 1,n 的方阵为 A , 对(任一新)标准正交基e , e 的方阵为 B U 1AU ,A其中1(e1, en ) U .n引理9.9 任一复方阵 A 酉相似于上三角:,的特征根.证明类似于 “实方阵正交

2、相似上三角”.但现在方阵有n 个复根, 故为上三角, 更简单了.TT若 N N N N , 则复方阵 N 称为Normal Matrix定义(正规方阵)引理9.10. (正规方阵的 “准对称”特点)若 N 为正规阵, 且酉相似于, 则证. 与实正规方阵类似.上述 两结果结合, 得:定理9.5 (正规方阵酉相似(谱)定理)设 N 为(复)正规方阵, 则存在酉方阵U 使1, n 为 N 的特征根.其中特别知:正规方阵 N 必有n 个两两酉的向量为其特征向量.1 1U 1N U n N3 01N U N1N3 0N 2 Uk 为 A 1* U 1 AU * n A ( x) Ax AeiU酉空间(经

3、典酉空间(n) 的标准正交基)I. 则特征根k 满足,即 k,.即T法: 因 U U I , 得()TUx k x , 则x U k x ,TT证法1. 设相乘得,. 1 ,证法2. 由上述 U 1U U11n T由 U U I ,知 kk 1(根随阵跳舞的原因)系1. 酉阵U 的酉相似标准形)ei1 1 U UU11ien其中k eik 为U 的特征根,为实数 ( k 1, n ).kII. N H 为Hermite阵. 则特征根T法: 因 H H , 故()证法1. 设 H x k x , 则 x HT ,均实数 :. 1 ,1H U证法2. 由上述 Un T由 H H , 故(根随阵跳舞

4、的原因)系2. (Hermite阵 H 酉相似, 谱分解Spectral theorem for symmetric matrix ) 1 1 Hn其中1, n 为 H 的特征值.-2i T kkx T H x T x T H xx T H x 和 x T x T kkk 必为实数.x T UTU,T xkk 1 T 1kkik e长度为1kk 1N U 为酉阵3III.N K 为斜Hermite阵. 则特征根(记法: 因, 故)系3. (斜称阵 K 酉相似标准形)习题:69， 70（证明矩阵正规）定义9.7 设(V , g) 是酉空间, A 为其线性变换. A 为 A 对(某一)标准正交基1

5、,n 的方阵表示.如果 A 为正规 (或酉、Hermite、斜Hermite) 方阵,则称 A 为正规 (或酉、Hermite、斜Hermite) 变换. Hermite变换也称为自伴随变换.因取定基之后: End(V ) Mn () ,线性变换全体的空间 同构于 方阵空间.故上述矩阵结果, “翻译”为如下结果:引理9.10 设 N 是酉空间V 的 正规变换, 则N 的不变子空间W 的正交补W 也是其不变子空间.定理9.10 (正规变换下空间的分解). 设 N 是酉空间V 的 正规变换, 则 N 有特征向量e1 , en标准正交基, 故V 分解为一维不变子空间Wj e j (1 j n ) 的

6、正交直和:V e1 e2 enN 在各不变子空间的(限制)作用为 “数乘”:N e j j e j(1 j n )系1 (酉变换下空间的分解). 设U 是酉空间V 的 酉变换, 则U 有特征向量e1 , en标准正交基, 故V e1 e2 en(1 k n )系2 (Hermite变换的谱分解). 设 H 是酉空间V 的 Hermite 变换, 则存在H 的 特征向量的 标准正交基e1 , en , 从而 V 分解为一维不变子空间的正交直和:V e1 e2 enU ek eik ekai i a11 K U i an Uk kTK Kk 必为纯虚数(或0).H ek k ekk (1 k n

7、)系3 ( 斜Hermite变换下空间的分解). 设 K 是酉空间V 的斜 Hermite变换, 则存在 K 的特征向量 标准正交基e1 , en ,故V e1 e2 enK ek k ekk i(1 k n )酉变换是最基本的变换:定理9.21. 设V1,V2 为n 维酉空间, A 是V1 到V2 的线性. 则以下等价:A 保内积: 即 A, A , ( , ) (2) A 是等距 (同构), 即保内积且双射. (3) A 将任意标准正交基映为标准正交基. (4) A 将某一标准正交基映为标准正交基. (5) A 是酉( 即对V1,V2 的标准正交基的方阵为);证明. (1) (2): A

8、保内积, 故必为单射:若 A 0 , 则, A, A 0, 0 0 , 故 0 . (3): 因为保长度、角度. (3) (4): 显然.(4) (5): 设 A 将i映为ei (分别是V1 ,V2 的彼岸准正交基)即 A j e j . 则 A 的方阵表示为 A I(因为 A 的第 j 列 恰为 A j e j 的坐标列).则 对 V1 ,V2 任, A 的方阵表示为(为酉方阵)其中U1 , U2 为i 到i, ei 到ei 的过渡矩阵.(见书177页, 定理6.2)(5) (1):设 A 对 V1 ,V2 的标准正交基i, ei 方阵 A 是酉阵.设 , , A, A 的坐标分别为 x,

9、y, Ax, Ay ,则 A , A ( Ax)T ( Ay) xT AT Ay xT y , 系5. (1) 任一个n 维酉空间V (等距)同构于经典酉空间(n)(内积为 x, y xT y )(2) 维数相同的酉空间均(等距)同构.4意标准正交基i,eiA U 1AU U 1U2121酉阵证明. (1) 取标准正交基, 向量为其坐标列 x . 系6. 设U 为酉空间V 的线性变换, 则以下等价:(1) U保内积. (2) U 是(等距)自同构 (即到自身的保内积双射线性变换). (3) U 将任意标准正交基映为标准正交基. (4) U 将某一标准正交基映为标准正交基. (5) U 对标准正交基的方阵为酉阵; (6) U 为酉变换, 即 U *U =UU * (U * 为U 的伴随变换)引理9.20. n 维酉空间V 的每个线性变换 A 诱导出V 的唯一的线性变换 A * (称为伴随变换), 定义为 A * , , A( , V )T且 A 和 A * 对的方阵表示为 A 和 A .(其中 _ , _ 是V 的固有内积)证明. 可直接验证(和得情形类似)因为 End(V ) Mn ()(取定基后, 线性变换与其方阵一一对应, 运算也对应.)故 A *A = AA * 当且仅当A *A =1A * = A当且仅当TA A当且仅当故关于正规变换等的定义等价于