从低补起3第二讲

1、要点精讲广州高山文化培训学校周日专题补习班数学从低补起3第二讲等差数列及前n项的和等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为anan1d(n2)或an1and(n1)。2.等差数列通项公式:ana1(n1)ddna1d(n）,首项：ai,公差：d,末项：an推广：anam(nm)d.从而anam；nm3.等差中项A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即:（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan4.等差数列的前n项和公

2、式:n(aian)2(a12d)nAn2Bn（其中A、B是常数）（当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0)5.等差数列的判定方法(1)定义法：若anan1d或an1and(常数nN)an是等差数列.(2)等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan(3)数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。(4)数列an是等差数列An2Bn,（其中A、B是常数）。6.等差数列的证明方法定义法：若anan1d或an1and(常数nN)an是等差数列.7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。

3、只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2)为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，a2d,ad,a,ad,a2d(公差为d)；偶数个数成等差，可设为，a3d,ad,ad,a3d,(公差为2d)8.等差数列的性质：(1)若公差d0,则为递增等差数列，若公差d0,则为递减等差数列，若公差d0,则为常数列。(2)当mnpq时，则有amanapaq,特别地，当mn2P时，则有aman2ap.(3)若an是等差数列，则Sn,S2nS,S3n5n,也成等差数列S3m图示：al a2 a3Smamam 1S2m Sma2ma2m 1S3 m S2m(4)若等差数列

4、an、bn的前n和分别为An、Bn,且AnBnf (n),则包(2n1)an3nlf(2n1).bn(2n1)bnB2n1()(5)若an、bn为等差数列，则anbn为等差数列(6)求Sn的最值法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值(或最小值)。若Sp=Sq则其对称轴为n匕，2法二：(1)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和an0即当a10,d0,由可得Sn达到最大值时的n值.an10“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。ran0口即当a10,d0,由可将Sn达到

5、最小值时的n值.an10或求an中正负分界项(7)设数列an是等差数列，SW是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，则：当项数为偶数2n时，S偶and,其中n为总项数的一半，d为公差；S奇(n 1)an1S偶 nan 1在等差数列an中，若共有奇数项2n1项，则S2n1S奇S偶(2n1)an1S奇S偶an1注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量.典例分析:题型一：等差数列的概念1.设sn是数列an的前n项和，且Snan 是()A.等比数列，但不是等差数列

6、C.等差数列，而且也是等比数列B.等差数列，但不是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2.在数列an中，a1 14anbn2，其中 n N*.2an 1(1)求证：数列bn是等差数列;(2)求证：在数列an中对于任意的都有anan 1.3.设an是等差数列，求证:bna1 a2 nan(n N * )为通项公式的数列bn为等差数列。题型二：等差数列通项公式1. (2011重庆文)在等差数列an中，a22a34,则 a10 =1214 C . 1618 TOC o 1-5 h z 设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13（）A120B105C90D

7、75（2012高考广东）已知递增的等差数列an满足a11，a3a224，则an（2012高考江西）设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5。（2006高考天津）已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1b15，a1,b1N*设cnabn（nN*），则数列cn的前10项和等于（）A55B70C85D100（2012高考重庆）已知an为等差数列，且a1a38,a2a412,（I）求数列an的通项公式；（n）记an的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk2成等比数列，求正整数k的值。7. （2010年高考山东卷）已知等差数列an满足：a37a5a

8、726, an的前n项和为Sn.(I)求an及Sn；人1(n)令 bn -an 1*(n N),求数列bn的前n项和Tn .题型三：等差数列的前n项和公式1.（2011全国大纲卷）设Sn为等差数列an的前n项和，若ai1,公差为d 2,Sk2 Sk 24,2.k=A. 8B. 7C. 6D. 5（2011天津文）已知 an为等差数列,Sn为其前n项和,，右 a316, S2020,则S0的值为3.数列an中，an2n49,当数列an的前n项和Sn取得最小值时n4.（2010年高考福建卷）设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时，n等于（）A.6B.7C.8D.

9、95.若一个等差数列前3项的和为34最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项6.设数列an是递增等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是（A.1B.2C.4D.67.设Sn是等差数列an的前n项和，若S3S63,则A.310名S12188.（2012年浙江高考卷）设Sn是公差为d(d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是（）A.若d0,则数列sn有最大项B.若数列Sn有最大项，则C.若数列Sn是递增数列，则对任意*D.若对任意nN,均有Sn0,则数列Sn是递增数列题型四：等差数列的性质及变形公式1.（2010年高考全国卷）如果等差数列an中,a3a4a512,那么aia2a7()A.142.已知等差数列A.aaan满足a1a20B.a2a3a1010则有（2.（2009宁夏海南卷）等差数列aioOa3a99-a5151an前n