2022高考总复习 数学(人教A理一轮)2.4　幂函数与二次函数

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI2.4幂函数与二次函数第二章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破03案例探究3 二次函数的零点分布问题必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.幂函数(1)幂函数的定义:形如(R)的函数称为幂函数,其中x是,是.(2)五种幂函数的图象y=x 自变量 常数(3)五种幂函数的性质 幂函数y=xy=x2y=x3y=x-1定义域 值域 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性 定点(1,1),(0,0)(1,1)RRR0,+)x|xR,且x0R0,+)R0,+)y|yR,且y0增x0,+)时,增,x(-,0)时,

2、减增增x(0,+)时,减,x(-,0)时,减2.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:;顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.f(x)=ax2+bx+c(a0) f(x)=a(x-h)2+k(a0) (h,k) f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0) x1,x2 (2)二次函数的图象和性质 常用结论1.幂函数y=x的图象在第一象限的两个重要结论:(1)恒过点(1,1);(2)当x(0,1)时,越大,函数值越小;当x(1,+)时,越大,函数值越大.2.研究二次函数y=ax2+bx+c(a0)在区间m,n(m0时,若|x1-m|x2-m|,则f(x1)f(x2);当a|

3、x2-m|,则f(x1)f(x2).常用结论4.一元二次方程f(x)=x2+px+q=0的实根分布:(1)方程f(x)=0在区间(m,+)内有根的充要条件为f(m)bcB.abcC.bcaD.ac0,否则0;若0,再观察第一象限的图象是上凸还是下凸,上凸时01;最后由x1时,在第一象限内的值按逆时针方向依次增大得出结论.对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应的是()(2)(2020河北定州模拟,理4)已知点(a, )在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数答案 (1)B(2)A 考点3幂

4、函数的性质及应用解题心得1.幂函数的主要性质(1)当0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+)上单调递增;(2)当0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+)上单调递减.2.比较两个幂的大小,如果指数相同而底数不同,此时利用幂函数的单调性来比较大小;如果底数相同而指数不同,此时利用指数函数的单调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不同,此时需要引入中间变量,常用的中间变量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.答案 (1)(3,5)(2)A 考点4求二次函数的解析式【例4】 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试

5、确定此二次函数的解析式.(方法2)(利用顶点式)设f(x)=a(x-m)2+n(a0).(方法3)(利用两根式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.解得a=-4或a=0(舍去).所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.解题心得确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: 变式发散1将本例中的“f(2)=-1,f(-1)=-1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)”,其他条件不变,试确定f(x)的解析式.解 设f(x)=ax(x+2).因为函数f(x)的最大值为

6、8,所以a0,且f(x)max=f(-1)=-a=8,所以a=-8,所以f(x)=-8x(x+2)=-8x2-16x.变式发散2将本例中条件变为:二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,且xR,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.解 因为f(2-x)=f(2+x)对xR恒成立,所以f(x)的对称轴为直线x=2.又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a0).又f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,所以a=1.所以f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-

7、3),即f(x)=x2-4x+3.考点5二次函数的图象与性质(多考向探究)考向1二次函数的单调性及应用【例5】 (1)已知函数f(x)=-x2+2ax+3在区间(-,4)上单调递增,则实数a的取值范围是.(2)已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间-1,+)上是单调递减的,则实数a的取值范围是()A.-3,0)B.(-,-3C.-2,0D.-3,0答案(1)4,+)(2)D解析 (1)f(x)=-x2+2ax+3对称轴方程为x=a,f(x)在区间(-,4)上单调递增,所以a4.故a的取值范围为4,+).(2)当a=0时,f(x)=-3x+1在-1,+)上单调递减,满足题意.解得-3a

8、f(cx)D.与x有关,不确定答案 (1)D(2)A (2)由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,b=2.又f(0)=3,c=3,则bx=2x,cx=3x.易知f(x)在区间(-,1)上单调递减,在区间1,+)上单调递增.若x0,则3x2x1,f(3x)f(2x);若x0,则3x2xf(2x).f(3x)f(2x),即f(bx)f(cx).故选A.考向2二次函数的最值问题【例6】 (1)已知函数f(x)=(x+2 013)(x+2 015)(x+2 017)(x+2 019),xR,则函数f(x)的最小值是.(2)若函数f(x)=ax2+2ax+1在1,2上有最大值4,则a的值为.解

9、析 (1)令x+2 016=t,则f(t-2 016)=(t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=t4-10t2+9=(t2-5)2-16,当t2=5时,有最小值-16,故f(x)的最小值是-16.(2)对函数f(x)=a(x+1)2+1-a,当a=0时,f(x)在区间1,2上的值为常数1,不符合题意,舍去;当a0时,f(x)在区间1,2上单调递增,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a= ;当a0时,f(x)在区间1,2上单调递减,最大值为f(1)=3a+1=4,解得a=1,不符合题意.综上可知,a的值为 .解题心得二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,

10、不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.答案 (1)D(2)1解析 (1)设x0.有f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2.又f(-x)=f(x),当x0时,f(x)=(x+1)2,依题意,nf(x)m恒成立,则n0,m1,即m-n1,故m-n的最小值为1.(2)因为函数f(x)=x2-ax-a的图象为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.考向3与二次函数有关的恒成立问题【例7】 设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x1,3,f(x)0恒成立,

11、则实数a的取值范围是.考向4二次函数中的双变量问题【例8】 已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是.解析对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0)在-1,2上g(x)的值域f(x)的值域,g(x)=ax+2(a0)在-1,2上的值域为2-a,2+2a,因为f(x)=x2-2x在-1,2的最小值为f(1)=-1,最大值为f(-1)=3,即f(x)在-1,2的值域为-1,3.解题心得已知函数f(x),g(x),若对任意的x1a,b都存在x0c,d,使得g(x1)=f(

12、x0)等价于g(x1)在a,b上的值域是f(x0)在c,d上的值域的子集.对点训练8(2020河北唐山模拟)已知函数f(x)=-x2+ax-6,g(x)=x+4,若对任意x1(0,+),存在x2(-,-1,使f(x1)g(x2),则实数a的最大值为()A.6B.4C.3D.2答案 A考点6二次函数、方程、不等式的关系(多考向探究)考向1一元二次方程与一元二次不等式【例9】 关于x的不等式x2+px-20(a0),f(x)0的x的范围即为一元二次不等式ax2+bx+c0的解集;一元二次不等式ax2+bx+c0的解集的端点值即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.对点训练9(1)已知不等式ax2

13、+bx+20的解集为x|-1x2,则不等式2x2+bx+a0的解集为()C.x|-2x1 D.x|x1(2)若关于x的不等式x2-ax+10的解集中只有一个整数,且该整数为1,则a的取值范围为()(3)不等式(a2-4)x2+(a+2)x-10的解集是空集,则实数a的取值范围为() 答案 (1)A(2)A(3)B 要点归纳小结1.幂函数y=x(R)的图象的特征:当0时,图象过原点和点(1,1),在第一象限内从左到右图象逐渐上升;当0时,图象过点(1,1),但不过原点,在第一象限内从左到右图象逐渐下降.2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表示形式.3.“恒成立”与“存在性”

14、问题的求解是“互补”关系,即 要点归纳小结案例探究3 二次函数的零点分布问题【例1】 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围.(1)有两个正根;(2)有两个负根;(3)有一正一负根.思考对于(1)(2)(3),都是判断两根的符号,那么如何利用韦达定理给出判断?【例2】 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围.(1)一个根大于1,一个根小于1;(2)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;(3)一个根小于2,一个根大于4;(4)两个根都在(0,2)内.思考对于此题,韦达定理适合吗?还有哪些方法可以解决此问题呢?能否利用数形结合的思想列出符合题意的不等式?解令f