8.3.2 第2课时　球的表面积和体积

1、第2课时球的外表积和体积学习目标核心素养.了解并掌握球的体积和外表积公式.会用球的体积与外表积公式解决实 际问题.（重点）.会解决球的切、接问题.（难点、易 混点）.通过对球的概念的学习，培养直观想 象的数学素养；.通过学习球的外表积、体积公式， 培养逻辑推理、直观想象和数学运算的 数学素养.自主预习0探新MlZIZHUYUXI TAZXIZNHI匚新知初探二.球的外表积设球的半径为R,那么球的外表积S=47求2,即球的外表积等于它的大圆面积 的生倍.思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？提示球没有底面，球的外表不能展开成平面图形.球的体积4设球的半径为七那么球的体积V邈.匚初试身手二.假

2、设球的过球心的圆面的周长是G那么这个球的外表积是（A.C24兀71CC2C 由2兀/?=。，得R=丁,所以S球面=4兀2= Z7T兀.外表积为4冗的球的半径是.1 设球的半径为R,那么S=4兀改=4兀，得R=L.假设一个球的体积为36兀，那么它的外表积为.436k 由卒R = 36兀，可得R=3,因此其外表积S=36兀.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是a/2 设大球的半径为七那么有*iH3 = 2x*iX13, 2 = 2,.r=拒合作探究。提素养HEZUOTANIIU TISUY ANG转型1球的外表积与体积【例1】(1)球的外表积为64兀，求它的体积；(2)球的体积为

3、空兀，求它的外表积.解(1)设球的半径为，那么由得 4717 = 6471, r=4.所以球的体积：V=&x兀x/=等兀(2)设球的半径为R,由得n 500“，八厂兀/?3=?-兀，所以 R = 5,所以球的外表积为：S=4兀R2=4兀义52=100兀.规律方短求球的外表积与体积的一个关键和两个结论关键：把握住球的外表积公式S球=4成2,球的体积公式丫球=%火3是计 算球的外表积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体 积与外表积计算的相关题目也就迎刃而解了.(2)两个结论：两个球的外表积之比等于这两个球的半径比的平方；两 个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.Q踢崎皿练

4、1.如果两个球的体积之比为8 ： 27,那么两个球的外表积之比为.4 ： 9 根据球的体积及外表积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比 的立方，外表积的比等于半径之比的平方，因为两个球的体积之比为8 ： 27,所 以两个球的半径之比为2 : 3,所以两个球的外表积的比为4 ： 9.缢型2球的截面问题例2 (1)平面a截球0的球面所得圆的半径为1.球心0到平面a的距 离为陋，那么此球的体积为()A.加兀B. 4、/兀 C. 44兀D. 兀(2)半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6k和8冗，那么这两个截 面间的距离为.(1)B (2)1或7 (1)如图，设截面圆的圆心为O , M为截面圆上

5、任一点,那么。0=6，O M=l, ：.OM=7W)2+l=5,即球的半径为正，A V=(2)假设两个平行截面在球心同侧，如图，那么两个截面间的距离为后二手一5242=1 ；假设两个平行截面在球心异侧，如图，那么两个截面间的距离为qA学+/52-42=7.规律方法.有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的 半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理.Q跟踪训卜练:2.0A为球。的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得 到圆M.假设圆M的面积为3兀，那么球O的外表积等于.1671 如图

6、，圆M面积为3兀，那么圆M半径M3为小，04 = 2,那么球。的 外表积等于4tiX22= 16兀y型3与球有关的切、接问题探究问题.假设长方体的长、宽、高分别为Q,。，C,那么其外接球半径R与三条棱长 有何关系？提示.棱长为Q的正方体的外接球，其半径H与棱长a有何数量关系？其内切 球呢？1提示外接球半径R=*a;内切球半径R=ci.假设一球与正方体的12条棱相切，那么球半径R与棱长。有何数量关系？提示R=a.【例3】(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，那么该球的体积 为.(2)正方体的全面积是片,它的顶点都在一个球面上，那么这个球的外表积 是.4兀/(1)不 (2) -5- (1)由题

7、意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1,4其体积为彳兀(2)正方体内接于球，那么由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重 合.可见，正方体的对角线是球的直径.设球的半径是r,那么正方体的对角线长 是2r.依题意，2r=小、邑,即=乂2,所以球=4兀=4兀M OOO Z母题探究.将本例(1)变为：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是S，小，,， 这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的外表积是()A. 12兀B. 18k C. 36兀 D. 6兀A 由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为23，从而 球的半径为正，球外表积为1271.2.将本例变为：圆柱内接于球，圆柱的

8、底面半径为3,高为8,那么球的 外表积为.IOOtt 如图，由条件知，0A = 3, OO =4,所以。4 = 5,所以球的外表积 为100兀规律方法常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几 何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比方 中心、对角线的中点等.(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关 键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计 算.二课堂小结二.球的外表积、体积基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图 形，球半径、截面圆半径

9、、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题 转化为平面问题的主要方法.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析 图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面 图.判断正误球的体积之比等于半径比的平方.()(2)球面展开一定是圆形的平面.()(3)长方体既有外接球又有内切球.()答案(1)X (2)X (3)X.某几何体的三视图如下图，那么其外表积为371 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其外表积为半个球 面面积与截面面积的和，即：X4兀+兀=3兀4. 一个正方体的八个顶点都在体积为针 的球面上，那么正方体的外表积 为.8 设球的半径为R,正方体的棱长为44I-2那么Q7rR3=e兀，故r=i ,由小a = 2R=2