42连续线性泛函与共轭空间

1、4.2连续线性泛函与共轭空间为了引用泛函分析的一般理论于具体场合，若能知道具体空间上连续线性泛函的一般形 式，即：具体了解一个线性空间X的共轭空间X *中每个元素的形式将是重要的。下面我们 将介绍一些常用的空间的共轭空间。基本概念定义4.2.1设X是赋范线性空间，X上的连续线性范函全体记做X *,即X * =f f是X上的连续线性泛函,它按通常的线性运算：当f，g E X*，a是数时，对vx e X，规定(f + g)(x) = f (x) + g(x),(a f)(x) =a f (x);(4.2.1)及泛函的范数|f II = sup = sup I f (x)| = sup I f (x

2、) (x e X),(4.2.2)x.0 H 炯ULi成为一个赋范线性空间，称为X的共轭空间。定义4.2.2设X和Y是两个赋范线性空间，T是X到Y的映射，且对一切xe X，有Tx| = |x|,(4.2.3)则称T是X到Y的一个保范算子。若T不但是保范的，又是线性的，而且是X到Y上的一一对应，则称T是X到Y上的 (保范)同构映射。若空间X和Y之间存在一个从X到Y上的(保范)同构映射，则称X和Y同构。注 若T : x Tx是一个从X到Y上的(保范)同构映射，即：X和Y同构，则将x和Tx 同一化(即：把x和Tx视为同一的)，这样就可以将X和Y同一化而不加区别。在泛函分析中，常把两个同构的空间同一化

3、，这是泛函分析中一个基本的观念。一般说来，若一个抽象的赋范线性空间能与一个具体的赋范线性空间同构，我们就把这 个具体空间的形式称为抽象空间的一个表示。一些赋范线性空间上连续线性泛函的表示所谓赋范线性空间X上连续线性泛函的表示，就是研究X *这个赋范线性空间能和怎样的具体空间实现同构。1. Z1的共轭空间G)* = 1811是满足 |xj 3的数列X =(气,七，)全体按通常线性运算和范数 n=11X11广为所成的Banach空间。13是有界数列X=(气,/.)全体按通常线性运算和范数sup |xn(4.2.4)(4.2.5)所成的Banach空间。证 取 e = (0,.,0, 1 ,0-)n

4、第n项n T，2，111，则对 * = R，气，)e 11，x = 3 x ei i i=1对Vf e (11)*，记门=f (e ), n = 1,2,.显然nnh到fine日fi i,因此h= (n1,h2-,hn，)e 13，且 mil = sup hn| *1n作映射A:(11)* 13如下:f h = (h,h ,，)=(f (e ), f (e ), f (e ),).12n12n(4.2.6)显然A是线性映射，且将非零元f映射成非零元h = Af及间，=，=suP hnl = sup|f (en)|II f|.nn(4.2.7)为了证明A是(11)*到13的同构映射，还需证明A(

5、 11)* =13 及|4f| 2 IIf 11.3In fact,对Vh =(气电，,hn，)e，因为sup虬| = | 3,且 n(4.2.8)n当x = （X , X，）G l1时， X绝对收敛，所以 X门 也绝对收敛; TOC o 1-5 h z 12n =1n = 1廖二| 气 | 忙 | |8| X |8)n=1n=1n=1于是(4.2.9)可以视为11上的泛函，显然f是线性泛函，且If (x )| | 气计|呻 |气| =虬| x| 1n = 1n = 1即f是11上的连续线性泛函，且llfll = suP f (x)xeX却 L = l |Af| l8 .1(4.2.10)由（

6、4.2.6）所定义的泛函f显然满足f （匕）二气，n = 1,2,，即Af =n .综合（4.2.7）和(4.2.10),有：A(11)*= 18 ,且 |Af| =11 f|.8既然（l1）*和同构，我们就把（11）*和同一化，所以可以说：l1的共轭空间（l1）*就 是 l8，即(l1)* = l8.证毕!注 这里要特别注意的是：（l 1）*=只是同构意义下的等式，因此在运用这些“等式”去探讨其他问题时，还必须把同构映射同时加以考虑。忽视这一点将会发生错误。今后有关共轭空间表示的等式都应注意这一点。有的书常用“=”代替“=”，以示区别。l p是满足 |气|i = 1lp的共轭空间(1)* =

7、 lq (1 p 8, 1/p + 1/q = 1)|P 1, q 1,若-+ - = 1,则称p,q是一对对偶数。 p q特别地，将P = 1, q = 8也看成是一对对偶数。Lpa,万的共轭空间(4“, b)* = Lqa, b( 1 p 0，BN g N，当m,n N时， nIT - Ts.n m任取xgX，则有ITx - 5 IT-叮时 s IM.故Tx是Y中的基本点列。 n因为Y是Banach空间，所以存在J g Y，有limTx = y .nnT8定义算子T: Tx = y .现在证明 T g B (X T Y)，且 lim |T -T| = 0.n T8T的线性是显然的。现证有界

8、性。由于II邛-叩 |T - T | T 0 (n, m T8)，故虹|是基本点列，于是有界。设|仁|M (n = 1,2,3, .)，由|网= lim|Tx| (im|叮|)x| M |x| (x g X)n T8nT8可知，T 有界，且 |T| M ,故T g B (X T Y).下证lim|7 -7| = 0.在n T8II7? - 5判厂E戏倒中令m T8，并利用limT x = y及Tx = y，得: nnT8|7x-润| N).因此此71 N).故7 依算子范数收敛于T .于是B (X T Y)中任一基本点列必有极限，即B (X T Y)是Banach空间。证毕!推论 赋范线性空间

9、X的共轭空间X*是Banach空间。证 由X*的定义及定理4.2.1立得。定理4.2.2设X是赋范线性空间，若X*是可分的，则X也一定是可分的。证 因为X*是可分的，所以存在一列 f u X*在X*的单位球面上稠密。n对每个f，因为 n州 fn If 2，所以在X的单位球面上必有xn，使得I f (xn )| 2.将xn张成X的线性闭子空间，记作X0，显然X0可分。(自证！)若X不可分，则X 0。X .从而在X *中存在f, |fj = 1，且当x g X 0时，如=.然而，对任何自然数n，有崎-办I fn （叩 2。（ = l fn 3 HU这与f 在x *的单位球面上稠密的假设矛盾。故X也

10、一定是可分的。证毕! n注1 X的“维数”不超过X*的“维数”。(自证！并举例说明：dimX* dimX .)注2定理4.2.4启发我们用共轭空间X *的性质来研究原来赋范线性空间X的性质。4.2.4收敛性对于泛函，我们也引入类似的收敛概念。定义4.2.3设f 是赋范线性空间X上的一列连续线性泛函。若存在f e X *，使得 n|f f| - 0 (n - 0)，则称泛函序列f 强收敛于f，记作 nf f (n 0)或 f = lim f .n s若对Vx e X，都有fn (x) - f (x) (n - 0)，则称泛函序列f 弱*收敛于f，记作 nf f 或 f =(弱 * )lim f或 f = (W * )lim f .n sns注 若将泛函看作算子的特殊情况，即r是一维空间时，算子序列的一致收敛概念相当于泛 函序列的强收敛；而算子序列的强收敛和弱收敛都相当于泛函序列的弱*收敛。对于赋范线性空间X中的序列气，通常可以引入下面两种收敛概念。定义4.2.4设X是赋范线性空间，气 u X, x0 e X .若|x - x | 0 (n s)，则称序列气强收敛于x 0.若对任何feX *，都有f (x) f (x) (n s)，则称序列气弱*收敛于x0，记作X =(弱 * )lim x或ns nx =(W * )lim x .