高中数学选修45同步练习题库：二维形式的柯西不等式(全部)

1、高中数学选修4同步练习题库：二维形式的柯西不等式（全部）二维形式的柯西不等式（全部）i已知+绷z的最小值是（）、已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）.4.、已知+=，且，则的最小值为4、若实数，均大于，且+=、则的最小值为5、若实数+=，则的最小值为6个正数的和与这个正数的倒数和的乘积的最小值是、设，且+,则的最大值是8、函数的最大值是（.）9设实数满足关系：，则实数的最大值为（）10、函数的最小值为（）A.、.B4.C.5.6i已知，均为正数，96（,），且满足=+=，则的值为（）2已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值

2、为（）3设，6,，则的最小值为（）4用柯西不等式求函数的最大值为（）.4.55对任意正数，不等式（-）恒成立，则实数的最小值是（）6已知且的最大值为、则正数等于（）17、已知a+b=1,则以下成立的是()A.a2+b21B.a2+b2=1C.a2+b22ab(a，bWR)B.(a2+b2)(c2+d2)(ab+cd)2(a，b，c，dWR)C(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2(a，b，c，dWR)D.(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2(a，b，c，dGR)19、已知a,bWR,a2+b2=4，求3a+2b的取值范围为()A.3a+2b4B.3a+2b4D.不确定20 x(2

3、014?湖北模拟)设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4,2x+4y+3z=6，则x+y+z等于()A.B.C.D.21、(2014?孝感二模)已知x,y,z均为正数，且x+y+z=2，则+的最大值是()A.2B.2C.2D.322、(2014?湖北模拟)实数ai(i=1，2，3，4，5，6)满足(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5a4)2+(a6-a5)2=1则(a5+a6)-(a1+a4)的最大值为()A.3B.2C.D.123、选修4-5:不等式选讲已知.(I)求证:；(II)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.24、选修4-5：不等式选讲已知函数

4、.(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为，正实数，满足，求证：.25、(2014?镇江二模)已知不等式|a-2|0，b0，求证:;求(5-2a)2+4b2+(a-b)2的最小值.30、(1)关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围；(2)设，且，求的取值范围31、(1)设x0,求的最小值；(2)已知，求的最小值.32、已知函数，且的解集为.求的值；若，且，求证：.33、已知函数，且的解集为.求的值；若，且，求证：.34、已知函数，且的解集为.求的值；若正实数，满足求的最小值.35、函数的最大值为.36、(1)证明：如果，那么；(2)已知，求的最小值.37、设对于任意实数，不等式恒成立，且的最

5、大值为求的值；若，且，求证：.38、【选修45：不等式选讲】(本小题满分10分)求函数：最大值.39、(选修4一5:不等式选讲)已知均为正数，且a+2b+3c=9.求证:+.40、选修45：不等式证明选讲设为正实数，且.(I)求的最小值；(I)若，求的值.41、函数的最大值为.42、选修4-5：不等式选讲已知，且，求的取值范围.43、选修4-5：不等式选讲已知，函数的最大值为.求的值；求的最小值，并求出此时的值.44、已知函数，且的解集为.(1)求的值；若正实数，满足求的最小值.45、已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2.(1)求整数的值；(2)已知，若，求的最大值；函数，若不等式的解

6、集为，且存在实数使成立，求实数的取值范围.46、选修4-5：不等式选讲已知，函数的最大值为10.(1)求的值；(II)求的最小值，并求出此时，的值.47、D.选修4-5：选修4-5：不等式选讲已知是正实数，且，求证：.48、选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为.求的值；设为正数，且，求最大值.49、选修4-5：不等式选讲已知函数.(I)求不等式的解集；(I)记的最小值为，若正实数，满足，求证：.50、选修4-5：不等式选讲若关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围；对任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.51、选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为.(I)解不等式：；(I)若

7、均为正实数，且满足，求证：.52、已知函数，且的解集为.(1)解不等式：；(2)若均为正实数，且满足，求证：.53、(2014?陕西模拟)函数的最大值是.54x(2014?黄浦区一模)设向量=(a,b),=(m,n),其中a,b,m,nWR,由不等式|?|恒成立，可以证明(柯西)不等式(am+bn)2(a2+b2)(m2+n2)(当且仅当，即an=bm时等号成立)，己知x,yWR+,若恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是.55x(2014?宜昌三模)若a,b,c为正实数且满足a+2b+3c=6，则+的最大值为.56x(2014?祁东县一模)已知a,b,cGR,且2a+2b+c=8,则

8、(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值是.57、(2014?黄冈模拟)设a、b、c为正数，a+b+9c2=1,则+c的最大值是，此时a+b+c=.58、(2014?陕西三模)已知a、b、c、d均为正数，且a2+b2=4,cd=1，则(a2c2+b2d2)(b2c2+a2d2)的最小值为.59、函数的最小值为TOC o 1-5 h z60、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小彳.61、已知向量,则.62、函数的最大值为.63x(2014?长安区三模)己知x,yW(0,+8)，若+3则亘成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是.参考

9、答案1、D2、C3、D4、D5、D6、C7、B8、D9、B10、A11、C12、A13、D14、C15、A16、D17、B18、C19、B20、A21、C22、B23、(I)见解析；(II).24、(1)；(2)见解析.25、a(2x+3y+4z)2=1，由此求得x2+y2+z2的最小值.解：2x+3y+4z=1，利用柯西不等式可得(x2+y2+z2)(4+9+16)(2x+3y+4z)2=1,故x2+y2+z2,当且仅当时，取等号，故x2+y2+z2的最小值为，故选：D点评：本题主要考查柯西不等式应用，属于基础题2、所以，正实数的最小值为4.3、当且仅当时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主

10、要考查利用基本不等式求最值，属于难题利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)三相等是，最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立).4、，当且仅当时等号成立，故选D.5、当且仅当时等号成立，的最小值，故选D.6、由柯西不等式，得当且仅当时取等号，故选C.7、由柯西不等式得，当且仅当时等号成立，的最大值为，故选B.8、由柯西不等式可得$二需石孙石二5/匸U羽x兰禹+M-1-T=2丽故选D.9、解：根据柯西不等式可知：4

11、(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)(a+b+c+d)24(16-e2)(8-e)2,即64-4e264-16e+e2，5e2-16eS0,OSes本题选择B选项.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式.10、由题意得,因为,则,当且仅当时等号成立的，所以函数的最小值为，故选A.11、试题分析：由题意可得tanB=1,再由+=化简可得3tan40-10tan2B+3=0.解得tan20的值，可得tan0=的值.解：tx,y均为正数，96(,)，且满足=,tane=

12、1.再由，+=，可得=，化简可得3tan49-10tan29+3=0.解得tan29=3，或tan29=(舍去)，tan9=,故选：C.点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的解法，属于基础题.12、设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，()，半焦距为，由椭圆和双曲线的定义可知，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则由余弦定理可得，在椭圆中，化简为即，在双曲线中，化简为即，由柯西不等式得故选B.【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键.13、试题分析：利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值.解：ta，b6R+，a+b=1

13、，a2+b2=1-2ab，又v=a2+b2+5+26-2ab+2=6-2ab+2(ab+2)=10，+，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D.点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题.14、试题分析：由柯西不等式可得，函数y=?,从而求得函数的最大值.解：由柯西不等式可得，函数y=?=4，当且仅当=时，等号成立，故函数y的最大值为4,故选：C.点评：本题主要考查了二维形式的柯西不等式(ac+bd)22，不等式(k-)x+ky恒成立，可得2，化简可得(2k+1)(k-1)0,由此求得k的最小值.解：由所给的选项可得k1,(k-)x+ky2,x、y都是正实数，不等式(k-)x+ky恒成立，-2,2,化简可得(2k+1)(k-1)0.解得k1,故k的最小值为1,故选：A.点评：本题主要考查基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题.16、试题分析：由柯西不等式可得(x2+4y2+kz2)(1+)(x+y+z)2,