福建福州第一中学2018届高三上学期期中考试数学理试题

1、福州一中2017-2018学年度高三数学期中试卷本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分(满分100分 考试时间100分钟)第I卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共40分.在每小题给出的四个选项中有且 只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.设集合 A=x|0WxE2,集合 B =x| y = lg(xB.先向右平移 一个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的一，纵坐标不变 1221),则 AB=()A. x|0 x 0或x-1C, x|1x2 D , x|0 x 0 ,都有e21成立,则命题一1p为()A ,汨=0,有$,0,有e21成

2、立 D. maA0,有e 1成立.已知直线 11: x +(a 1)y +a -1 = 0 , l2: (a +2)x + 4y+2a = 0,且 l/l2,则2 =()A. 2 B . -3C. 2 D. 2或-33 TOC o 1-5 h z .设 a = log 412, b = log 515, c = log 618 ,贝U ()A.a b c B.b c a C.a c b D . c b a.已知 f (x ) = 2x +3(xw R),若 f (x )1 a 的必要条件是 x+1| 0),则 a,b 之间的关系是(),a. a. bbA. b： B.b C. a - D.a

3、2222个小 TETE6.已知函数f(x)=sinx+平)0,0父中 0)的图象在0, 2上至少有三个最大值点，则 口的最小值 4为. 22，一 x y2.椭圆+、=1(a Ab 0)与抛物线y =2px(p 0)有一个公共焦点F2，椭圆的另一 a b个焦点为Fi ,且椭圆与抛物线交于 B,C两点，若三角形 BCF i是直角三角形，则椭圆的离心率为.三、解答题：本大题共 5小题，共48分.解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.(本小题满分10分)在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、bc,已知sin(A C)sin A sinC(1)求角c的大小；6(2)若b=,

4、 c =，3 ,求 ABC 的面积.5.(本小题满分10分)已知函数 f (x) =asinxxcosx (x0).(1)若a =1,求函数f (x)的极大值；冗(2)若xW(0，3)时，恒有f(x)A0成立，求实数a的取值范围.(本小题满分10分)已知椭圆G :225+当=1的右焦点为a bf，点p(1,2)在椭圆上，且3PF与y轴交点恰为PF中点.(1)求椭圆G的方程；(2)过F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆 G于点A,C和B,D .求四边形 ABCD的 面积的最小值.(本小题满分10分)- 2x -2x-a x： 0已知函数f (x) = ，其中a是头数。设 A(xi, f (xi)

5、, B(x2, f (x2)为该函In x, x 0数图象上的两点，且 x1 ： x2.(1)若函数f(x)的图象在点 A, B处的切线互相垂直，且 x2 0 ,求x2-x1的最小值;(2)若函数f(x)的图象在点 A, B处的切线重合，求 a的取值范围.请考生在第19、20题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.19.(本小题满分8分)选修44:坐标系与参数方程 x= 3cos 在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为x(口为参数)，在以原点为y = sin ：极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 Psin(日-) = J24(1)求曲线C的普通方程和直线

6、l的倾斜角；(2)设点P(0,2),直线l和曲线C交于A,B两点，求|PA| + |PB|的值.20.(本小题满分8分)选修45:不等式选讲已知 f(x)=|x3|, g(x)=|xk|,(其中 k 之2).(1)若k =4,求不等式f(x) +g(x) 9的解集；(2)若Vx1,2,不等式f(x) g(x) 2k x恒成立，求实数 k的值.1-5 C D B A B6-10 A A D C A11、12、3,二)17 二13、14、j2-115、解:,a -c 由a -bsin(A C)sin A sinC得(a -c)(sin A + sinC) = (a -b)sin B ,根据正弦定理

7、得(a -c)(a +c) =(a -b)b ,所以2.22222_ a b _ ca -c =abb ,整理得2ab所以C 1cosC =-,又因为00 , f(x)单调递增,当*三(2!+1)n,(21+2)兀)，1乏1时，f(x)0,即a21时，f(x)0,所以f(x)单调递增，所以f (x) f(0)=0;当 a 0 ,所以f(x)单调递增，f(0)=a10, f() = 1_ a0 ,所以f(x)有唯一零点，记为x0,当 xw(0,x0)时，f(x)0, f(x)单调递减，且 f(x)0不恒成立；综上所述，a的取值范围是1,收).解法二：Vx s (0,) , f(x)A0恒成立等价

8、于a tan x x恒成立，,i己 g(x) =a tanx -x ,则 g(x) =a -1, cos x一一 1.当 a 之1 时，由 0 cos x 1 ,即 g (x) 0 ,cos x所以g(x)单调递增，所以g(x)Ag(0)=0;当 0 a 1 时，令 g (x) =0 ,得 cos2 x = a ,即 cosx = Va ,ji在(0,一)方程有唯一解，记为 x0,2当 xW(0,x)时，cosx A JZ,所以 g(x) 0 , g(x)单调递减，且 g(x)0不恒成立;当 a0时，g(x) 0, g(x)单调递减，且 g(x)0不恒成立;综上所述，当且仅当 a之1时g(x)

9、A0,所以a的取值范围是1,+/).解：(1)依题意，F(1,0),另一焦点坐标为(1,0), TOC o 1-5 h z |PFJ 严2卜管 ,(：3)2 (1 1)2 =2.3, 311 3所以 a = J3, c=1,所以 b = J2,22所以椭圆G的方程为 土+L=1 .32c 1-2,S = | AC|BD|=2b2 =4,一 b2(2)当AC垂直于坐标轴时，|BD|=2a, |AC|=2b- a当AC不垂直于坐标轴时,设直线AB的方程为y =k(x1),k : 0, A(xi,yi), B(x2,y2)x2y2, = 1 曰2由 32 ，得(3ky = k(x -1)_2_ 2_

10、 2_2)x -6k x 3k -6 =0 ,0, X1 X2=43k2 23k2 -6，XiX2 = 12，3k2 2| AC |= 1 k2 |x1 -x2|= .1 k2 Jx1 x2)2 -4x1x2 ,|AC|=Ej(4)2-43k3. 3k2 2 3k2 2Md同理，|BD|-4,3彳 31 3k2JR；_22所以S二工| AC | BD尸 一24(22(3k2 2)(2 k2 3)k21= 24(426 6(6 k 13k6)，因为6k4k2I 2 Z13k2 6126 一6k2 13 ;k213 25 TOC o 1-5 h z 21当且仅当k2a=x1 +lnx2-1=x1

11、Tn(2x2+2)1,即k =1时等写成立,k2c“11 、 96所以&in=24(- )=6 6 2525.(1)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为 ()，点B处的切线斜率为f(x2),故当A处的切线与B处的切线垂直时，f (K) f (x2) = -1当 x 0时，有 f (x) 2x+2,所以 x1 x2 0, (2x1 +2)(2x2 +2) = 1 ,所以 2x1 2 ：二 0 :二 2x2 2 ,1所以 x2 -x1 =-(2x2 2) -(2x1 2) _ . -(2x1 2)(2x2 2) =1 ,31当且仅当2x2 +2 = -(2x1 +2)=1,即X =万，x2 =

12、 -1时，等号成立，所以x2 -x1的最小值为-1.(2)当 乂1“0 或 0“” 时，f (x1)丰 f (x2),所以 x 0 x2,当Xi0时，函数f(x)图象在点B处的切线方程为 y ln X2 = (x X2),即X21.y =x +ln x2 1 , X21一=2xi 2两处切线重合的充要条件是X2，Jn x2 -1 = -x12 +a,1 一 一一 一 一. 一由 一 =2x1 +2 及 x1 0 m x2 ,得 T x1 0 ,X2记 h(x) =x2 -ln(2x +2) -1(-1 x 0),1则h(x)=2x0,所以h(x)在(1,0)单调递减, x 1h(0) =-ln2-1, x趋近于1 时，h(x)趋近于 +8,所以 h(x)三(Jn 2 1,),所以a的取值范围是（ln21,y）.2x = 3cosx219.解：（1）由 0, 9设A, B两点对应的参数分别为 t, t2,18、. 227 一则 t1 +t2 = 0 ,所以 t1 0,t2 3 .(I )若 k=4,求 f (x) +g (x) v 9 的解集；k的值.(n)若？ xC 1 , 2,不等式f (x) - g (x) bx恒成立，求实数解：(1) k=4时，f(x)+g(x)9,即 |x3|十|x 4|9,x ：二 35 3HxM 4x 4即/或或,3 -x 4 -x 二