福建泉州2019届高三1月单科质检数学理试题

1、泉州市2019届高中毕业班单科质量检查理科数学注意事项：.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。.考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答， 超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效。.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选 择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。.设集合 A

2、 = xx0, B=x x2+2x_15xw Zi，则 Ac B =()A. 1,2B. 1,2,3C. 1,2,3,4 D. 1,2,3,4,5【命题意图】本小题主要考查集合的概念与基本运算、二次不等式等基础知识，考查运算求解 能力等，考查化归与转化思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算核心素养的关 注。【试题简析】解法 1:因为 A = & x A。 , B =x x2 +2x-15,x= z = x(x 3)( x+5 )0,x= Z) =x 5x3,x WZ = -4, -3,-2,-10,1,2),所以 A B =1,21 ,故选 A。解法2:因为函数f (x )2x2+2

3、x-15在(0, )为增函数，且f (1) f (2) f (3)=0,所以 Ac B =1,2故选 Ao【错选原因】错选B: x2+2x-15 0转化成(x-3Xx + 5)W0,或(x-3J(x + 5)0但求解时多错选C:错选D:2.复数A. 12x +2x-15 0 转化成(x-3Xx+5)0;x2 +2x15 /5|a。所以sin ：2a5a2a i一cosa =I ,贝U sin 2a5 a二2sin = cos ;4a25a24一,故选Co5解法二：由三角函数的定义，得tan ：=2 , sin 2a =2sin 二 cos-2tan 142. 22cos 工 rsin :1 t

4、an -5故选Co【错选原因】错选A:概念不清;错选B:概念不清，运算多了负号;错选D:运算错误，多了负号。,sin x在=3,3的图象大致为4.函数f (A.B.【命题意图】本小题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、图象等基础知识，考查运算求解 能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，体现基础性、综合性及应用 性，导向对逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的关注。【试题简析】首先，x=0, f(x)为偶函数，排除C, D,又当XW (0,3时，f(x)=sinxA0排除Bo故选Ao【错选原因】错选B: x=3时的函数值判断出错；错选C: x =3时的函数值判断有误，且函数

5、的奇偶性判断出错；错选D:函数的奇偶性判断出错。5.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖月需(bi end切图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某鳖月需的三视图，则该鳖月需的表面积为()X由A. 6B. 21C. 27D. 54【命题意图】本小题主要考查空间几何体的三视图、空间几何体的表面积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力等，考查数形结合思想、化归与转化思想等，体现基础性与应用性， 导向对直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养，对数学文化的关注。【试题简析】在长方体中想象与还原该几何体的原图及直观图(有效方法是，通过三视图排除 长方体中四 TOC o 1-5

6、 h z 个顶点，由余下的四个顶点顺次连接得该鳖月需的直观图)，可知：该鳖月需是一个底面以3、4111为直角边长的角二角形，图为 3的四面体，其表面积父3父4十-3父4+-3父5+-3乂5 = 27 ,222故选Co【错选原因】错选A:求体积；错选B:少计算一个面；错选D :忘乘1。2y-0,6.已知x, y满足约束条件JyEx,则z = x2y的取值范围是()x 2y -3 0)中p的意义理解错误错选B:对于抛物线y2 =2px(p0 )中p的意义理解错误或者计算错误错选A:随便乱选12.若曲线y2 =x2与y =aln x(a *0 )存在公共切线，则实数a的取值范围是()A. (0,2e

7、B. (0,eC. (-,0L(0,2eD. (-,0L(0,e【命题意图】本小题主要考查函数导数及其应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能 力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想, 体现综合性、应用性与创新性，导向对数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算、以及数学 建模等核心素养的关注。【试题简析】设 f(x)=x2, g (x )= aln x( a # 0 ),贝 f(x)=2x, g(x) = a,x设曲线f (x )=x2与g (x )=alnx(a #0)的公共切线为l, l与f (x )= x2的图象相切于点 (人,为2),与g

8、(x )=alnx的图象相切于点(x2,aln&),故l的方程为y-x； =2k(x-Xi )23aa.即 y = 2xiX - Xi ,或 y = aln x2 =(x x2 )即 y =x + a(ln x2 -1 )X2X2f 2xl =a o所以X2,所以-(-)2=a(lnx21 ),22X2-X| a(ln x2 -1)又因为 a # 0a =4x； (1 ln x2 ),贝U h(x )=4x(1 -2ln x ),令 h，(x)=0, W x = e ,故当 0 x0,当 xVe 时，h0,b 0)右焦点，若直线y=V3x与C交于A, B两点, a b且AF _L BF ,则C

9、的离心率等于【命题意图】本题考查双曲线的定义、双曲线的几何性质等基础知识以及平面几何中的一些基 础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，体现基 础性、综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等素养的关注，也引导对平面几何知识的自觉运用意识的培养。【试题简析】设双曲线的左焦点是 F1,连结AF1 , AF , BF1 , BF ,由双曲线的对称性，结合 AF -L BF ,得四边形AFiBF是矩形,在AARF ,由直角三角形的性质知， OA = OF。直线y = J3x的倾斜角/AOF=60-故AAOF是等边三角形,所以 RtMFiF AF =c

10、, AF1 =2a+c/AFF =30)故 tan 30 =c = e = ,解得 e =楞 +1 2a c 2 e 3O的一个内接四面体.类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念，已知球ABCD中，AB 1 BC , BD过球心O ,若该四面体的体积为1,且AB+BC = 2 ,则球O的表面积的最小值为【命题意图】本小题主要考查四面体的外接球、四面体的体积、利用平均值不等式求最值、类 比推理等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思 想、数形结合思想等，体现综合性、应用性与创新性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学 运算等核心素养的关注。【试题简析

11、】因为球心O在线段BD上，所以O为BD上的中点, 又 OA = OB=OC=OD且 AB_LBC,所以点 O在平面ABC内的射影O,为AABC的外心即为AC的中点，故三菱锥 D-ABC的高四面体ABCD的体积为1AB BC h=1,从而 6设球 O 的半径 R ,则 BD2 =4R2 = AB2 +BD2 +h2 = AB2 + BD2 +362 ,AB BC又因为 AB + BC =2,所以 AB2 +BC2 =4-2AB BC ,故 4R2 =4 -2AB BC 36-2 , AB BC由基本不等式可知 AB BC -2 _2 , AB BC即AB BC 0 ,2n 1所以Tn - ,12

12、分2. （12 分）33ABC 中，AB =3, AC =5, D 是 BD 上的点，AB _L AD , sinC tan /ADC = 。70（1）求 cosB ；（2）求&ABC的面积。【命题意图】本小题主要考查三角包等变换、解三角形等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观 想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注。【试题简析】n解：（1）如图，因为 AB 1 AD , /ADC是AABC的外角，所以/ ADC=90+B ,33故 sinC tanZADC =sinC tan (90 + B )=-无，

13、即sin C cos B 33sin B 70 在AABC中，由正弦定理，得/-=&,所以如&=幽 sin C sin B sin B AC5分（正弦定理2分）故 3 cos B = 33 ,解得 cos B =11 57014(2)在 AABC 中，由余弦定理，得 AB2 = BA2+BC2-2+BA BC，cosB8分（余弦定理2分）即 52 =32 - BC2 -2 BC 11 ,解得 BC = 7,14115 3由 cos B 一,可得 sin B,141410分1所以 S ABC = BA BC sin B =14412分19. （12 分）如图所示，平面PAB_L平面ABCD ,四

14、边形ABCD是边长为4的正方形，/APB = 90） M, N分别是CD, PB的中点。（1）求证：CN乙：平面=PAM ;（2）若直线PA与平面ABCD所成角等于60,求二面角M - AP-C的余弦值【命题意图】本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质、直线与平面所成角及二面角的求解及空间向量的坐标运算基础知识； 考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力；考查化归与 转化思想、函数与方程思想等；体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注。【试题简析】证明：（1）取线段AP中点E ,连结EN, EM，因为E, N分别是PA、PB的中点。1所以 EN，1 :

15、 AB 且 EN = AB , 一2正方形ABCD中，M是CD的中点，所以CM ；：AB且CM =1AB, 一2所以 CM L：EN 且 CM =EN ,故四边形CNEM为平行四边形,从而CN M me ,又因为CN辽平面PAM , ME u平面PAM ,所以CN乙：平面PAM。(2)过 P 作 PO _L AB 于 O因为平面PAB _L平面ABCD,平面PAB Pl平面ABCD = AB, PO二平面所以PO _L平面ABCD ,又POAp|平面ABCD = A,从而AO为直线PA在平面ABCD内的射影,故/PAO为直线PA与平面ABCD所成角，所以/PAO = 60。如图，以O为坐标原点

16、，分别以过O点点且平行于AD的直线、OB,OP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz ,则 A(0, -1,0 1 P (0,0,73 ), M (4,1,0 ), C(4,3,0),aM =(4,2,0 IAP(0,173 ),AC =(4,4,0 ),设m = (x1,y1,4 ), n = (x1,y1,z1 )分别为平面APM和APC的法向量,m AM =0则 Im AP = 04Xi 2y1 =0，即 1厂，Y 、，34=0令 y1 =2由得 m=(一2 志,一2 ),10分n AC =0 口 4x2 4y2 =0:厂厂一 ，即，令 y2= V3得 n =(-v3,

17、v3, -1 )n AP u0y2 3z2 =011分（注：求第一个法向量2分，第二个法向量1分.）m n 3 6 2 11 133cosm,nm| |n7.1913312分所以二面角M -AP -C的余弦值为 M33。133(12 分)已知 AABC 中，B(-1,0 % C(1,0 ), AB=4,点 P在 AB上，且/BAC=/PCA。(1)求点P的轨迹E的方程；3(2)若Q(1,3),过C的直线与E父于M, N两点，与直线x = 4父于点K ,记QM ,QN,QK的 2斜率分别为K,k2,k3,求证：为定值。 k2 - k3【命题意图】本小题主要考查椭圆的定义和几何性质、 直线与圆和椭

18、圆的位置关系等基础知识， 考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想 等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等 素养的关注。【试题简析】解：(1)如图三角形 ACP中，/BAC=/PCA,所以PA=PC. TOC o 1-5 h z 所以 PB+PC=PB = PA=AB=4,2 分所以点P的轨迹是以B, C为焦点，长袖为4的椭圆(不包含实轴的端点)，3分22所以P的轨迹E的方程为L+L =1(x2 )。4分43注：答轨迹为椭圆，但方程错，给 3分；不答轨迹，直接写出正确方程，得 4分(x#2未写 出，这次不另外

19、扣分)。(2)如图。设 M (x1，y1)，N (x1，y)，可设直线 MN 方程为 y = k(x-1),则 K (4,3k),5 分 22x y .一工=1, 43y =k(x1),xi “2=4, 4k2 34k2-12x1 x2 =24k2 3k1x1 - 1x1 - 1,3,，k - -, k2 k2 x1 -132 x1 -13k1 二2kx1 -110分k1132 一2 x1 -1,13k1 一 二-,2 2 x2 -1e 位3 113(x1 + x2 - 2)因为(k1 -k3 )+(k1 -k3 ) = 1 - =1 - 12 0-1 x2-1,2 x1x2-(x1+x2 )

20、+1_8kL_23 4k2 32 4k2 -128k2)22 14k2 3 4k2 3所以kL = _1为定值。k2 一 k312分注：通过特殊直线分别求点坐标、线斜率，求得k - k 3 k2 _ k3=-1,只能得2分；没有任何理由，直,可得(4k2+3 M-8k2x + (4k2-12 )=0 ,接写 出此上=1,只给1分。k2 - k3(12 分)已知函数f x =aex xln x 11 (1)当a=1时，证明仪)在(0,代理调递减;e与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素

21、养【试题解析】 TOC o 1-5 h z 解法一：(1)当 a=l 时，f (x )=lex+xln x+1 , f x )=ex，+lnx + 1, ee令 g (x )= f x )=ex，+ln x+1(x a 0 ),则 g(1)=0,2 分g(x )=毋+1在(0,y M为减函数，且g(1)=03分x令gx)=0,得0 cx 1,所以g(x)的递增区间为(0,1)4分同理，可得g(x )的递减区间为(1,收)，5分所以 g(x)wg(1) = 0 即 f(x)w0,故f (x械(0,代浮调递减。(2)由(1)得a=时，f(x )4 (0,y )单调递减，又f(1)=0, e1 .一

22、、所以a = -1时，f (x )有一个零点。e因为f (x定义域为(0* ),故工区与f (x)有相同的零点，xx人 f xaex1 a x-1 ex 1 1 x -1 ae 1 TOC o 1-5 h z 令 h (x )=+ In x + ，贝U h(x )=2十一 一二=2，x xxx x xxi)当 a 之0, xw(0,1 附，h(x)0,所以 h(x in =h(1 )=ae + 1 0 , h(x )无零点，f (x )也无零点,11ii)当一一 a 0 ,当Ma_J2时， e e TOC o 1-5 h z e22 e2, 2 a e _ 2 e e _2e2_4_N-h e

23、 =2 e :二2 e - -e 2 e 0ee1-1 c .-1 o-a e 时，e a (-), eaa,1.1.12111h(-);a e a ln( -) -a =-aae a -ln( -) 1 aaa a1 311 -aa() -( -1) 0 aa a故h(x)有一个零点，f(x)也有一个零点。11分综上可知，当a之0时，f(x)无零点；一 1当-Ma 0时，f(x府一个零点12分e解法二：(1)当 a =-1 f (x )= 1ex = xln x+1 , f(x )=-ex，+ In x+1 , e e1分 TOC o 1-5 h z 下面先证明ex之x，lB成立：(或先证明

24、xiInx+1亦可)2分令 g(x )ex，x,则 g (x ) = exT ,由 g 0,所以g(x-,1)为减函数,在(1,收)为增函数，所以g(x min =g(1 )=0 ,得证ex，x恒成立。4分由ex1之x ,得x =e1nx*/2ln x+1 (或两边取对数得xTInx,所以 f (x A x +lnx +1 -(ln x+1 )+ln x+1 = 0 ,所以f (x底(0,收)单调递减。6分(2)同解法一(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 .选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，直线l过点P(0

25、,m)且倾斜角为45。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C : p2 20cos日1 =0(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l曲线C相交于A, B两点，且PA PB =2,求直线l的直角坐标方程。【命题意图】本小题主要考查圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线的参数方程及参数的几何意义、直线与圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，考查函数 与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，体现基础性与综合性，导向对发展直观想象、 逻辑推理、数学运算等核心素养的关注。【试题简析】 解法一：(1)由 p2=x2 十y2, pcos=x得，曲线C的直角坐标方程

26、为x2 + y2 -2x-1 =0 ,x =t,(2)直线l的参数方程为22_(t为参数)，y = m会将其代入曲线C的直角坐标方程得t2+(72m-72)t+m2-1 = 0,设Gt是方程的两个实数根，贝 A2m2 -4m +6 a 0 即一3 m 1,且 11t2m2 1 ,由 t的几何意义得， PA，PB = t1 -t2| =t1| -t2 Tm2-1 =2 ,所以m2=3或m2=-1 (舍去)，又因为-3 m 0 得 -3 m1,且 x1x2 =,2又因为 PA =(Xi -0 2 +(yi -m 2 = Jx； + x2 =V2|xi ,PB = X(X2 0 J+( V2 - m

27、)= JX2 + x2 = 21X2 , TOC o 1-5 h z 由 PA PB|=2得2x1X2 =2,即 m2-1 =2,7分又因为-3m1 ,所以m =杂。9分故直线l的直角坐标方程为y =x照即x y通=0。10分解法三：(1)同解法一；(2)曲线 C: x2+y2 -2x1 =0 与 y 轴的交点为 C(0,1),D(0,1)4 分 由平几知识可得 PC PD =|PA|PB =2 ,所以 m+1|m-1| =2,解得 m2 =3, m = 土出。6分当m=阴时，过点P(0, m)且倾斜角为45的直线l与C没有交点，不合要求；7分当m =-褥时，过点P(0, m )且倾斜角为45

28、的直线l为x-y-73=0,因为圆心(1,0 )到直线l的距离d =：二、.2 = r (半径)，直线l与C相交，满足题意,所求直线l的直角坐标方程为x-y-V3 = 0010分23 .选修 4-5:不等式选讲(10分) 已知函数f(x)=x+a ,其中a 00(1)若a = -1,求不等式f (x)+f (x+1)2的解集；(2)若不等式f (乂)-3乂0解集为*至1,求a的值。【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式的解法、不等式解集的概念、绝对值的意义等基础 知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现 基础性与综合性，导向对发展逻辑运算、数学运算、直观想象等核心素养的关注。【试题简析】解法一：(1)若a = T , f (x )=|x-1 ,贝U f (x )+ f (x + 1 )2即 x-1 +|x 2 ,1分1当xW0时，原不等式等价于-(x-1)-x2,解得-lxW0,2分2当0 x1时，原不等式等价于-(x1)+x2,即12, 结合0 x1,知此时不等式的解为0 x1;当x之1时，原不等