福建厦门2016届高中毕业班第一次教学质量检测数学理试题

1、厦门市2016届高中毕业生第一次质量检查数学(理科)试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120 分钟。第I卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.设集合 A = x|1 x4 B =，|x2 -2x-30,则 A，(CrB)=A.(1,2)B.(1,3)C.(1,4) D.(3,4).欧拉公式eia=cos0 + isin 6(e为自然对数的底数，i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，e5+1 =0被英国科学期刊物理世界评选为十大最伟大的公式之一，根据欧拉公式

2、二可知，复数e 6的虚部为 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document .1 .11A.一一iB. iC.- -D. HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 2223.函数f(x)=sin cox +- A0 )的最小正周期为n,则f(x )的单调递增区间可以是6；D.fn 2a,6 3；冗兀） 5冗5冗）5冗11立）A. -,一 B. -, C. , 3 6 J 12 12 J12 12 ）x - 0.已知x,y满足不等式组x y + 2W0,则z= （x-12+y2的最小值为 2x

3、+ y -5 0A. 32B. 9 C. . 5 D.522.甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5,0.12 ),如果零件尺寸在(N-3b, N + 30)以外，我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况.现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：则以下判断正确的是A.甲、乙两厂生产都出现异常B.甲、乙两厂生产都正常C.甲厂生产正常，乙厂出现异常D.甲厂生产出现异常，乙厂正常6.已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4,点(1,-J3施双曲线的一条渐近线上,则双曲线的方程为2a. y2=132y 2.B. - - x =132C.122=1422y x /D.- - 二141

4、27.在右侧程序框图中，输入n=5,A.3 B.4 C.5D.6按程序运行后输出的结果是2x,x 08.已知 f(x)= 1，若 f(ct )=1,则 f(f(ct-1)=x3,x 0A. 或 1 B. 1或 1 C.1222D.19.已知(1 +x 1 -ax)展开式中x2项的系数为21,则实数a =75 7B. - C.1 或-D.-1 或 7510.一个几何体的三视图如右图所示,8A.二一3B. - 8 C. - 83 3则该几何体的体积是二 8D. 一 11.已知椭圆22二十上_=1的右焦点为F,95P是椭圆上一点,点Afo,2v3 1当 MPF的周长最大时,APF的面积等于11.3A

5、.421.311B.C. 421D.412.已知点列An(an,bn Jn N *谡函数 y = ax(a A0,a =1)图像上的点，点列Bn(n,0腐足AnBn =人80十| ,若数列 匕中任意相邻三项能构成三角形三边，则 a的取值范围是c5 -1A. 0 :二 a :25-1，B.:二 a 12,5 1或 1 :二 a :二2.3 - 1C. 0 :二 a :二2或a l.12t第7剧3 - 1D. a1 或 1a0)则a的取值范围是。三、解答题：本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。.(本小题满分12分)在AABC中，点D在BC边上，已知2.5cos CA

6、D =,COS. C53.1010(I )求/ADC ；(11)若人8=媪痛，CD=6,求BD.(本小题满分12分)如图，直三棱柱 ABC-AB1G 中，AB_LAC, AA = AB = AC,D是AB中点.(I)记平面B1clD 1平面AC1CA = l ,在图中作出l,并说明画法；(n)求直线l与平面BGCB所成角的正弦值.(本小题满分12分)已知一种动物患有某种疾病的概率为0.1,需要通过化验血液来确定是否患该种疾病，化验结果呈阳性则患病，呈阴性则没有患病，多只该种动物检测时，可逐个化验，也可将若干只动 物的血样混在一起化验，仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性，若混合血样呈

7、阳性，则该组血样需要再逐个化验.(I )求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率；(n )现有4只该种动物的血样需要化验，有以下三种方案方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：混合在一起化验.请问：哪一种方案更适合(即化验次数的期望值更小).(本小题满分12分)5 已知抛物线y =2px(p0比一点M(t,8)到焦点F的距离是一t.4(I)求抛物线C的方程；(II )过F的直线与抛物线 C交于A,B两点，是否存在一个定圆与以 AB为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由 .(本小题满分12分)已知函数f(x)=lnx,g(x屁f(x)的反函数.八， 一 .12(I)

8、求证：当 x 之0 时，f(x+1)之-x +x；2(n )若g(x )+g(-x A2g(mx2附任意xw R恒成立，求实数 m的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。.(本小题满分10分)选彳4-1:几何证明选讲如图，点 A在。上，过点 O的割线PBC交。于点B,C,且PA=4,PB=2, OB=3, / APC的平分线分别交 AB, AC 于D , E.(I )证明：/ ADE= ZAED ;(n )证明：AD ,AE =BD CE .(本小题满分10分)选彳

9、4-4 ：坐标系与参数选讲已知曲线C的极坐标方程是 P-4sin日=0 .以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M(1 , 0),倾斜角为3-.(I )求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；(n)设直线l与曲线C交于A、B两点，求MA + MB .(本小题满分10分)选彳4-5:不等式选讲 已知函数f(x)= x2 .(I )解不等式f (x )+ f (x +1庐5 ；b、(n)若 a 1 且 f (aba f L 证明：b 2.+亭y A厦门市2016届高中毕业班第一次质量检查数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共12小题.每小题5分,共60分.15： D

10、CADD 610： BCADA 11-12： BB11.提示：A4PF的周长=|4F|+|回+|PF| = |1 + 2a-|阴+|回.要使周长最大，即|初一|尸产最大，如图，当4, P，户三点共线时取到.由4(0,2扬，。=2,宜线4P领斜角为三，F下殁,12.提示：由已知得，4 =2 + 127由鹿意2.1，解1 +J5, J5-1,同理 0avl 时，a 0,。工 1 时，g(x) = a(x-1)过点(2,2In2)时与h(x) = xlnx有 2 个交点， 要使g(x) = a(x-l)与/(x) = xlnx仅有 1 个交点，a 2 21n 2.综上所述：a的取值范围是aN21n2

11、或a = L三、解答题：本大题共6小时.共70分.(本小题满分12分)解法一：(I)在A4DC中,ACAD. NCw(Ok), 16.1 或 a221n27,第15题Msxhx第16a./2石 、3710. 75 o. _ M cosZC4D =,cosNC = smZCAD =,sinZC = ，510510 cos ZADC = -cos(ZC4D + ZC) = - cos ZC4Dcos ZC + sin ZC4Dsin ZC2旧 3M 4s Vio 725105 102 , 3又4DCw(0,i),所以ZJOC = 一： 6 分4(II)在4?C中，由正弦定理得，4D = 变型4 =

12、 3播.8分sin ZCAD在48。中,NADB = 7c-/ADC = E,-9 分4/y由余弦定理得，IO = BD? + 18-2 3斤 BD拳， 1。分高三数学(理科)试题参考解答 第1页(共8页)由余弦定理得(6-|尸尸1)2 =|尸产f+6 + 4|尸产1 ,解得卢户1 =(,化简得必-660 + 8 = 0,解得8。= 4或8。= 2,综上所述,BD = 4或BD = 2.12分解法二：(I)同解法： TOC o 1-5 h z (II)在XZX7中，由正弦定理得./。=竺二把0 = 30, 8分sin ZCAD在彳8。中.乙4DB = 7T-，ADC = E. 9 分410分1

13、1分小市共力的也 n AD-sin ZADB 3如 n 710 由正弦定理得，sin8 =, /.cos = ,AB 1010当cos8 =噜时,cos/A40 = sin(4 + 408) =手,由余弦定理得，5D2 = 10 +18-2710-3- = 16, BPBD = 4；当 cos8 = 时，cos /.BAD = sin(+ ZADB) =,105由余弦定理得，BD2 = 10 + 18-2晒 3& 半 =4,即8 = 2,综上所述，BD = 4或BD = 2.12分区(本小也满分12分)本小题主要考查空间线面间的位置关系和出线与平面所成的角：考查空间想象能力, 及公理定理的应用

14、;考查运算求解能力及化归的思想方法.3分6分7分作法一解法一：(I)所作直线,如图所示.取4C中点E,连接ED,C、E,则直线G即为/.(II)取8C中点G,48 = 4C./GL8C,取CG中点，连接上，则E /1G ,从而E/J.8C.v B.B 1 ABC.B.Bu 面5田。6，.面彳8C1 面B/CC,又面46Cn面用8CG = BC,EH u 面C,EH LBC. TOC o 1-5 h z ；EH上面3tBe8分连接G，则NG，/即为所求/与平面BCB所成角.9分令4彳N87C =2,在&AGCE中,C = 1,CG =2,. .GE = 6,1。分 又 EH = 1 4G =也，

15、在 RACHE 中,sin ZECN =些=叵.2211 C.E 1012分即直线/与平面4GC8所成角的正弦值为亚 1 110解法二：(I)延长耳。与4彳交干尸，连接G尸交彳c于点, 则直线G(MC.F)即为/.(11) -/。是/s中点,/。44，？!是透尸的中点， 又彳4G，故E为AC中点.分别以4B,44，/C为x,y,z轴，建立空间之间坐标系,如图.7分令4/二 48 二彳 C = 2，则有 8(2,0,0),4(2,2,0)9C(0,0,2)，G(0,2,2),E(0,0,l).乖=(0,2,1),瓯=(0,2,0),前=(-2,0,2).设平面4GC8的法向量为G=(xj,z).

16、高三数学(理科)试题半才解答 第2页(共8页)n - BB. = 2 v = 0,一:, 可取=(1,0,1),n-BC = -2x + 2z = 0,设/与平面4GC8所成角为氏 12分I CE-n 1710即真线I与平面BgCB所成角的正弦值为有如卜瓦上谓甲忑耳二而 （注意不同建系所求的法向量不同）19.（本小网满分12分）本小题主要考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础 知识，考查运算求解能力、分析问题和解决问题的能力及应用意识：考查化归与转化、分类讨论思想. TOC o 1-5 h z 耨：（I ）设J为2只该种动物中血液呈阳性的只数，则68（2,0.1），1分这

17、2只动物中只要有一只血样呈阳性，它们的混合血样呈阳性，所求的概率为尸（421） = 1-24 = 0）=1（1-0.1）2 =0.19.答：2只动物的混合血样呈阳性的概率为0.194分（II）方案一：4只动物都得化验，所需化验次数为4次.5分方案二：设所需化验的次数为X则X的所有可能取值为2, 4. 6： 6分PX = 2） = 0.81x0.81 = 0.6561, P（X = 4） = 2x0.81x0.19 = 03078，P（X = 6） = 0.19x0.19 = 0.0361：8 分所以 = 2x0.6561+ 4x0.3078 + 6x0.0361 = 2.76： 9 分方案三：

18、设所需化验次数为匕则丫的所有可能取值为1, 5；由于4只动物的混合血样呈阴性的概率为0.9, =0.661, 所以P（y = 1） = 0.6561,= 5） = 1 -0.6561 = 0.3439 , iq分、.所以 Ey = 1X 0.656 l + 5x 0.3439 = 2.3756 ：二1 i 分因为2.37562.764,所以4只动物混合在一起化验更合适.12分20.（本小题满分12分）考查抛物线的定义与焦半径的知识，焦点弦的性质，利用待定系数方法探究存在性 问题,可以较好的考察学生的数学思维能力，数形结合能力及逻辑运算能力。解法一：（I ）由抛物线定义得I河川=1 +与，又|M

19、尸| =+ =即t=2p, 2分.M(2p,8), M(2p,8)在抛物线 / =2px 上，.p2 =16,3 分解得P = -4 （含去）或P = 4,所以抛物线E的方程为/=8x. 4分（II）当直线/的斜率存在，设直线/的方程为V = A（x-2）,I与抛物线交于点4玉,必）,风，必），y = 4(x-2),联立彳2化简得公，-(4公+8)刀+ 4/=0.y =8x, TOC o 1-5 h z 显然A。，玉6分k21c +44设48的中点为M,则=上(玉+与)=-2)=万， 7分2kkQ +x2 + p = 8 + , 8 分高三数学（理科）议题参考解答 第3页（共8页）设圆的方程为

20、(x-a)2 +U-b)2 =产.2k2+4 $ ,4 &、2 /公+4 、2 TOC o 1-5 h z A (T5。)+(7-6) =(厂)，9分kkk，回泻产+(23+/=目泻+ (4”32-8a = 32- 8r,a = 3,/. Sb = 0,解得 0,必+必=8根，7分设的中点为”,则=；(乂+%)=4叫x“ =mW+2 = 4m?+2 , 8分MM =玉+p = 8m?+8 , 9 分由抛物线的对称性可知，若定圆存在其圆心必在x轴上，设圆的方程为(x-a)2+y2=/,/. (4m2 + 2-a)2 + 16m2 =(4m2+4-r) 10 分. 32 弋=32-8：解得 1(2

21、-4 =(4-,A (32 - 8a)m2+(2- a)2 = (32 - 8r)m2+(4- r)2,飞H分r=3,所以定圆的方程为(x-3)2 +/ =9.12分高三数学(理科)试题系考解答 第4页(共8页)解法三：（I）同解法一：（H）当直线/的斜率存在,设直线/的方程为卜=K0-2）,与抛物线交于点4（玉，必）,6（七,必），2化筒得二- -(4公+8口 + 4/=0,y =16x, TOC o 1-5 h z 显然A。，x+马=竺二?,6分rV12k +44设48的中点为A/,则Xm=L（*+X2）=52，% =H%-2） = 2,7分 2A火Q|/必=+9 + = 8 +/，由抛物

22、线的对称性可知，若定圆存在其圆心必在x轴上,设网的方程为。一。）2+/=/，.J竺:廿-。）2+匕=（竺? 一,）2,9分 k k k，罕明岭尸=厘+ （4 A10分11分32= 32-8：解得，=3,(2-。)2=(4-，)2,上=3,定圆的方程为（x-3）2+9 =9 ,当直线/的斜率不存在,以48为直径的咧的方程为。-2）2 +/ = 16,该网也与定圆（x - 3）2 + / = 9内切,综上所求定圆的方程为（x-3f +./ =9.12分21 （本小题满分12分）本小题主要考皆学生利用导数研究函数的单调性、解决与不等式有关的参数范围和 证明问题：考查函数与方程、污化与化归思想,分类与

23、整合思想：考杳运算求解能力、推理论证能力， 创新意识.解法一： TOC o 1-5 h z I1x2(I )设力(x) = ln(l + x) + QX，-x(xNO),则分(x) = j + x-1 = -0 . 2 分所以(x)在0,)上单调递增.所以为(切2%(0) = 0, 3分所以ln(l + x) + ；x2-xN0,即当xNO时，/(x + 1)N-gx?+x.4 分(II)因为/(x)=lnx, g(x)是/(x)的反函数，所以g(x) = e”,5 分g(x) + g(-x)42g(mx2)等价 f 2e 2/即e2x+l.设。(x) = g(x)+g(7)-2gW则(-x)

24、 = g(-x)+g(x)-2g(mx2) = e(x),即函数o(x)是偶函数，所以对任意x 6 R恒成立等价于e(x) 4 0在0,长。)上恒成口 :6分高三教学（理科）试题参考解答 第5页（共8页） TOC o 1-5 h z 令x = l得2626 + -2,所以m0.7分e 1I 2I 当加时，设尸(x) = 2/ -e2，_(x20),则尸(x) = 2(l + x)-x.由(I)得当 x?0 时，ln(l + x) + gx2-x20,即 ln(l + x) + gx2+x2 2x, 所以(l + x)e2“2e2x,即(i + x) JHPF*(x)O, 8分即产(x)在0,+

25、8)上单调递增，所以*x)2(0) = 0,即当x20时，2e/2e+e7,所以2g(府？) = 26/22e212，+，恒成立，符合题意. 9分当0m1时，设G(x) = e*-x-1,则G(x) = d- 22m2m当0 xv ln2m时G(x)0,所以G(x)在(0,-ln2m)上单调递减,所以 G(x)vg(0) = 0,所以当 0 x/-In 2mrv时 0 nix2 - In 2m ,所以 G(m?)0,即 6用：；/+,所以勿1，/+2, 10分设(x) = e、eT-x2_2,则(x) =，-2- H(x) = -222-2 = 0 ,则(x)在0,+8)上单调递增，所以，。)20.所以，(x)在0.+8)上单调递增.所以(x)N(0) = 0即+11 分所以当0 xvJ二时， 0 , 所以加0.7分2设 /(x) = mx2 - In 一一 , 则(p(x) - 2mx - = 2mx -1 + ；-.,(X)= 2mr = 2m-r (e2x +1)- zn-)， 8 分 e+炉 e+i)2 卜2、, f 、)(1)当m2；时，设(e2rlym_26”；(62、+1)2_202，=；(/*_1)2 20,所以，(x)20,所以。(x)在/?上单调递增，所以，当xe(7o,0时ex)4d(0) = 0 ,当xw0,xo)时d(x)2d(0)