浙江省湖州市2020届高三上学期期末考试数学试题(解析版)

1、1.、选择题若集合 AA.1,22.已知复数 zA.3.已知等差数列A.-44.A.5.A.C.6.2019 学年湖州高三期末教学质量统一检测卷试题x|1 x4 2i1 2i2 ，集合 B x|2 2x 4 ，则 AUBB. 1,2C. 0,2i 为虚数单位) ，则复数 z 的模 z (B. 2C. 2D.0,2D.an 的公差为2，若 a1， a3， a4成等比数列，则a2B.-6C. -8D.-10实数 x、y 满足约束条件2,2B.0 ，则目标函数 zy1x0 的取值范围是 (若 x R ，则“充分不必要条件充要条件已知双曲线x216两点.若PQ长为 5，则A.137.已知离散型随机变量

2、A.D 减小C.D 先减小后增大8.已知函数 f xm 的取值范围是(2 U 2,C.2U 2,D. 2,21 ”是“ x1”的(B.D.必要不充分条件既不充分也不必要条件1的左、右焦点分别为PQF1 的周长是B. 182x满足二项分布且x2,x 0F1，C.F2，过 F2的直线 l 交双曲线于 P ，21D. 26B 3, pB.D.，则当 p 在 0,1 内增大时，(增大先增大后减小1,xx，若函数 g xfxx m 恰有三个零点， 则实数0,A.,214,0B.2,U 0, 14C.2, 14D.14,2U 0,9.已知实数 a ，b ， c 满足2 2 2 a b 2c1 ，则 2ab

3、c的最小值是（A.B.C. -1D.10.在三棱锥 SABC 中，ABC为正三角形，设二面角S AB C ，S BCA，CA B 的平面角的大小分别为，则下面结论正确的是（A.11 1 的值可能是负数tantantanB.C.1 D.tan1 tan1 的值恒为正 tan二、填空题11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3 ，表面积2cm .12. 二项式 x6的展开式中常数项等于，有理项共有项.13. 已知直线 xmy2x2 m R 与椭圆92y5 1的相交于 A，B两点，则 AB 的最小值为；若AB30 ，则实数 m 的值是72 2 2 tanC14. 设 A

4、BC的三边 a ， b ， c所对的角分别为 A，B，C.若b2 3a2 c2 ，则 tanB， tan A的最大值是 .15. 现有 5个不同编号的小球， 其中黑色球 2个，白色球 2 个，红色球 1个，若将其随机排 成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是 .216. 对任意 x 1,e ，关于x的不等式 xlnx a2 ax alnx a R 恒成立，则实数 a的取值范围是17. 正方形 ABCD的边长为 2，E，M 分别为 BC ， AB的中点，点 P是以 C为圆心， CE为半径的圆上的动点，点 N 在正方形 ABCD 的边上运动，uuuur uuurPM PN的最小值是三、解答题118

5、. 已知函数 f x sin x sin x x R .341)求 f 的值和 f x 的最小正周期；32)设锐角 ABC的三边 a，b ， c所对的角分别为 A，B，C ，且 f求bc 的取值范围 .2)若二面角 D ACAD CD ， AB BC4 2， ABBC.B的大小为 150 且BD 4 7时，求 BCD的中线 BM与面n 2 Sn ， n NABC 所成角的正弦值 .20. 已知 Sn是数列 an 的前 n项和，已知 a1 1且nSn 11）求数列 an 的通项公式；2）设 bn1 n 4an124n2 1整数 n 的最小值 .*1N* ，数列 bn 的前 n 项和为 Pn，若

6、Pn 1 ，求正 n n n 2020221. 已知点 F 是抛物线 C ：y2连接 PF 交抛物线于另一点4 x的焦点，直线 l 与抛物线 C 相切于点 P x0, y0 y0 0 ，A，过点 P作 l 的垂线交抛物线 C于另一点 B.）若 y0 1，求直线 l 的方程；）求三角形 PAB面积 S 的最小值 .222. 已知函数 f xloga xx ln x ， a 1.1）求证： f x 在 1, 上单调递增；2）若关于 x 的方程x t 1 在区间 0,上有三个零点，求实数 t 的值；3）若对任意的 x1, x2 a 1,a ， f x1f x2e 1恒成立（ e为自然对数的底数）求实

7、数 a 的取值范围参考答案、选择题6-10：DDABD1-5： BCBCA方法提供与解析： 解析 1：（集合运算）B x |1 x 2 ， AU B1,2 ，故选 B .方法提供与解析： 解析 1：（复数的运算）4 2i 4 2i 1 2i z1 2i 1 2i 1 2i10i2iz 2 ，故选 C.方法提供与解析： 解析 1：a1a2 2 ， a3a2 2 ， a42a2 4，又 a1， a3， a4成等比数列，则 a3 a1a4，代入解得 a2 6 ，故选 B.方法提供与解析：解析 1：11C.取点 1,2 ，可得 z 2，排除 A，B，取点 1 ,1 ，可得 z 3，排除 D，故选22方

8、法提供与解析：解析 1：由 x3 1得 x 1，由 x 1得 x 1 或 x 1，故选 A.方法提供与解析：解析：（第一定义）由双曲线的第一定义： PF1 PF2 8 ， QF1 QF2 8，两式相加可得：2 PQ 得：PF1 QF1 QF2 PF2 16 ，即 PF1 QF1 PQ 16 ，等式左右加上 C PQF1 16 2 PQ 26 ，故选 D.7. 方法提供与解析：解析：（结论）易知 f p D 3p 1 p ，当 p 在0,1 内增大时， D 先增大后减小，故选 D.8. 方法提供与解析：解析：（数形结合）由已知条件可转化为 y1m 两个函数恰有三个交点，当直线与左侧曲线9. 方法

9、提供与解析：相切 m 2 ，当直线与右侧曲线相切 m1 ，直线过原点 m40 ，故选： A .解析：（基本不等式和函数）由 a2 b2 2 ab ，求 2ab c 的最小值，则 ab 0 ，即2 2 2 2 9 1 7a2 b2 1 2c2 2ab 2ab c 2c2 c 1 ，此时 c ， ab ，所以 8 4 1692ab c 的最小值是为 ，故选： B.8方法提供与解析：解析： A、D选项非此即彼，排除 B、C（后面讨论涉及 B、C分析） .记 O为点 S在平面 ABC的投影，则如图（4），O可能落在 7 个区域，根据正三角形对称性，只需分析落在区域 7，4，5分别与图（ 1）、（ 2）

10、、（ 3）对应 .图（ 1）：若S接近 O，则10 ， C 错。显然此时 1 tan110tantan图（ 2）：如图，可得111 d1d2d33（证明见附证1）tantantanSO0图（ 3）：如图，可得111 d1d2d33（证明见附证2），另外，tantantanSO0此时 S接近 O，则2，B 错，综上所述，答案为D.S ABC附证 2：如图设 AB 2 ，则 312AC d11 BC d2 1 AB d32 2 2 3111S ABC AC d1BC d 2AB d3ABC 2 12223d1 d2 d3 3 .、填空题13. 10 ；314. -2；76 8 2 12. 15 ；

11、 417. 1 5215. 16. 1511. 方法提供与解析： 解析 1：（三视图） 解：如图，该几何体是正方体割去一部分，该几何体的体积为 14 4 56， 表面积为 14 2 4 4 4 2 2 4 76 8 2.方法提供与解析： 解析 1：（二项式定理） rr 6 r 1 r 6 3r因为 Tr 1 C6r xC6r x 2 ，x当 r 2 时，常数项等于 15 ；当 r 0,2,4,6 时，为有理项，所以共有 4 项 .方法提供与解析：解析 1：（直线与圆锥曲线位置关系）22将 x my 2 m R 代入 x y951得，5m2 9 y20my25 0，设 A x1,y1 ，255m

12、2 920mB x2,y2 ，y1 y22， y1y25m 9则 AB 1m220m5m2 9245m225930 15m2m210所以最小值为 ；3若 AB1.30，则 m7方法提供与解析： 解析：（正余弦定理）由余弦定理，得 c2a2 b22ab cos Cb23a2，化简得 ab cosC .由正弦定理，得 sinAsin B cosCsin B，化简得 tanCtanB2，即tanC2tan B .所以 tan A tan B CtanB tanC tan B21 tanBtanC 1 2 tan2 B，由对勾函数或基本不等式易得，当tan B22 时，tan A 有最大值，2tanB

13、tanBtan Amax2 .故分别填4-2与2.4方法提供与解析：解析 1：（分类 +捆绑 +插空法）5 个不同编号的球排成一列，共 5! 120 种排法 . 根据红色球是否在黑色球中间分成两类讨 论. 红色球在黑色球中间，则先排黑色球和红色球，再将白色球插空，共A22A42 24 种排法；红色球不在黑色球中间， 则必然有且只有一个自色球在黑色球中间， 先选一自色球排 在黑色球中间，再将这个白色球与黑色球捆绑，最后全排列，共C21 A22 A33 24 种，则相同48 22颜色的球都不相邻，共 120 48 24 48种排法，其概率为 P . 故填 .120 55解析 2：（排除 +捆绑 +

14、插空法）2 2 35个不同编号的球排成一列， 共5! 120种排法 .恰有一种颜色相邻， 共 2 A22 A22A33 48种排2 2 3法；恰有两种颜色相邻，共 A22 A22 A33 24种排法 .则相同颜色的球都不相邻，共 TOC o 1-5 h z 48 22120 48 24 48种排法，其概率为 P . 故填 . HYPERLINK l bookmark233 o Current Document 120 55方法提供与解析：解析 1：端点效应当 x1时，原不等式化为a2a，解得 0a1；当 xe时，原不等式化为 ea2aea ，因式分解为 a 1 a e 0，解得 1 a e.

15、综上， a 1（一般而言，对选填做到这步 就足够了，但如果是解答题需要再加以验证 a 1是否满足要求才算严谨） . 再证明 a 1时 满足条件 .当a 1时，原不等式化为 xln x 1 x ln x，即需证 xln x x lnx 1 0 ，因式分解为x 1 ln x 1 0 ，对任意 x 1,e即实数 a 的取值范围是 1解析 2：因式分解，解一元二次不等式原不等式进行因式分解， 化为 x a ln x a 0，易知当 x 1,e 时有 ln x lnx a x .由x的任意性知 lne a 1，即a 1.故实数 a的取值范围是 1 17. 方法提供与解析解析 1：坐标法建立如图所示的坐标

16、系，则 B 2,0 ， C 2,2 ， M 1,0 ，圆 C 的方程为22x2 2 y 21，所以可设 P 2 cos,2 sin ，（1）当 N 在 AB 边上时，设Nx,0， 0 x2，则uuuuruuurPM1 cos, 2 sinPNx2cos , 2sin ，所以uuuuruuurPMPN 1cos x2cos2sin2 sin1 cos x1 cos2cos22sin21 cos1 cos2cos22sin54sin cos 5 17 ；（2）当 N 在 BC 边上时，设N2,y， 0 y2，则uuuuruuurPM1 cos, 2 sinPNcos, y 2 sin，所以uuuu

17、ruuurPMPN 1coscos2 siny2sin2 cos cos2 siny2 sin22 cos cos2 sin22 sin2cos2 cos2 sin222 sin1 2sincos 1 5uuuur uuur当 N 在 CD ，DA 边上时同理可得， 所以 PM PN 的最小值是 1 5（当且仅当x，故解得N 在 C 处，P在 P0处取到最小值）uuuuruuuruuuruuuuruuur uuurPMPNPCCMPC CNuuuruuuuruuuruuuur uuuruuuruuuuruuuuruuur1 5 01 5 （当且1PCCMPCCM CN 1PCCMPMCN仅当N

18、在C 处，P 在 P0处取到最小值）三、解答题18. 方法提供：解析：先利用两角和的正弦公式及降幂公式化简函数f x ，第二问可以用基本不等式求解解：由题1sin x sin x23 cos x cosx21 1 2 3 1 sin xsin x cos x4 2 2 41）2）cos2x43 sin 2x4sin 2x2612sin3 2 3 6sin A2611， A 0, ，所以 A ，4 2 3在 ABC 中，由余弦定理 a 222b2 c2 2bc cos A 可得：2 2 24 b2 c2 bc b c 3bc22 b cb c 3，即 b c 4 ，4又因为在 ABC中， b c

19、 2 ，所以，综上可得：b c 的取值范围是 2,4 .19. 方法提供：解析：（1）证明：取 AC中点O，连 BO， DO ， AD CD，AB BC，2 AC BO， AC DO， BO,DO 平面 BOD，且 BOI DO O ， AC 平面 BOD ，又 BD 平面 BOD ， AC BD .（2）由（ 1）知 BOD 是二面角 D AC B的平面角， BOD 150 ，又由 AC 平面 BOD 知平面 BOD 平面 ABC ， 所以在平面 BOD内作 OZ OB ，则OZ 面ABC ，可建如图坐标系， 又易得 OB 4，故在 BOD 中由余弦定理可得 OD 4 3，6,0,2 3 ，

20、于是可得各点坐标为 A 0, 4,0 ， B 4,0,0 ，C 0,4,0 ， Duuuur M 3, 2, 3 ， BM 7,2, 3 ，r又平面 ABC 的一个法向量为 n 0,0,1 ，所以直线 BM 与面 ABC 所成角的正弦值 sinr uuuur n BM r uuuur n BM3564228BOD 150法二：由（ 1）知 BOD 是二面角 D AC B 的平面角，作 DP BO 于 P ，则由 AC 平面 BOD 知 DP 平面 ABC ，且 DOP 30又易得 OB 4 ，故在BOD 中由余弦定理可得 OD 4 3，DP DO sin DOP又M 为DC中点，所以M 到平面

21、 ABC 的距离 d 1 DP23.4 7， DC8，BC 4 2 ， cos DBC2 2 2BD2 BC2 CD 22BD BC5 1428uuuur1uuuruuurBMBMBDBC2因为 BD所以直线1 uuur 212BDuuur uuur2 BD BCuuurBC2 14 .BM 与面 ABC 所成角的正弦值 sindBM3564228方法提供 :1）解析 1：（累乘法）由nSn 12 SnSn 1Snn2所以 n 2 时，Sn SSnn1 SSnn 12 L SS12 S1n1n1n1n2n34321nn1，Sn 1SnSn1Sn ，n2nn2n1n 1 n1nn1，所以Sn，所

22、以当n 2 时，22n，又 a1 1也成立，所以 an n .n n 1 又 S1 a1 1 也成立，所以 Sn2所以当 n 2时，an Sn Sn 1解析 2 ：（配凑常数数列） nSn 1 n 2 Sn故Sn为常数列，即SnS1n 1 n n 1 n 2 1an Sn Sn 1 n ，又 a1 1 也成立，所以 an n .nan 1解析 3：（直接求 an ） nSn 1 n 2 Sn2Sn ，所以 n 1 an 2Sn 1 ，两式相减可得 ann 1n 1 anan 1 an n 2 ，又因为 a2 n 1 n2 ，所以 an a2 1 ，即当 n 2 n2时， an n ，当 n 1

23、也成立，故 an n .2）解析（裂项相消） ：由上题可知 bnn 4n4 n2 12n 1，所以2n 1PnPn111n 1 n 1L115572n 1 2n 112019n，故 n 的最小值为 1010202021 13 131 2n 111 n 1 ，所以2n 1方法提供与解析：1）解析 1：1第（ 1）小题解析：由 y0 1得 P ,1 ，41设直线 l 的方程为 t y 1 x 1 ，41t y 1 x 2由4得 y2 4ty 4t 1 0 ，y2 4x因为直线 l 与抛物线 C 相切，故 16t2 4 4t 1 0 ，解得 t111故所求直线 l 的方程 y 1 x ，即 y 2x .2421）解析 2：第（ 1）1小题解折：由 y0 1得 P ,1 ，故切线直线 l 的方程 y0y42xx0 即y22）解析1：第（ 2）小题解