两个随机变量函数的分布课件(PPT 42页)

1、3.3 二维随机变量函数的分布已知（X，Y）的概率分布，求其函数Z= g (X,Y)的概率分布内容：要点：一、离散型二、连续型（和的分布）要求：掌握基本方法下页第1页，共42页。一、离 散 型例1 已知（X, Y ) 的联合分布律-1, 0, 2, 3, 5, 且求 Z = X+Y的概率分布.解： Z = X + Y 的所有可能取值为：PZ= -1=PX+Y= -1=PX= -1，Y=0=1/10PZ= 0=PX+Y=0=PX= -1，Y=1=1/20PZ= 2=PX+Y=2=PX= -1，Y=3+PX=2，Y=0= 3/20+3/10pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10Z -1

2、0 2 3 5 1/10 1/20 3/20 3/10 0 4/10-1 2 0 1 3XY问题：Z = XY 的的概率分布？下页第2页，共42页。例 2.解:所以下页第3页，共42页。下页第4页，共42页。二、连 续 型问题：已知(X,Y)的联合密度f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).x+y=z根据分布函数定义有对z求导，得Z的概率密度fZ(z)为 由对称性可得下页第5页，共42页。卷积公式：若X, Y相互独立，则 f(x,y) =fX(x) fY(y)，代入上式可得 例3设X和Y是两个互相独立的随机变量，且XN(0,1),Y N(0，1)，求Z = X +Y 的概率密度.解：由

3、于X、Y互相独立，由卷积公式下页第6页，共42页。 从而有，Z=X+YN（0，2）. 一般地（1）若X1 ，X2N ， 且X1、X2相互独立，则有 X1+X2N下页 （2）如果Xi(i=1,2,n)为 n 个互相独立的随机变量，且 ，则第7页，共42页。例 4.解:下页第8页，共42页。下页第9页，共42页。例5.解:下页第10页，共42页。下页第11页，共42页。解：用分布函数法例6.设X、Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的密度函数.现考虑f(x,y)0的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.当z2时，Fz(z)=1；下页当0z1时，第12页，共42页。解：用分

4、布函数法例6.设X、Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的密度函数.现考虑f(x,y)0的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.当10的区域与x+y z的取值，分四种情况计算.下页第14页，共42页。作业： 63页 18,19补充题：设X、Y相互独立，fX(x)和fY(y)如下，用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数.结束第15页，共42页。下页补充题：设X、Y相互独立，fX(x)和fY(y)如下，用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数.解:第16页，共42页。第四章 随机变量的数字特征何谓随机变量的数字特征？ 通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能

5、较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值.1. 数学期望的概念及性质；2. 方差的概念及性质；3. 常见分布的数字特征;本章内容：4. 协方差、相关系数的概念及性质.下页第17页，共42页。一 、离散型随机变量的数学期望引例有甲、乙两射手各射击100次，他们的射击技术用下表给出：4.1 数学期望问题：谁的射击水平高？解：“射击水平”一般用平均击中环数来反映. 所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可.下页第18页，共42页。引例有甲、乙两射手各射击100次，他们的射击技术用下表给出：问题：谁的射击水平高？解：“射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比

6、较即可.显然，甲射手的水平较高.下面再对“平均击中环数”的计算过程稍作分析.下页第19页，共42页。显然，“平均击中环数”，是各种环数以频率为权的加权平均.下页第20页，共42页。定义 设离散型随机变量X的概率分布为PX = xk = pk ， k =1,2,3若级数绝对收敛，则称级数为 X 的数学期望（或均值），记作E（X），即“平均击中环数”，是各种环数以频率为权的加权平均。下页第21页，共42页。例 1.此例说明了数学期望更完整地刻化了X的均值状态.下页第22页，共42页。例 2.下页E(X)=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分)第23页，共42页。（2

7、）旅客8：20分到达(须考虑其后的5班车)X的分布率为下页E(X)=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36)+70*(3/36) +90*(2/36) =27.22(分)第24页，共42页。常见分布的期望1) 0-1分布 概率分布为:X 1 0pk p 1-pE（X）= 1 p + 0 (1-p) = p 2) 二项分布 设随机变量XB（n，p），其概率分布为:下页第25页，共42页。常见分布的期望3) 泊松分布 设随机变量XP()，其概率分布为，k = 0,1,2,3,0下页第26页，共42页。例3. 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为

8、 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?解:设 X 为投资利润，则存入银行的利息为,故应选择投资.第27页，共42页。二、连续型随机变量的数学期望定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如果积分绝对收敛，则称积分值为X的数学期望（或均值）.记作E（X），即下页第28页，共42页。例4设随机变量X的概率密度为求X的数学期望解：E(X)= 0因为，奇函数在对称区间上的积分等于0.下页第29页，共42页。4) 均匀分布 设X Ua,b 概率密度为：常见分布的期望5) 指数分布 设X E() 概率密度为：下页第30页，

9、共42页。，（x+) 令 6) 正态分布 设XN（,2）概率密度为常见分布的期望下页第31页，共42页。 三、 随机变量函数的数学期望1. 如果X为离散型随机变量，其概率分布为 P X=xk = Pk, k =1,2,3,绝对收敛， E（Y）= E g(X) = 且级数则有下页例5. 已知X的概率分布为 X -1 0 1 2 5 P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25令Y=X2 ，求E(Y)。解：E(Y)=g(-1)*0.3+ g(0)*0.1+ g(1)*0.2+ g(2)*0.15+ g(5)*0.25 = 1*0.3+ 0*0.1+ 1*0.2+ 4*0.15+ 25*0.25

10、=7.351*0.31*0.2第32页，共42页。 三、 随机变量函数的数学期望2. 如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，且积分 绝对收敛， 解：则有例6已知连续型随机变量X的概率密度，试求Y=|X|的数学期望。下页第33页，共42页。3. 如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为 P X=xi Y=yj = pij i , j =1,2,3,则Z=g (X,Y)的数学期望为下页例7. 设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125 = 20.12

11、5 + 30.25 + 50.5 + 60.125 = 4.25解:第34页，共42页。4.如果(X,Y)为连续型随机向量，其联合概率密度为f(x,y)，则Z=g (X,Y)的数学期望为特别下页例8设二维随机向量（X，Y）的概率密度为试求E(X)及E(XY).解:y=2(1-x)第35页，共42页。 例9. 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X (单位：t )是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?解: 设每年准备该种商品a吨,年利润为Y (大写字母)得到平均

12、利润为则利润为下页第36页，共42页。解:利润为得到平均利润为当a= 2400时， 取到最大值，故每年准备此种商品2400 t，可使平均利润达到最大 例9. 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X (单位：t )是随机变量，它服从1200，3000上的均匀分布若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?下页第37页，共42页。四 、 数学期望的性质性质1 E（C）= C (C为常数)性质2 E（CX）= C E（X） (C为常数)性质3 E（X+Y）= E（X）+E（Y） 性质4 设X，Y是两个相互独立的随机变量

13、，则有 E（XY）= E（X）E（Y）推广（1）E（X1+X2+Xn）= E（X1）+E（X2）+E（Xn）（3）若X1，X2，Xn相互独立， 则 E ( X1 X2 Xn）= E(X1) E(X2) E(Xn)（2）E（C1X1+C2X2+CnXn）= E(C1X1)+E(C2X2)+E(CnXn) = C1E (X1)+C2E(X2)+ + CnE(Xn)特别 E（E（X）= E（X）下页第38页，共42页。已知 E（X+4）=10，且E（X+4）2 =116， 试求 E（X），E（X2）若XU0，1，Y U2，4，且 X与Y独立，则 E（XY）=（ ）证明：设随机变量X的概率密度为f（x），则(2)(3)(4)练习1:2:6 523/2下页第39页，共42页。思考 1.