第七课时二倍角的正弦、余弦、正切（一）

1、- PAGE 4 -第七课时 二倍角的正弦、余弦、正切(一)教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.教学重点：二倍角公式的推导及简单应用.教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.教学过程：.课题导入前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(

2、)sincoscossin当时，sin()sin22sincos即：sin22sincos(S2)cos()coscossinsin当时cos()cos2cos2sin2即：cos2cos2sin2(C2)tan() eq f(tantan,1tantan) 当时，tan2 eq f(2tan,1tan2) .讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2cos21，公式C2还可以变形为：cos22cos21或：cos212sin2同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S2、C2中，角可以是任意角；但公式T2只有当 eq f(,2) k及 eq f(

3、,4) eq f(k,2) (kZ)时才成立，否则不成立(因为当 eq f(,2) k，kZ时，tan的值不存在；当 eq f(,4) eq f(k,2) ，kZ时tan2的值不存在).当 eq f(,2) k(kZ)时,虽然tan的值不存在，但tan2的值是存在的，这时求tan2的值可利用诱导公式：即：tan2tan2( eq f(,2) k)tan(2k)tan0(2)在一般情况下，sin22sin例如：sin eq f(,3) eq f(r(3),2)2sin eq f(,6) 1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立当且仅当k(kZ)时，sin22sin0成立.同样在一般情况下cos2

4、2costan22tan(3)倍角公式不仅可运用于将2作为的2倍的情况，还可以运用于诸如将4作为2的2倍，将作为 eq f(,2) 的2倍，将 eq f(,2) 作为 eq f(,4) 的2倍，将3作为 eq f(3,2) 的2倍等等.下面，来看一些例子：例1已知sin eq f(5,13) ，( eq f(,2) ，)，求sin2，cos2，tan2的值.解：sin eq f(5,13) ，( eq f(,2) ，)cos eq r(1sin2) eq r(1（ eq f(5,13) ）2) eq f(12,13) sin22sincos2 eq f(5,13) ( eq f(12,13)

5、) eq f(120,169) ， cos212sin212( eq f(5,13) )2 eq f(119,169) ，tan2 eq f(sin2,cos2) eq f(120,169) eq f(169,119) eq f(120,119) .练习题：1.已知cosm，在第二象限，求sin2，cos2，tan2的值.解：cosm，在第二象限.sin eq r(1cos2) eq r(1m2) sin22sincos2 eq r(1m2) m2m eq r(1m2) cos22cos212m21tan2 eq f(sin2,cos2) eq f(2m eq r(1m2) ,2m21) 或由

6、tan eq f(sin,cos) eq f( eq r(1m2) ,m) tan2 eq f(2tan,1tan2) eq f(2m eq r(1m2) ,2m21) 2.化简cos(15)cos(15) eq f(r(3),2)cos2分析：由于观察到此式中的角出现了15、15与2，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.解：cos(15)cos(15) eq f(r(3),2)cos2 eq f(1cos2(15),2) eq f(1cos2(15),2) eq f(r(3),2)cos21 eq f(1,2) cos(230)cos(230) eq

7、 f(r(3),2)cos21 eq f(1,2) cos2cos30sin2sin30cos2cos30sin2sin30 eq f(r(3),2)cos21 eq f(1,2) 2cos2cos30 eq f(r(3),2)cos21 eq f(r(3),2)cos2 eq f(r(3),2)cos21评述：二倍角公式的等价变形：sin2 eq f(1cos2,2) ，cos2 eq f(1cos2,2) ，可以进行“升(降)幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.例2若270360，化简： eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) eq r( eq f(1,2) eq f

8、(1,2) cos2) ) 解：cos22cos21，cos2cos2 eq f(,2) 1 eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) cos2) ) eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) （2cos21）) ) eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) eq r(cos2) ) 又270360 135 eq f(,2) 180原式 eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) cos) eq r( eq f(1,2) eq f(1,2) （2cos2

9、 eq f(,2) 1）) eq r(cos2 eq f(,2) ) cos eq f(,2) 例3求sin10sin30sin50sin70的值.解：sin10cos80 sin50cos40sin70cos20原式 eq f(1,2) cos80cos40cos20 eq f(1,2) eq f(cos80cos40cos20sin20,sin20) eq f(1,2) eq f(cos80cos40sin40 eq f(1,2) ,sin20) eq f(1,2) eq f(cos80sin80 eq f(1,2) eq f(1,2) ,sin20) eq f(1,2) eq f(sin160 eq f(1,2) eq f(1,2) eq f(1,2) ,sin20) eq f(1,16) 例4求证：8cos4cos44cos23证明：8cos48(cos2)28( eq f(1cos2,2) )22(cos222cos21)2( eq f(1cos4,2) )4cos22cos44cos23