第二章控制系统的动态数学模型-课件

1、机械控制工程基础主讲教师：王国荣第二章 控制系统的动态数学模型2-2、数学模型的线性化2-3、拉氏变换和拉氏反变换2-4、传递函数以及典型环节的传递函数2-5、系统函数方框图及其简化2-6、系统信号流图及梅逊公式2-8、绘制实际物理系统的函数方框图2-1、基本环节数学模型 第二章 控制系统的数学模型 对于一个控制系统，在一定的输入作用下有些什么运动规律，我们不仅希望了解其稳态情况，更重要的是了解其动态过程。如果能将物理系统在信号传递过程中的这一动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。 建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是控制工程的基本方法。 微

2、分方程（时间域） 代数方程（复数域）传递函数方块图信号流图拉氏变换拉氏反变换 数学模型的形式 时间域：微分方程（连续系统） 差分方程（离散系统） 状态方程 复数域：传递函数（连续系统） 脉冲传递函数（离散系统） 频率域：频率特性 2-1 基本环节数学模型例1 质量-弹簧-阻尼系统例2 电路网络 即： +CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a例3 电枢控制式直流电动机将上面四个方程联立，可得列写系统微分方程的一般步骤：将系统划分环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节列写一个方程；根据物理定律或通过实验得出的物理规律列写各环节的原始方程，并适当简化，线性化；将各环节方程式联立，消去中间

3、变量，最后得到只含有输入、输出变量以及参量的系统方程式。单输入、单输出系统微分方程的 一般形式： 尽管线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。另外，迭加原理不适用于非线性系统，这给解非线性系统带来很大不便。故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析。严格讲： 所有系统都是非线性的 2-2 数学模型的线性化线性化条件：非线性因素对系统影响很小系统变量只发生微小偏移，可通过切线法进行线性化，求其增量方程 单摆线性化步骤：找出静态工作点（工作点不同，所得方程系数也不同）在工作点附近展开成台劳级数略去高阶项，得到关于增量的线性化方程2-3 拉氏变换及反变换是分析工

4、程控制系统的基本数学方法 微分方程（时间域） 代数方程（复数域）拉氏变换拉氏反变换传递函数一种解线性微分方程的简便方法复习复变量和复变函数复数有实部和虚部，两部分都是常数。 如：复变量指复数的实部或虚部中含有变量。 如：复变函数 是 s 的函数，也有实部和虚部。如： 例如：S平面20G(s)平面40一、拉氏变换定义：对于函数 ，满足下列条件象函数原函数复变量 量纲 二、简单函数的拉氏变换单位阶跃函数 0t12 .指数函数 0t1应记住的一些简单函数的拉氏变换原函数象函数 单位速度函数（斜坡函数） 10tf(t)单位速度函数1 单位加速度函数单位加速度函数0tf(t) 函数的拉氏变换及反变换通常

5、可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。 三、拉氏变换的性质叠加原理 齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数； 叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。微分定理两个重要推论：3. 积分定理两个推论：4. 衰减定理5. 延时定理006. 初值定理7. 终值定理 11. 周期函数的象函数 12. 卷积分的象函数 例题（P64）01234567-11tg(t)1.写出时域表达式2.求出对应象函数例2-1 求单位脉冲函数的象函数 0t四、拉氏反变换拉氏反变换方法：利用拉氏变换表（附录A）利用部分分式展开法，然后再利用已知函数

6、的拉氏变换和拉氏变换的性质控制系统象函数的一般形式： 将分母因式分解后，包括三种不同的极点情况，采用部分分式法进行拉氏反变换。使分子为零的S值称为函数的零点使分母为零的S值称为函数的极点1、只含有不同单极点情况：2、含有共扼复极点情况： 式中，c1和c2的值由下式求解： 上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可确定c1和c2的值。1-103、含有多重极点情况：其中 的求法：五、用拉氏变换解常系数线性微分方程用拉氏变换解微分方程的步骤： 将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达 式； 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。原函数（微分方程的解）象函

7、数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程 实例设系统微分方程为：若xi (t) =1(t)，初始条件分别为xo(0)、xo(0)，试求xo(t)。解：对微分方程左边进行拉氏变换： 即：对方程右边进行拉氏变换：从而：所以：查拉氏变换表得：当初始条件为零时：零状态响应零输入响应 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数 的值就可得到微分方程的全解。 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。 由上述实例可见： 系统响应可分为两部分：零状

8、态响应和零输 入响应 一、传递函数定义： 在零初始条件下，线性定常系统输出象函数 与输入象函数 之比。 2-4 传递函数及 典型环节的传递函数零初始条件： 输入作用是t=0后才加于系统的,t0时，输入量及其各阶导数均为0； 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为0；设线性定常系统的微分方程为：二、传递函数的性质：传递函数是在拉氏变换基础上，以系统本身参数描述的线性定常系统输入量和输出量的关系式，是 s 的有理真分式，它表达了系统内在的固有特性，与输入量无关；传递函数有无量纲，根据输入、输出量纲而定；传递函数不表明系统物理特性和物理结构。 传递函数求

9、解示例 质量-弹簧-阻尼系统的传递函数 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为： R-L-C无源电路网络的传递函数 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为： 几点结论 传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的 输入输出特性来描述系统的内部特性。 传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传

10、递函 数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是 s 的复变函数。传递函数中的各 项系数和相应微分方程中的各项系数对应相 等，完全取决于系统结构参数； 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系， 无法描述系统内部中间变量的变化情况。 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出 的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。 令：则： N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系

11、统的阶次。 特征方程、零点和极点 特征方程当s=0时： G(0)=bm/an=K 式中，K称为系统的放大系数或增益。 从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K 反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。 零点和极点 将G(s)写成下面的形式： N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点； 系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。 零、极点分布图 将传递

12、函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图012312-1-2-3-1-2j三、传递函数的优点比例环节时间域方程四、典型环节的传递函数2 一阶惯性环节时间域方程时间常数例2-12微分环节理想微分环节 微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。输出量正比于输入量的微分理想微分环节近似微分环节4 积分环节-输出量正比于输入量对时间的积分。 积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的

13、积累过程。 且具有记忆功能； 具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态性能。如当输入量为常值 A 时，由于：输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。5 二阶振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质。如：质量-弹簧-阻尼系统传递函数：式中，当时，为振荡环节。式中，T振荡环节的时间常数 阻尼比，对于振荡环节，01振荡环节传递函数的另一常用标准形式为：n称为无阻尼固有频率。振荡环节传递函数： 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值； 延迟环节从输入开始之初，在0时间内,没有输出，但t

14、=之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别： 在控制工程领域，人们习惯于用方块图说明和讨论问题，方块图是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示，它清楚地表明系统中各个环节间的相互关系，便于对系统进行分析和研究。 2-5 方块图及其变换 系统方框图 系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。 方框图的结构要素 信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。X(s), x(t)信号线 信号引出点（线） 表示信号引出或测量

15、的位置和传递方向。 同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。 引出线X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s) 函数方框(环节) G(s)X1(s)X2(s)函数方框函数方框具有运算功能，即： X2(s)=G(s)X1(s) 传递函数的图解表示。 求和点（比较点、综合点）信号之间代数加减运算的图解。用符号“”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。 相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。 X1(s)X2(s)X1(s)X2(s)-ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和点可以有

16、多个输入，但输出是唯一的。 求和点函数方框函数方框引出线Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框图示例任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。 方框图的运算法则 串联连接 G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s).G(s)=G1(s) G2(s) Gn(s)Xi(s)Xo(s) 并联连接 Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)+Gn(s).Xi(s)Xo(s)G1(s)+ G2(s)+ + Gn(s) 反馈连接 G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)方块图变换法则 方块图变换法则如

17、表2-1 （1）各前向通路传递函数的乘积不变； （2）各回路传递函数的乘积不变。 方框图的等效变换法则 求和点的移动 G(s)ABC求和点后移G(s)ABCG(s)G(s)ABC求和点前移G(s)ABC 引出点的移动 引出点前移G(s)ACC引出点后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA方块图化简 由方框图求系统传递函数 基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。 -2-6 系统信号流图及梅逊公式 信号流图是控制系统的另一种图形表示，与方块图有类似之处，可以将系统函数方块图转化为信号流图，并据此采用梅逊公式求出系统的传递函数。混合节点

18、混合节点- 信号流图中的网络是由一些支路将一些节点连接起来组成的。输入节点（源点）输出节点（阱点）11节点代表物理量，具体为：（1）输入量和输出量；（2）信号分支点的物理量；（3）信号比较点输出端的物理量。 支路上的箭头表明了信号的流向，各支路上还标明了增益，即支路上的传递函数。 沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径称为通路。从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路称为前向通路，起点与终点重合且与任何节点相交不多于一次的通路称为回路。 从输入变量到输出变量的系统传递函数可由梅逊公式求得：第k条前向通路的传递函数系统总传递函数为流图特征式所有不同回路的传递函数之和每两个互不接触回路传递函数乘积之和每三个互不接触回路传递函数乘积之和例：试用梅森公式求如图所示的系统的传递函数C/R。G1H1H2G4G3G2RC1）找出前向通路