3.1.1 两角和与差的余弦5

1、苏教版高中数学必修4 3.1.1 两角和与差的余弦 教案 6/63.1.1 两角和与差的余弦江苏丰县华山中学 刘国良【教学目标】1.知识目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。2能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。3.情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。 【高考等级要求】 C级【教学重点与难点】教学重点：两角和与差的余弦公

2、式的理解与灵活运用。教学难点：两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。【教学方法与教学手段】 问题教学法、合作学习法，多媒体课件【教学过程】一、创设情境、自主先学问题1：前面学习了三角函数，能否用的三角函数和的三角函数来表示.问题2：不用计算器，求的值，能否写成两个特殊角的和或差的形式? 问题3：成立吗? 问题4：能否用的三角函数来表示? 设计意图: 通过创设问题情境，自然流畅地提出问题，揭示课题，引发学生思考,使学生目标明确、迅速进入角色。二、动手操作、实例验证(1)向量的数量积 则 （2）单位圆上的点的坐标表示试在直角坐标系中画出终点在单位圆上的向量，并求出它们的两种形式的数量

3、积？由图可知：( ) , ( )则 问题5： 问题6：由出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗图1yxP(cos,sin)Q(cos,sin)OP0设计意图:通过动手操作、实例验证，复习回顾使学生熟悉基础知识、特别是用角的正、余弦表示特殊点的坐标，让学生通过特殊值在转化到一般情况，符合学生的认知律.三、小组合作、建构概念 问题7 ： （一）两角差的余弦公式设角的终边与单位圆的交点坐标为P(cos,sin)，角的终边与单位圆的交点坐标为Q(cos,sin)(见图1) 记 =(cos,sin)，=(cos,sin),则=|cos(-)=cos(-)；又应用向量数量积的坐标表示公式，=cos cos

4、+ sin sin，所以cos(-)=cos cos+ sin sin 当点在直线上或上方时角与角终边相同，当点在直线下方时角与角终边相同，综上所述， ，对于任意的角都成立。设计意图: 通过动态演示，给学生以直观感受。两角和余弦公式的证明中存在困难：三角函数表示单位圆上点的坐标，它虽然简单，但学生由于陌生而很不习惯，通过前面习环节应该有所熟悉。学完之后，要强调其中两角均为任意角.问题8：根据两角差的余弦公式，你可以猜猜提示：令 （二）两角和的余弦公式（学生回答） 设计意图: 这样一来，两角和的余弦只是两角差的余弦的特殊形式结论： 注： 1、公式中两边的符号正好相反（一正一负）2、式子右边同名三

5、角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后.可简记为：余余正正，符号相反， abab 同名之积相加减，运算符号左右反。正因为、的任意性，所以赋予C(+)公式的强大生命力设计意图: 让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序、角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美. 小结以12字口诀概括两角和与差的三角函数关系式，既体现了公式的本质特征，又朗朗上口，便于记忆，有助于学生对本节课的内容更好地掌握.四、交流展示，小组活动 公式应用闯关第一关：小试身手请用特殊角分别代替公式中、，你能求哪些非特殊角的值呢？（选择的特殊角可以是306045等） (1) ；(2) ；(3)

6、；问题预测：学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求cos15、cos75、cos105、cos(-15)、cos165的值。甚至可能有的同学会说他验证了cos30=sin60.（让同学感受获得公式后的第一份喜悦）由于初学公式的应用，我选择其中之一作示范。第二关：再接再厉 若固定，分别用 代替，你将会发现什么结论呢？ 设计意图：引导同学发现余弦的诱导公式可用C()公式得到证明：初步让学生发现C()公式是诱导公式的推广。（从而让同学感受获得公式后的第二份喜悦）第三关：各显神通 倘若让你对C()公式中的、自由赋值，你又将发现什么结论呢？ (1)；(2) (3)(4)问题预测：可能有的同学发现co

7、s2=cos(+)=cos2-sin2，这是以后要学的二倍角公式，还有的同学发现： cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin，甚至有调皮的同学发现cos0=cos(-)=cos2+sin2=1，这就无意中证明了平方关系， （据此，让同学感受到C()公式的强大功能）。（必要时，教师可适当提示）。注：按课本编排未必能让同学注意公式中,的任意性，（而正是因、的任意性，所以才赋予C(+)公式的强大生命力）。于是我设计上述三个有层次的A ,B,C级的问题，留时间先让同学用特殊角自由赋值，逐渐摸索、尝试，不断总结、归纳。这样更能使同学亲自感受公式的强大功能，并掌握赋值法。五、质疑拓展

8、，强化应用例1：化简解：（1）原式=； （2）原式=；（3）原式=；设计意图:例1进一步强化公式的应用，有助于学生熟悉公式，加深学生对公式的理解和认识,回馈教学效果.例2：知，求的值。解：由 ，得又由，得 由余弦的和角公式得 注意：注意角、的象限，也就是符号问题.设计意图:例2的目的在于熟悉公式，同时对同角三角函数关系、三角函数在各象限符号的判断有复习的作用，其难度不是很大，在复习了公式之后，学生应当能够完成2.变式练习 能力提高 解：由 ，得又由，则得 由余弦得差角公式得 设计意图：阶段概括用公式的方法，感悟在解决问题的过程中，如何合理的使用这几组公式。当然，公式的熟练使用不是一节课就可以完

9、成的，需要学生在今后的学习中不断体会，不断总结和概括，进而将诱导公式内化到自己的知识结构中去。五、课堂检测，能力提升化简:(1)(2)【引申】求函数的最大、最小值。（课本第8题）六、 学习体会，相互分享 让学生谈谈自己在本节课上的收获和体会. 提示：（1）公式； （2）运用公式时注意角的范围、三角函数值的正负，注意前后知识的联系； （3）学完后能解决的问题.设计意图: 小节以14字口诀概括两角和与差的三角函数关系式，既体现了公式的本质特征，朗朗上口，便于记忆，有助于学生对本节课的内容更好地掌握.同名之积相加减，运算符号左右反。八 自主作业 巩固训练中拓展1、阅读课本，体会两角和与差余弦公式推导

10、过程中的思想方法；2. 教材第94页，感受理解第 1， 3 题3. 探究：知道了，你觉得也有类似的规律吗？九 板书设计 课题：3.1.1两角和与差的余弦两角差的余弦公式 两角和的余弦公式例题变式练习【教学反思】本节课主要任务是两角和的余弦公式的推导和简单应用。这节课是本单元的开篇公式，它是后续公式推导的基础，地位十分重要。因此我通过创设激发学生学习欲望的数学情境，营造积极的活跃的学习氛围，使学生参与教学中来。下面对两角和与差的三角函数教学反思概括如下：1.创设问题情境针对这节课的课题，从课题分析中提出问题，我鼓励学生大胆猜想，并验证。学生学习的积极性得到了充分的调动，思维活跃。俗话说，擒贼先擒王。两角和与差的余弦公式就是他们中的“王”！我们从两角和与差的余弦公式研究起。这样，才能使本节知识纳入本单元的知识结构中.2.两角和的余弦公式的探究过程：分成两部分完成：一是公式的准备工作，有向量的数量积及其坐标运算。二是公式的推导步骤。在直角坐标系的单位圆中作出角；利用三角函数定义写出角的终边和单位元的交点坐标；利用向量的数量积