高等数学同济第七版第十二章课后习题答案

1、习题12-：第十二章无穷级数常数项级数的概念和性质.1 写出卜列级数的前五项: TOC o 1-5 h z l+l1+21 + 3! +4I +5I * I2I +22I -f 321+4?1 +5?LL121 3 51 35 71 3 5 7 92 2 -4 +2-4*6 2 4-6 8 2 4 6 8 10 .2.根据级数收敛与发散的定义判定卜.列级数的收敛件:解设级数的部分和为$.=(./? - I ) (73 - /?) + + ( Jn + I - Jn)lims= 所以根据定义“【知级数+ _J）发散第十二章无穷圾数 第十二章无穷圾数 # 一、高等数学（第七版）下册习题全解所以根据

2、定义可知级数收敛. 7T . nir 入in mii - 1262sin n2n - 1 2n + Icos -cos r- .从而2sin 工12I tt 2n f I 11 122s，nT2因为当 y时,.（）sf 的极限不存住,所以”的极限不存在.即级数发散. + In= In (n内1加 二8 .故级数发散. R3.判定下列级数的收敛性: TOC o 1-5 h z 一、882屋9/9.，+T万小 3 A 3?3(4)2 W 卜（小乂解(D此级数为公比g =-5的等比级数.因| 1 ,故该级数发散.(5)此级数的一般项% =3.二注意到与上分别是公比”;与q二;的等比级数.而|q| V

3、p w zn I n+2 n 3+于是,当P为奇数时.I -I =二】- (*-白)-出) 广当P为偶数时，3 7 IL)(_1!_)-!-n + I 1+2 n +3/ n + p - 2 n + p - 1 / n +p n + 1因此,对任意给定的正数,取正整数,VM .则当、时对任何正整数p. 都有.1 I力” -$ F 7 内外是3的倍数1当 =3时.就行 -)1 0 根据柯西收敛原理知,级数发散. 注 柯西收敛原理是这样叙述的：级数收敛的充理西件为时任一给定的 一 1正数,总存在正整数川,使得当 、时,对任意的正倍数八加 I.，- | I/，W此按柯西收敛原理,判别级数发散的充要条

4、(1就是对I述枭件的一定即r | 某个正数丹,不论N取什么正能数,至少有个M A)”至少仃,.他 得 I -。I m . | -，| = | uM4l ”+ ”sin ( + I).、, sin ( + 2) 5in ( 卜第十二童无穷级数 一高等数学(第七版)下册习咫全解由此可知.对任意给定的正数.取正整数A m 岫十,当 投时,对一切正整数p, 都有S-力 0).I a韶(1 )般法一七 = 1 -1 ( h = I .2 ,),由于级数二二发 2n - 1 2nUn a散,故各项乘;志的级数Ej也发放,由比较审敛法知原级数s二二? 发散.1解法二 因=1,而y 1发故.故由极限形式的比较

5、审敛法知原 I 21n级数发散(2) u = Lt： 二而f L发散.由比较审敛法知原级数 1 n2 n n2 n Sf”发散. (3)因瞥必_1 = | ,而y收敛.由极取心式的比较审敛法知I戊 Itn TOC o 1-5 h z J 级数收敛. . 7rksin -sin .(4)因lim= limn二=7T .而V,收敛.故由极限即式的比较市1 K占2”rr敛法知原级数收敛.(5)当0 1时，一17 | J.；七 (n + 1- - 2 n + I 2数发散.(2)囚 lim = lim (n + )21 = lim； ( * J)? = ? I ,故级数 收敛.八“ r+ 1 )! 口

6、、! r ./2,“a”(j )囚 lim = Inn-T/一二 hni 2( I =I IInn : lim n tt n 2故级数收敛.Ea * 3 .川根俏市效法川足卜列级数的收敛件:士(七):X m7r(廿(4)( ，其中 T ( f 8 ) .4.6.a 均为正数.小0解(1)因1而河=lim-5 = ； 1 ,故级数收敛. v 2n 12(2)因 lim 河=lim ； - - - - = 0 I .故级数收敛.v -ln( n 1 )2*72W lim 河 =(打 1 ,故级数收敛.lim */J7 = lim -=. an a当时.因！吧工； I ,故级数发敝;当右=。时.级数

7、的收敛性不能确定（例如,6 = 1，,=V I发散；乂如.6 =（打盘外敛）dl判定卜.列级数的收敛性：吟）1心（打解（I ） lim - R -1- = lim - 1 = ： 1 ,由比仙市效法知级数收敛 ”一 * n 44lim = lim（n 、2七in ；-3。 Vt = 0 （5） W limu。= |而（1= 1*0 .故级数发散.（6）因lim1/ 1 = lim1 , = L而级数V 发散.故由极限形式的 TOC o 1-5 h z no +， , b a比较南效法知原级数发散.&5.判定下列级数是否收敛.如果是收敛的.是绝对收敛还是条件收敛？八、.1 I I （ - I）”

8、（1）1+ +；万4 n（2）（一）合；.11 II II II,1 I（3）T-T-T-2 + 3 ,2 - 3 4十（T） L ：Z/1X I I I 1 z t IIn2 In3 In4 In5ln（ + 1）,（5） （一1）”“与.Jn!解（i）, = - -1?. 是发散的；又是交错级数.干1|：满足|%.J且limu, = 0 .故由莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.（2） = lim p + 1 = 1.由比值市敛法知级数三 % |收放.故原级数绝对收敛.（3）% = W ，因 E Ml = 七足公比“ =；（kl ,； 而曰心发笊的他山 比较审效法知级数V |/发放.乂、“

9、止文用次数.满足|小| Ik. II Ilim%=。.故由莱布城淡定理知峥茨定收敛II枭件收敛. #一、高等数学(第七版)下野习箜全解 一、高等数学(第七版)下野习箜全解第十二童无穷级数 （_ ）-12M. 9n 22*（5） % =（一、|uj =由于 2c A（* = 1.n JI 2n2 故 JI .即原级数的一般项un当n- 8时不趋于零，故该级数 发散.幕级数习题12 Mxi片】求下列哥级数的收敛区间：(1 )工 2/ + 3x + nx，x ；) X2. . 0 X*1 - x 7 (- 1 ) -7 ；22/T TOC o 1-5 h z 211子罚;中.解(|)|加早上? =

10、1而9 = 1 .故收敛半径为1.收敛区间是(-1/). an |n/INI 起：吟! = !/4= ()? ./ lim 毕邛=1 .故收敛 lJ (n + I)2/ n2 Vn 4- 1/I I半径为I,收敛区间为（-1 J）.lim % = lim = 0 ,故收敛半在为+8，收敛区间是（-8 , 8 ）. 14 |2（门 I）lim 卜“J = lim - 3二.故收敛半径为3 .收敛区间为（-3 ,3）.| 0。|3 + 13lim1工=lim 2匕?一 = 2，故收敛华禄为;，收敛区间为 |七|（ 1尸+12-T-T)-（6）这是阳偶次晌项的级数，把（一）.葛视为数项级数的一般项“

11、由于明72n + I ：lim ：= lim x = .V .%2n + 3当X I时.坦般项，一01 - X).级数发散.故原级数收敛半径为1 .收敛区间为(7)这是缺(奇次嘉)项的级数.解法一与(6)类似.将它按数项级数处理.用比值法确定收敛半径F1UZ?； 区间.解法二 令1 =了.先讨论V 出二的收敛区间. 一 力.a - i. I 2n 1 I故该级数的收敛半径为2.因此.原级数的收敛半径为J .收效区间为i -、.2 .(8)1而，: = lim二=I ,故收敛步径为L当i - 1时.级数发散.故级数的收敛区间为(4.6).2.利用逐项求导或逐项积分求下列级数的和函故：.(4) V

12、 (n 2)/“ I斛(I)容易求出此级数的收敛半年为1.当-1 ,)=，= I、 在上式两端对“求导洱三n”1 = K( 1 - v V乂原级数在.* = I处发放.收它的和函数, 、(- 1 (I - (2)不难求出此级求的收敛数的为1. “i - I t-1 III.第十二童无穷级数 一、高等数学(第七版)下册习题全解在上式两端分别从。至.，枳分.芹由于士葛在X=处收敛于。,故得2* arcian x - x乂原级数住.* = 1处均发散,故它的和函数, 】+1 z .、 才)=In + arctan x - r ( - 1 x 1).4 I - x 2 2n-l记级虬为二E 其收敛半径

13、为L当T J I时,在上式两端分别从。至.枳分并注意到/三在、=。处收敛于。.故得乂办级数 I= I处均发散，故它的和国数（4）容易求得此级数的收敛半径为I ,收敛域为（-1,1）.当（ -1.1）时,（“+2/ 一（沙），其中=二一二七.乂）=与三.故原级数的和函数函数展开成幕级数.求雨数/（X）= ” 的泰勒级数,并脸证它在除个数轴.收敛于这个函数 蝌在定点j处.闪/，（%） =（4 + m ）（”二。.1 .2）故/()的泰勒级数为(宜 7Zrr;, e ( - 8 . + c6(2n - I)!将上式两端从。至“积分并逐项枳分.税( 2 .3 (-1)“(2幻2”“sin x = I

14、(ftin x) -rr-|小力力 (2 - I) !（5）解法一因为(I * x)ln( 1 1) = ln( I + x) +1 = 1 + 名 将上式两端从。至x枳分并逐项枳分得（1 乂）ln（ 1 *） = x ，=-2 7ST. % w ( - I J ) ,T (n - I )n乂在 1处J式6端的挈级数收敛,且函数(I *x)ln(l “)连续故(I x)ln( I ”)= x+ - x W (-I.1L( -I )解法二利川ln(l x) = V( 一e ( - I J I ,得 rrr n(I x) ln( I 4- x) = ln( I f x) 4- xn( I %)=i

15、 yH w #一、高等数学（第七版）下册习逾全解 一、高等数学（第七版）下册习逾全解112 + 3.-5 M - 1)(6)斛法一利用 / I + x = I +2-4-6-1,并因为1=J1 + / - ,以小替换上面一级数中的3得dx =，】 x2 - 1L，一二21 -324.1. I 3 , 5(2 3)2-4-6(2n)在（-1.1）内将L式两端对力求导得13 J -3,5 r卬”I 3 5(2 - 3) % . (2 -2)1 3 5 (2/i -3)2-4-6(2n- 2)一。篇出r作x 二文1处L式右流的级数均收敛“函数/I连续,故vI 4 X2解法二将小杵换展开式“ 2(2)

16、!(！)2/I中的得存7。嗡苗二；,八从而得. I)。1 3 5 1 4?2*4*6(2”)18a 3.将卜列函数屐开成一 I的耶级秋,“求展心式成。的M间:当， 时.岗第十二童无穷级数 一、高等数学）（第七版）下册习雅全解(I () 二 I +1 * +2!n而G = ： 1 + (% - 1)：3住以上二项展开式中取m=y JWHx-l替换发中的得3(-1广1 35(2n-1)2G=1 +% -D V (-1) /0(2)挥 in(i +x)= y(- Tt将1式中的I换成X-1,得)4.将函数/( x ) = cu x展开成x ； 解 cos x = cos ( x y ) - y 将*

17、 号替换以卜两式2)!”(=， - 川/(M)S，2)2 共 2 1x-D .利用-1 尸T , x e ( - 1 J. n严1 (七 1 二 x g (0.2. n1的取级数.卜为。8卜+舅+冬加卜+1).的1)2*1+ D!Av (rl)a 1叫 i2 工、(2/i l)!(x + 3)“+8(工 Fl. XI”).(2/i 1)!3 / J片工将函数/(“)展开成-3的补级数.。6.将函数/（%）=展开成的舜级数x2 + 3% + 2习题12函数的幕级数展开式的应用匕1利川函数的林级数展开式求卜列各教的近似他:（I） - 3（误差不超过0.000 I）：（2）万（识并不超过0.001）

18、；（3）沟T（误差不超过0.000 01）；（4）。讴2。（误您不超过0.000 I ）.9 ： I ) In =. + +， + )，x e (一I/).I - x 35 2n - i /令了=3 .可得，=!.从而 TOC o 1-5 h z 1 - x21,7.2.( I II!1In 3 = In 1= 2 + r + T zr A L1 _ 1 I 23 - 25 5 25(2 - 1)2t1一2| (2n * 1)2204 + (2/ + 3)220，2 r +1)2力川+ (2n + 2以”(2 1)231 + + 3)2”“ + +5)2”(2/1 4 1)224,12:24/

19、2I _ I(2n + 1 )22nl , , _ - 3(2n + !)22-2,0. ()00 12 .故取n =6.则In 3 - 2( 4-+ 二t),考虑到禽人误差，计算时应取五 23-21 5 - 25 II 2n/位小数,从而得In 3-1.098 6./xn(2 )1 = 1 + * +/ + +；令 .1 W ( - 8 , + 8 )2！2一、高等数学乂第七版）下册习题全第一、高等数学乂第七版）下册习题全第n 0. 0(X)5 10-5! 24故取 =4 .计算时取四位小数可得(3) ?52l =+ 1()= 2( 1 + ,因八V m I(川-1 )，(1 -)= 1 一

20、21m( rw - 1)小 - + 1 ) u-X* .(-I V 1 ). HYPERLINK l bookmark20 o Current Document ！.1/ -0、坨“b ”I 10/110 Z 9/ 10枚./522 = 21 f- = 2-福、，/ 一.1 .式右端从第2项起为交错级数.故右8I，3 I W 4 =:收3项.并在计算时取六位小数,可得12 210291()2V 2. ()04 30.ros -9()I二式是交错级数,上/W HI故取2项）|（ ”糕时取八位小数.可用 *ris 2。* I - （副 v 0. 9*MH.第十二童无穷级数 一、高等数学（第七版）下

21、册习题全第.利用被枳函数的扉级数展开式求卜列定积分的近似值：(1 )， j-dx (误差不超过 0.0001)；(2)4对三也(误差不超过Q.001).上式右端为一交错级数,有勺 W A = *=0.000 009 10-故取3项.并在计算时取八位小数,可得(2 )因 arrlan x = x 4(一) r ( - 1 x .- + 92325254927由于I W j M 4 R 0 000 2 * + xy y =0；(I=/ 一解(I)设方性的制为y = 。 产+(为仔急常数)， 代人方程,则行如卜坚大(注意对齐同次一项)不难求出E&产”与户 的收敛域都是（-g./）.故 4m（2）设）

22、=，%.一是方程的斛.其中与,勺出任意常数则 0( +2)(/1 I代入方程/ + * + =0 .相可见.当 =2仆-1）时.与(-1).=k2k当 n = 2 - 1 时,(-高眄1=(一 2F7T)( -T)a,|(- i)A=(21 1)!由于252。与叽”一”的收敛域均为(8 + 8 ) 故y = i# = 。2/ 。27 口 |.0 =(2) (I 7)/ +y = I fL.o = 0. TOC o 1-5 h z 解 3)因M-0 =；，故设方程的特解为 =；，则 一“ 1代人方程.有+1 J。.-y %= o (/ 4).依次解得”, =”3 = . n4 = 1.48163

23、2坨，Q 9故 =?+ 丁 + A + x .L4o IO M(2)闪”=。:。,故次】=型方程的特帼.则/ =一代 u方程.仃第十二童无穷级数 一、高等数学（第七版）下册习篇全解或写成勺 ：(。 I)4“ * ( 1 - n)an = I 比较系数得。,= .az；0T = : J；*(”才2) .或写成(/I2)(4-3)1/1 ( - 1) 3(n N 3).1(n - 1)5.依证函数 (“)二】WZ7 J! o -x x *8 )7两足微分方程 r3n+ .，并利用此结果求林级匕(,小的和函数.解(I)因为Ul，=，5!(3)！- 1(3n-l)!以上：式相加得 yr(x) + /(

24、x)=彳=(1)满足微分方程)+ )= 0的特征方程为 八r + 1 =0.根为，一;斗,因此齐次方程的通解为设II齐次微分力ft?的特觥为 =&J,代人方程)j /J! 4= ； .是;.“ II齐次微分方程的通耕为)= ) = ，( C), ；x + Czi +山(I )知，*级数的和函数，(满足：)(。)=1,(0)=0.由此定出卜式中的 TOC o 1-5 h z y(0) = 1 = +g,r(o)=。=+吴+:，耐得G = ； j;2 =0.于是由微分方程初值问题解的唯一性,可得所求总级数的和函数为2/y( x) = ； e 7cos ； * + e” ( - x x + x ).

25、J4，臼6利用欧拉公式将函数B%OS X展开成K的标级数.解由欧拉公式=COS x + isin x知 cos x = Re( e,a ) t 故e*cos x = Ke( eu ) = Kr( 1 - eIM) = K, J.因为 、 *( +i)。=:卜斗小：川：今 TOC o 1-5 h z v* / HIT .z、=、I cos + ibin 12 , xe (-x,+x), S；144 / M所以excos x = Rr( e( 1 0,), J三宣xn.、= cos 23 t x w ( - 8 . * oc ).*习题12-P-4n函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质2

26、 1已知函数序列、（*） = sin （n = 1 ,2.3,）在（-x .+8 ） |收敛J 0. n（I）问、（.”）取多大，能使当n、时.“（）与其极限之河的绝财侑小J il 数?（2）讦明行）在任一有限M间“/，I二一致收敛.解（D由rl（x）- o| = sin - w 1 ,因此对r正数取、id， n n、1 .则当N时,就仃 | （、）- 0 | W e. nif （ 2 ）汜 M = max L u | . |，| I ,则 Vie Y时,级数的余项勺的绝对值小于正数；(3)分别讨论级数在区间0.1 ,山上的致收敛性.蛹(1)设该级数的和函数为$(”),当.yOnhs(O) =

27、0；当X/0时,该级数是公比为一二的等比级数,目K I .(1/)“ I f x2 ( I + /)2 J当x=o时/ =0, Vi? 0 ,取/V = 1 ,则当n %时，就有I。(、)i 0(不妨设 n IIn -Ml.)则当n /V时,第十二童无穷级数 一、高等数学（第七版）下册习题全第（3）该级数的各项.（x）=匚一（ =0/，2,）在区间0J上是连续（ + “）*的.如果%,（、）住o,i I： 致收敛则由定理1知和函数$（在0/Lil -0续.今H1）在0,1有间断点x=o.的此推知该级数在0上不致收敛.在区间；l上,因为所以，Vs 0 ,取N = 1咚： +1 ,当 V时，对切K

28、 E 1 力 I /）（；）.即级数在y,l上一致收敛.23.按定义讨论下列级数在所给区间上的一致收敛性:（2） 2（ I - *）.0 x 1. 0 ,取 N =十时,对切.1 W ( - 8 . + 8 ) ,行即该级数在(-8 , + 8 )上一致收敛. (2)、(i -1)针=y(X7)北部分和函数 。-0s.(x)= ( I - X)+(*-./)，+ (* 一/)=I .布和函数、(.) = liin sn( ) = lim( I -二 l. I e (0.1 ). n.I rn(x) | = Isjx) - A )I = I1, i 七(0 J ).i取列L =()(=1.2eJ

29、 UN入：:.卜论 &么大.总行J 6 （0）.使得因此.该级数企开区间（0.1）内不一致收敛.4.利用魏尔妍特拉研判别法证明F列级数在所给区间上的一致收敛性:Vco nx.- x f x ； *(3)、3二0 S X v X ； S(7)丁-二二一. K rr x(I ) Vxe(-x.+8),因为 I Cie W 1 ,所以,? nx I2n 2。而级数V 1收敛.从而原级数在(-a . + x )上一致收敛. H T(2 ) V X w ( - 8 . 8 ) .因为 1 sin nx W 】所以而级数=:收敛.从而螳级数作（-x ,，8 ）上一致收敛. 父丁弋3二V 丁，山当工w【0,

30、 8 ）时. 7向级数y彳收敛.故摩级数&（）. x）卜一一致收敛Vx（ -10.10）. r , 8 ,1 ,而级数!9收敛（收敛 JV 7 I ft! n!r-T w!故原级数在（IOO）I.仅收敛Vx w !。. + oo ）.| ro -* I ,故-ft*而级数幺外数,从而原级敕诙。,上一致收敛.傅里叶级数为1.下列周期函数/(1)的周期为2”，试将/(.r)展开成博里叶级数.如果/(i) a 上的表达式为：(1 ) /( x) = 3” +1(-rWi 7T );(2)/(x) =。2(-/ w x n)；小 f x , 一&*()(3)/() = lax, 0 W x 0).解(

31、In = W (3x2 + I )d.t = 2(储 1 ), K Jra. = J (3x2 1 ) cos nxdx I 2 广，. 1= I( Ax + I ) sin nxI ixsin /nd v Iit n,n n J-vIill于(3 J + 1 ) sin nx是价函数.故因为/()满足收敛定理的条件且在(b , 8 )内连续.故/(x) = f + I + 12、 cos n.v. e ( - x . f x k)M()F产2tt2( - 1尸(-产)=1.2.)用分部枳分法得=1.2,).b = f r:,sin nxdx =-=“ TT J-w2J(x)满足收敛定理的条件

32、.而在x = (2A 1)17 Z)处不连续，故(3)e2w - /(x)=-(2cos nx - nsin nx ) j ,TTbxdx + ( atdx) = 5( - &),on = -J 6xcos nxdx . ( 在上式行端第一个积分中令x =-，axcos nxdxj ,nxdx =故cos TT -同理.J ( - b /cos( ( - Axcos nx)dx.(a - A)xros nxdx = 1 xsin nxnir sin nxdx1 - (- DM (n = 1.2.) n it6xsin nxdx I xsin nxdx(n + b )xsin nx ( - n.

33、 it ).,rX;2Mli NX . X e ( - 7T.1T ).9n2 - I（2）设W”） S/（X）经周期延拓而得的函数,它在（-n.“）内连续，、=TT。 MX）的间断点.乂 C （满足收敛定理的条件.故在（-F）内它的博甲叶级收收 敛上/（1）.d3.将函数/(“)= COSy( - P W X W IT)展开成傅里叶级数.解 /(x) = cos；是偶函数,故 bn = 0(n = 1.2.-)cosnxilxTIE。-抒(n+7)xdxsin ( jir sin2 ( - COS /ITT COS nit , _ | J I 2 / _ I1it 1 2n - 1 + 2

34、+ it 2n - I 2n 4 I77( 4/I2 - I )01，2,).因/()满足收敛定理的条件.口在-7TE：上连续，故/(x) = j W-lCOS nx, X G ; - TT,F 4zT - I上&设/(*)是周期为2宣的周期函数，它在：-宣E)上的表达式为：- -nr C x )=IT1T一彳,将/()展开成博里叶级数.n nxdxj解 /( X )是会函数,故c =0( = 0,1 .2./ = /(x)sin zixdx = j xsn axx =4 二空S7T I n -J com nxdx j + 卜 in nxdxHIT 、“TT TOC o 1-5 h z -，,

35、、 Zsm - cos e - cos /itt222+; 二2 . ( - I ) (1=sin - -f( = I .)N TT 2nWf(x)满足收敛定理的条件.而条* =(2k l)ir(* 6 Z)处间断.故 #、高等数学(第七版)下册习箱全簿 、高等数学(第七版)下册习箱全簿为5将函数/(“)=W”)展开成正弦级数.解作/(1).X 6 (O.TF .)是/(X)的奇延拓.令例4)是的周期延拓,则SC)满足收敛定理的条件. 而在X = 2kk e Z)处间断,又在(Of .0(.r)三/( x) ,因此必”)的傅里叶级 数在(Oe上收敛于/(4).s 0(n = 0/，2.)，L

36、2 fW IT - X .2 X - 7TI”on = -I -sin nxax = I - cos xrsiti nx”力 27TI 2n2n2 lo=(n = 1 .2,)，故 I/(x) = sin nx. x g (O,tt rrT n26.将函数/()=2.J(OW、Wp)分别展开成正弦级数和余弦级数.解(I)展开成正弦级数.令(2x* . x e O.f ,-2x:. x e ( - ir.O)是/的奇延拓.乂中(.“是3(x)的周期延拓函我,则中(目满足收敛定理的恭件. 而在N = (2k 4 1)”(A e Z)处间断，又在【0,” 11 0(1).故它的傅甲.叶级 ftft(

37、O.ir)上收敛于/(*). #一、高等数学(第七版)下册习题全解 一、高等数学(第七版)下册习题全解或十二章无穷级数 (2)展开成余弦级数.令夕(x) = 2xx w ( -是/()的偶延拓，又如工)是R”)的周期延拓南数,则如.v)满足收敛定理的条件且处处连续.乂在0.口上“() =/(*),故它的 傅里叶级数在：0.付上收敛于/(*).勾=0 ( = 1.2.)=1.2,).%=Tlx2cos nxtx = ( - l 尸与nNn2/(x)&L设7期函数/U)的周期为2”.证明:(1)若/(，-不)=-/(x),则/(x)的傅里叶系数为=0, 2c S a =0(4=1 .2,)；(2)

38、若/(、-b)=/(x) .则/(”)的俾里叶系数。2.| = 0. 2&川=。/ 2.).=-y(x)dx 1 -/(x - -n):同.( I式第二个积分中令I - IT = ,则/(x)dx同理可湖f( X)CO5 J /( x ),os /ixdx cosnxiLi?nxdi j - /( x - TT ) | S nx、( fi it + nu ) d” J1 = 2k(kJHinxix - / /( m )nin( hit /Hi )lfjW N ) lb) 9(*b ( “a nu ) = i-os tut ,sin ( nit + nu ) = sin nu t=， ( f(

39、X ) IS 2kxix - J J( W ) VOH 2Aiilu 及b2k = 0 N* ).(2)与的做法类似，4/( x ) *us nxcl.M +u ) ros ( hit + nu ) ilu j/( x) sin n.v(ix + J Ju) sin ( /itt nu ) du | = 2* 1 ( * w N )时,cos ( rnr 4 nu ) = - cos nu t sin ( mtt ) = - sin nu .故彳=，= ( & W N)习题12-87一般周期函数的傅里叶级数&1.将下列各周期函数展开成傅里.叶级数(F面给出函数在个周期内的友达式):(l)/(x

40、) = I - X2( - .T y)；“，-1 W x 0.(2)/(x) = x ；., I,-1 ,3 W N I ： /(X)= ： +1 , - 3 0.0 W 工 3.解(I)函数/(.)是半周期/ =；的偶函数,枚o = j ( I - c)hT.sin ( 2witi) Sr/ir1二4 sin ( 2/iit.v )- 二”,ros( 2/ittaI 2/iw4 ir第十二童无穷级数 第十二童无穷级数 #因/(x)满足收敛定理的条件且处处连续.故有/( x)=号=?ros( 2mrx),mw(-8,+8).I in*(2)阙数数的半周期/ = I. = j /(x) di =

41、 J jdx + J)lx + J ( - 1 ) dx =-；zn = J /( x ) cos( mix )(lx= j xcos( nirx ) dx + (cos( nwx)d.v - (i cos( nirx)dxsin( mrx) * -cos( wttx )I IT，r pJsin( nirx)sin( nir.x=；* / I -(-1)* + 2 sin ( = 1 ,2,). n2ir2宣 2Ar = / f( x ) *in( fiirx )dx= J xsin( mtx )(lx ( sin( nirx ) dx - Jsin( /iirxjdx2nir1z c 2-

42、cos 三( n =,2 ).nir2np因/(x)满足收敛定理的条件.其间断点为X = 24.2k y,* e Z.故有小)=-卜sin HITHTTl z 、1 / c ，E / cos(7i-7TX)I I - 2cos |sm(n7TX 2 Jntr2 /x R(2h24 + ； k w z|.(3)函数/小)的半周期/ = 3.=；/ / *)dx = ： J J2x + I )dx + ( d4 = - . t . nirx .(2x I ) ros -打 Jf3 nirx+ J. cs -F小一(“】(bn = /(x)sin Wx - ，J2x + 1 )sin ylx + j

43、 sin 同HTTW/(x)满足收敛定理的条件.其叫断点为x = 3(2A + I) / Z故/ #一、高等数学(第七版)下册习跄全解 一、高等数学(第七版)下册习跄全解.、 I .三16. nirr z 、”“6 . 犷t/(“)= - k 、 -5y *1 - (- I )cos -z- +(-I )-sm 2 tri InF3mi 5 Jx R 3(2A- i I) I A 6 Z .a2.将卜则函数分别展开成正弦级数和余弦级数：x. 0 W * )=1.2,).= 0. ( n = I ,2 ,).故、416k(-1)c,、/(%)=三+。；-co、k， x e 0,2 .&*3.设/

44、(%)是周期为2的周期函数.它在-l.l) I的表达式为=.试将 /(”)展开成熨数形式的傅里叶级数.解/()满足收敛定理的条件.且除广点1=21 1( A e Z)外处处连续.j =,=力，心-(I *fni i 1 IJ -I=_ 上2 1(”)“l - p i r cos n it - e 1 ros n tt1 (nir):2/(X)= y (-心,X 6 Ri24 I ”仁 Z .Q*4.设(f)是周期为7的周期函数,已知它的傅里叶级数的熨数形式为(修间7节 例题)试写出(/)的傅里叶级数的实数形式(即三例形式),解由题设知 = sin T ( n = I . 2 . ).nir 7

45、(“二可见= Re(2 ) . b. = lm(2 cn).而Q为实数.故% = &in 写( = 0 (。= 1 ,2,), ZI1T /故,八 hi2h 31. “itT2nrrfz、) = - 一 一sin - cos ( - oc / + x ),rtt rr;n 7/总习题十N-Lm空:(I )对级数=lim = 0是它收敛的条件.不是它收敛的角 1条件；(2)部分和数列/界是正项级数 a收敛的 条件；* zl(3)若级数绝对收敛，则级数；%必定;若级数条件收 IC I4I敛,则级数士 I必定. it解(1)必要，充分；(2)充要；(3)收敛,发帆 2.卜题中给出了四个结果,从中选出

46、一个正确的结果 TOC o 1-5 h z 设/(,)是以2行为周期的周期函数，它在上的表达式为I x | ,则/(x) 的傅里叶级数为().(. cns x + cos 3% + os 5x + rcos( 2 - I )x + 2 k! 3252(2l)zJ(B) 身 i“ 2x + ；*ir】4x + r、in 6* + + sin 2nx + -1 irl 22426-(2n).14 ( I - I -I(,is x -os 3r + 、(“、5x + +)*( Zn - I ) .rttL 3252(2n-l)2) * cos 2.x 4r 4x U os 6x ; /( x ) d

47、x = ； Jj 工小=k / 0.所以扣除,从而选(A).R3.判定下列级数的收敛性:nr os(3)S 解 因lim： = limj = 1,而级数宁1发微.故由极限形式的n A a -S父n(n - 1)!= ,-比较市敛法知原级数发散.I-+ 8TX ) ,由F 般项不趋上零.故级教发散.2 H7T n c oh -3 一 W 2八.而级数 -T! 2二是收敛的(巾实上中？产=.。 I lini 一卜3 L据比值审敛法知扑敛),故由比较审敛法知原级数收敛4 =乩.因子 =忘= 8 而级数发放故由极限形式的比较市敛法如原级数发散.I 10 TOC o 1-5 h z 注求报限lim ;4

48、r时，可芍虑极限lim -In n nu. r ln,ox 洛必达法则IOIn9x.10!。,故|内 11m lim = =lim - X X xlim = 0.n从而lim 二 8 .% = . lim 1 = liinaf ) = a.n* ,一 由比侑市敛法知,当u I时级数发放.当“ 二I时.原级数成为: 由级数的结论4.巧、 I时级数收效 .?7i nS w I时级数发放.匕4.设正顶级数,八和七部收敛.计叫级数(%, 一 J 也收.证根据眄设条件知级数一收敛，故有PW。)=。.由极限定义知.“在正整数.当 V时，有% 0.即行r. 0.于是,按正项级数的比较;审效法知%收敛,即Y

49、rn收敛.当不是止项级数时，可能不收敛.例如：若匕 = J n(-1)3 则收敛,且1加=limn rrf%气二,=1,然而“发散.IT sin Z6.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:一唱；(4)y邑4I当P I时，X I 收敛；当0 I时级数绝对收敛：当0 p C I时.级数条件收敛；* W。时，级数发(2) % I )1TsinI n ,而级数y) 收敛.由比较市效法知三|八|收敛.即原级数绝劝收敛.(3) u. =( -Dlri - t而级数士 ,发散.由极限形式的比较审敛法发I、|%|发散. rrt rrf而=”是交错级数ii满足茉布尼茨定理的条件.因而收敛.故该级数条件收敛.

50、0 I由比值市敛法知t 1%1收敛.即原级数绝对收敛. I27.求卜.列极限：(1 ) lirn y 二八 4. f ；(2) 4、丁(2n)-. - E 3 1 k J解(I)由于、=卸；)是级数= *(1.；:的部分和.而加E顼级数的极值审敛法，当 T 8时.因此级数二收敛.足部分和、有界.从而lirn = 0. nI I1214I ?（2） 2V 4， 8（2m）r = 2T 2 2r2r = 2T不为此,先求极限g少记/I将以I四式柑收.得于是lim2+ 4/ 8”(2n)= 2 = X y注 通过求黑级数V 三的和函数s.然后求出s也可求得lims-j一 8,求卜列制级数的收敛区间：

51、(3)= (一 I)。；(4) 福？nrt： 2故收敛W片为丈;；,收敛区间为(2) u. = ajJ。 = U + .因故收敛步行为 = : 收敛乂同为(3)令x + I =，.即x =，-1,先讨论级数=，/的收敛区间. Ti囚(irvi= lirn = 1 ,故收效*带A = I , 而”的收敛1间为 , ”的 tri(-1 .1),从而胡级数的收敛K间为( 2.0 ).(4)令1 =匕原级故成为”.由笫(3)爆知该级数的收敛M.何为(1/) 24 a I #一 ,高等数学（第七版）下册习题全密 一 ,高等数学（第七版）下册习题全密W A = 故原级数的收敛区间为（匕9.求下列解级数的和

52、函数：（I） Y（2）V/二口！12061 2/1-1（3） y n（x - 1）。（4） V 7,汽.解 （I）“（X）=r 八.1（ *）. 2n t 1| x ?| x | 2!吧 M I = 市TT. F、一.当1妻 I时.原级数收敛：当；.21时,因级数的一股项（x） -O 一22R8 ） .故级数发散,因此原级数的收敛域为: * 6 ( - yl.vl).2 - X-/(2 / A(2) t/.(x) =12n - Ilim 1 RII乙I当1*1 V I时级效收敛；“i i I I时.因级数舲项.、）八0（故级数发散；为X = 1时.级数V 1 ； 11 / V （- 1 ：止收魏的交错吸数.因此r 2n - I2n - I原级数的收敛域为-I J .设和函妆为、（、）.则II 5(0)=住（-LI）内，I式两/对 求导（第十_套无穷级数 第十_套无穷级数 a-/(X)= V ( - 1 )Rx2a 1二。于是$(x) = s(x) - 3(0) = (s(x)dx =(又由于群级数在* = 1处收敛.且arclani在x = s( x ) = arclan x, x e -(3)令X-1 = r,