高中理科数学解题方法篇立体选择

1、立体几何选择题的解法立体几何选择题有两种形式：一是线线、线面、面面关系的判断题，二是求角或距离一、线线、线面、面面关系1（江西，文7）设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是： A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直； B过直线m有且只有一个平面与平面垂直； C与直线m垂直的直线不可能与平面平行； D与直线m平行的平面不可能与平面垂直 解析：三种关系“线线、线面、面面”的判断题，以长方体为构图框架；条件中，有“平面、直线”，一般地固定平面，移动直线，对选择项逐一检验检验A：显然，bm,cm,所以：A检验B：正确，B检验C：显然dm,d,故C 检验D：显然m,且，所以：D2（天津，文4）

2、设a、b是两条直线，、是两个平面，则ab的一个充分条件是： Aa，b, a；【ab】Ba，b, a；【ab】 Ca在内，b,a；【ab】 Da在内，b, a【ab】 解析：三种关系“线线、线面、面面”的判断题，条件中出现：“a”，在构图时，把a、画为同一个平面；若条件中出现：“b”，在构图时，把b画在平面内；本题选项的条件多，验证选项时，从两个平面平行入手：故先检验C本题【C】3（安徽，理4）已知m，n是两条不同直线，、是三个不同平面，下列命题中正确的是 A若m/，n/，则m/n； B若m,则； C若m/，m,则； D若m,n,则m/n 解析：三种关系“线线、线面、面面”的判断题，若选项的结论

3、中有“”，则首先检验：条件是否足以保证两个平面不重合；本题直接淘汰B、C；若选项的结论中有“m/n”，则首先检验：条件是否足以保证两条直线不相交；本题直接淘汰A；故【D】4（浙江，文9）对于两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面，使得 A直线a在内，直线b也在内 B直线a在内,bCa，b D直线a在内,b解析：存在性命题结构：“若p，必定存在，使得q”“必定存在，若p，则q”，“使得”“”，“必定存在”是大前提 命题“两条不相交的空间直线a和b”命题“ab，或a、b异面”；求解方法是：构造命题，逐一验证 A：“必定存在平面，若ab，或a、b异面，则直线a在内，直线b也在内”，； B：“必定存

4、在平面，若ab，或a、b异面，则直线a在内,b”，； C：“必定存在平面，由ab，或a、b异面a，b”，； D：“必定存在平面，由ab，或a、b异面直线a在内,b”， 评注：存在性命题结构：“若p，必定存在，使得q”的理解要到位；“两条不相交的空间直线a和b”“a在内,b”5（海南，文12）已知平面平面，L，点A，A不有直线L上，直线ABL，直线ACL，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 AABm BACm CAB DAC 解：根据条件和解题原则：先画平面、和交线L；由解题原则，把m画为与L重合；由解题原则：若结论中有平行，则考察条件是否能保证元素的不重合，所以首先淘汰A、C；在

5、长方体左侧面内，变动AC，故【B】 6已知a、b为异面直线，则：经过直线a，存在惟一平面，使b；经过直线a，存在惟一平面，使b；经过直线a、b外任意一点，存在平面，使a，b；上述命题中，真命题的个数为 A0 B1 C2 D3 解：（1）构造长方体；（2）条件中的“异面直线”，视为“相交直线”，； 二、求角或距离及球中的计算 1（09、四川、理、15）已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是_； 解：不妨设棱长为2，补成直四棱柱计算即得：90度 评注：补形可以减轻思维压力，降低计算难度2（09、浙江、理5）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与

6、平面所成角的余弦值是_；解：设棱长为2，则DE1，AEAD2cos，又coscoscoscos，与平面所成角的余弦值是 评注：在求角或距离时，三面角公式是不能省略的工具 3（09、重庆）在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为h和d，若hd，则的取值范是_；解：设底边长为1，侧棱长为，在中，由三角形面积关系得：h又d【分式型函数的值域的求解途径】所以：当，所以，所以 评注：点到直线、点到平面的距离，作垂线时的垂足位置的确定，是用三垂线定理或逆的应用其图形特征：一般存在垂面、垂线作辅助线时，要注意寻找上述元素 4（09、四川、文理）在半径为3的球面上有A、B、C三点，ABC90度，BCBA

7、，球心O到平面ABC的距离是，则两点的球面距离是_；解：由题设知截面圆的半径r；BC3；球心角BOC；两点的球面距离3 评注：球面距离球心角球半径，求解程序：求截面圆的半径；求弦长；求弦所对的球心角；求球心角所对的弧长 5（08、武汉市二月调考）从空间任意一点O，引射线OA、OB、OC、OD两两所成的角都等于，则cos_； 解：构造正四面体ABCD，则点O是正四面体ABCD的中心； 延长AO与底面BCD相交于H，则H是BCD的中心；设正四面体ABCD的棱长为a，则正四面体的高AHa外接球的半径RAOa，内切球的半径rOHa；在OCD内，OCODRa，CDa，由余弦定理：cos6（09、成都市调

8、考）三棱锥ABCD的侧棱两两相等且相互垂直，若外接球的表面积s8，则侧棱的长_； 解：补形为正方体则三棱锥ABCD的外接球正方体的外接球正四面体EBCD的外接球 设外接球的半径为R，由s48R正方体的对角线AE2； 设三棱锥ABCD的侧棱的长a，则38a 评注：三条侧棱两两相等且相互垂直的三棱锥、正四面体、正方体图形之间的依托关系，数量关系【巩固练习】（2010浙江理数）（6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（A）若，则 （B）若，则（C）若，则 （D）若，则解析：选B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公

9、理综合运用能力的考察，属中档题（2010全国卷2理数）（11）与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个 （B）有且只有2个（C）有且只有3个 （D）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PNPM；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1 （B） （C）2 （D）3【答案】C【命题意图】本试题主

10、要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（2010辽宁文数）（11）已知是球表面上的点，则球的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）解析：选A.由已知，球的直径为，表面积为（2010辽宁理数）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 (A)（0,） (B)（1,） (C) (,） (D) （0,）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【

11、解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有2+，即，即有a0;综上分析可知a（0,）（2010全国卷2文数）（11）与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个 （B）有且只有2个（C）有且只有3个 （D）有无数个【解析】D：本题考查了空间想象能力到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，三个圆柱面有无数个交点，（2010全国卷2文数）（8）已知三

12、棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（A） (B) (C) (D) 【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。ABCSEF过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，正三角形ABC， E为BC中点， BCAE，SABC， BC面SAE， BCAF，AFSE， AF面SBC，ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3， ，AS=3， SE=，AF=， （2010江西理数）10.过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,所成的角都相等，这样的直线L可以作A.1条 B.2条 C.

13、3条 D.4条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。 （2010重庆文数）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有1个 （B）恰有3个（C）恰有4个 （D）有无穷多个解析：放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等， 所以排除A、B、C，选D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等（2010山东文数）(4)在空间，下列命题正确的是A.

14、平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行答案：D（2010北京文数）（8）如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；答案：C（2010北京理数）(8)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱错误!不能通过编辑域代码创建对象。上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，D（，大于零），

15、则四面体PE的体积（）与，都有关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关（）与有关，与，无关答案：D（2010四川理数）（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是（A） （B） w_w_w.k*s 5*u.c o*m（C） （D）解析：由已知，AB2R,BCR,故tanBAC w_w_w.k*s 5*u.c o*mcosBAC连结OM，则OAM为等腰三角形AM2AOcosBAC，同理AN，且MNCD w_w_w.k*s 5*u.c o*m而ACR,CDR故MN：CDAN:AC w_w_w.k*s 5*u.c

16、o*m MN，连结OM、ON，有OMONR于是cosMON所以M、N两点间的球面距离是 w_w_w.k*s 5*u.c o*m答案：A（2010全国卷1文数）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) 12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为错误!不能通过编辑域代码创建对象。,则有错误!不能通过编辑域代码创建对象。,当直径通过AB与CD的

17、中点时,错误!不能通过编辑域代码创建对象。,故错误!不能通过编辑域代码创建对象。（2010全国卷1文数）（9）正方体-中，与平面所成角的余弦值为（A） （B） （C） （D）ABCDA1B1C1D1O9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC错误!不能通过编辑域代码创建对象。的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB1/DD1,所以B错误!不能通过编辑域代码创建对象。与平面AC错误!不能通过编辑域代码创建对象。所成角和DD1与平面AC错误!不能通过编辑域代码创建对象。所成角相等,设DO平

18、面AC错误!不能通过编辑域代码创建对象。，由等体积法得错误!不能通过编辑域代码创建对象。,即错误!不能通过编辑域代码创建对象。.设DD1=a,则错误!不能通过编辑域代码创建对象。,错误!不能通过编辑域代码创建对象。.所以错误!不能通过编辑域代码创建对象。,记DD1与平面AC错误!不能通过编辑域代码创建对象。所成角为错误!不能通过编辑域代码创建对象。,则错误!不能通过编辑域代码创建对象。,所以错误!不能通过编辑域代码创建对象。.【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于(A)30 (B)45(C)60 (D)906.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法. 【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，（2010全国卷1理数）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A) (B) (C) (D) （2010全国卷1理数）（7）正方体ABCD-中，B与平面AC所成